二维连续型随机变量的概率密度 (1)定义 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y), 如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意飞，y有 F(x,y)="f(u,v)dudv, 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机 变量X和Y的联合概率密度！
. ( , ) , ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) d d , ( , ) , ( , ) ( , ), 变量 和 的联合概率密度 称为二维随机变量 的概率密度 或称为随机 则称 是连续型的二维随机变量 函数 如果存在非负的函数 使对于任意 有 对于二维随机变量 的分布函数 X Y X Y X Y f x y F x y f u v u v f x y x y X Y F x y y x − − = 二维连续型随机变量的概率密度 (1) 定义
(2)性质 1°f(x,y)≥0. 2°fx,)dxdy=Fe,o)=1. 3若f(x,y)在（比，y)连续，则有0 F(x)=f(x,y) OxOy 4°设G是xoy平面上的一个区域，点(X,Y)落在G内 的概率是 P(X,eG}=∬f(x.y)dxdy
2 ( , ) d d ( , ) 1. 0 = = + − + − f x y x y F {( , ) } ( , ) d d . = G P X Y G f x y x y 1 ( , ) 0. 0 f x y (2) 性质 ( , ). ( , ) 3 ( , ) ( , ) , 2 0 f x y x y F x y f x y x y = 若 在 连续 则有 的概率是 4 0 设G是xoy平面上的一个区域,点(X,Y )落在G内
(3)说明 几何上，z=f(x,y)表示空间的一个曲面 f(x,y)dxdy=1 表示介于f化，y)和x0y平面之间的空间区域的全 部体积等于1. P(X,Y)∈G}=J∬f(x,y)dxdy, P{(X,Y)∈G的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y) 为顶面的柱体体积
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全 部体积等于1. {( , ) } ( , ) d d , = G P X Y G f x y x y ( , )d d = 1 − − f x y x y . {( , ) } , ( , ) 为顶面的柱体体积 P X Y G 的值等于以G为底 以曲面z = f x y 几何上, z = f (x, y) 表示空间的一个曲面. (3) 说明
(4)两个常用的分布 设D是平面上的有界区域，其面积为S,若二 维随机变量(X,Y)具有概率密度 (x,y)∈D, 0, 其他. 则称(XY)在D上服从均匀分布
= 0, . , ( , ) , 1 ( , ) 其他 x y D f x y S (4) 两个常用的分布 设 D 是平面上的有界区域, 其面积为 S, 若二 维随机变量 ( X, Y ) 具有概率密度 则称( X,Y )在D上服从均匀分布
若二维随机变量(X,Y)具有概率密度 1 f(x,y)= 2ng G2V1-p2 K-422p(=41y-A24-] e2-p2 0102 (-0<X<+∞，-0<y<+0) 其中41,42,01,02，p为常数，01>0,02>0，-1<p<1, 则称(X,Y)服从参数为41,42,01,02，p的二维正态分 布.记为(X,Y)~N(41,42,01,o2,p): 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布
2 1 2 2π 1 1 ( , ) σ σ ρ f x y − = , , , , , 0, 0, 1 1, 其中μ1 μ2 σ1 σ2 ρ为常数 σ1 σ2 − ρ (− x +, − y +) ( , ) ~ ( , , , , ). 2 2 2 X Y N μ1 μ2 σ1 σ ρ 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度 ] ( ) 2 ( )( ) ( ) [ 2(1 ) 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 e σ y μ σ σ ρ x μ y μ σ x μ ρ − + − − − − − − 布 记为 则称 服从参数为 的二维正态分 . ( , ) , , , , X Y μ1 μ2 σ1 σ2 ρ 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布