离散数学教案 f为自同构映射：=f为从<S,⊙>到<S,⊙>的同构映射。 5.4同余关系 本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。主要内容如下： 定义5.4.1给定<S,⊙>且E为S中的等价关系。 E有代换性质：=（付x)(付x)(付y)(付y)(x1,Xa,1,y:∈SAxEx:∧ylEy)一( ⊙y)E(x,⊙y). E为<S,⊙>中的同余关系：=E有代换性质。 与此同时，称同余关系E的等价类为同余类。 由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运算的作用下， 能够保持关系的等价类。即在x⊙y,中，如果用集合S中的与x等价的任何其它元素 x2代换x,并且用与y等价的任何其它元素y2代换y,则所求的结果x,⊙与x⊙y 位于同一等价类之中。 亦即若〔x)E=(x)E并且(y)E=(y2)E,则(x⊙y)E=(x2⊙y2)E。此外 同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对 于所有这些运算是否都有代换性质。如果有，则说该代数结构存在同余关系：否则， 同余关系不存在。 例5.4.1给定<L,+,x>,其中I是整数集合，+和x是一般加、乘法。假设I中 的关系R定义如下： iRiz:=il=izl,其中i、i2eI 试问，R为该结构的同余关系吗？ 解显然，R为I中的等价关系。接着先考察R对于+运算的代换性质： 若取i,-i,ieI,则有li=|-i和|iz=il,于是，下式 (iR(-i))A(iRia)(i:+iz)R(-i+iz) 不真。这是因为前件为真，后件为假。故R对于+运算不具有代换性质。 至此可以说，R不是该结构的同余关系。但为了熟悉验证一个关系是否为同余关 系，还是来考察R对于x的代换性质。 令i,i,j,zeI且iRi:和jRjz。于是，对任意i,i,j,jz都有： (i,Ri)和(jRj)→(i×j)R(i2xj)
离散数学教案 11 f 为自同构映射:=f 为从<S，⊙>到<S，⊙>的同构映射。 5.4 同余关系 本节主要阐明同态与同余关系之间的联系。主要内容如下： 定义 5.4.1 给定<S，⊙>且 E 为 S 中的等价关系。 E 有代换性质:=(x1)(x2)(y1)(y2)((x1，x2，y1，y2∈S∧xEx2∧y1Ey2)→(x1 ⊙y1)E(x2⊙y2))。 E 为<S，⊙>中的同余关系:=E 有代换性质。 与此同时，称同余关系 E 的等价类为同余类。 由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运算的作用下， 能够保持关系的等价类。即在 x1⊙y1 中，如果用集合 S 中的与 x1 等价的任何其它元素 x2 代换 x1，并且用与 y1 等价的任何其它元素 y2 代换 y1，则所求的结果 x2⊙y2 与 x1⊙y1 位于同一等价类之中。 亦即若〔x1〕E=〔x2〕E 并且〔y1〕E=〔y2〕E，则〔x1⊙y1〕E=〔x2⊙y2〕E。此外， 同余关系与运算密切相关。如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对 于所有这些运算是否都有代换性质。如果有，则说该代数结构存在同余关系；否则， 同余关系不存在。 例 5.4.1 给定<I,+,>，其中 I 是整数集合，+和是一般加、乘法。假设 I 中 的关系 R 定义如下： i1Ri2:=|i1|=|i2|，其中 i1、i2I 试问，R 为该结构的同余关系吗？ 解 显然，R 为 I 中的等价关系。接着先考察 R 对于+运算的代换性质： 若取 i1,-i1,i2I，则有|i1|=|-i1|和|i2|=|i2|，于是，下式 (i1R(-i1))(i1Ri2)→(i1+i2)R(-i1+i2) 不真。这是因为前件为真，后件为假。故 R 对于+运算不具有代换性质。 至此可以说，R 不是该结构的同余关系。但为了熟悉验证一个关系是否为同余关 系，还是来考察 R 对于的代换性质。 令 i1,i2,j1,j2I 且 i1Ri2和 j1Rj2。于是，对任意 i1,i2,j1,j2都有： (i1Ri2)和(j1Rj2)→(i1j1)R(i2j2)
离散数学教案 因此，E对于×具有代换性质。 可见，考察一个等价关系E对于有多个运算的代数结构是否为同余关系，这里有 个次序先后问题，选择得好，马上就考察到了E对某个运算是不具有代换性质，那么 便可立刻断定E不是该结构的同余关系，否则验证应继续下去，直至遇到不具有代换 性质的运算为止。如果对于所有运算都有代换性质，则E为该结构的同余关系。 在例5.4.1中，首先发现R对于+不具有代换性质，那么可断定R不是该结构的 同余关系。如果你首先验证是R对于×的代换性质，结果R对于×有代换性质，至此你 只是有希望E是同余关系，但还得继续工作，考察R对于+的代换性质，由此结果才 能判定R是否为该结构的同余关系。 有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理： 定理5.4.1设<S,⊙>与<T,O>是同类型的且f为其同态映射。对应于f,定 义关系Ef如下： xEfy:=f(x)=f(y）, 其中x,y∈S 则Ef是<S,⊙>中的同余关系，并且称Ef为由同态映射f所诱导的同余关系。1 由于同态映射不唯一，根据定理5.4.1，可以推知同余关系也是不唯一。 5.5商代数 定义5.5.1给定<S,⊙>及其上的同余关系E,且由E对S所产生同余类构成 个商集S/B。若在S/E中定义运算U如下： [x]O[y]=[x⊙y].其中[x]e,[y]:∈S/E 于是<S/E,O>构成了一个代数结构，则称<S/E,O为代数结构<S,⊙>的商代数。 可以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结 构即商代数，两者有何联系，下面定理指明这一点。 定理5.5.1给定<S,⊙>及其上的商代数<S/E,O>,则<S,⊙>=<S/E,O>。 通常，称为从S到S/E上的正则映射，并且称为从<S,⊙>到<S/E,O>的 与E相关的自然同态映射，简称自然同态。 此外，容易看出自然同态是满同态映射，根据定理5.3.2可知，代数结构<S, ⊙>的各种性质在其商代数<S/E,O>中都被保持了下来。 现在，可以利用自然同态及Ef给出一个有关同构的重要定理。 定理5.5.2设<S,⊙>三<T,O>且f为其满同态映射，Ef为f所诱导的同余关 12
离散数学教案 12 因此，E 对于具有代换性质。 可见，考察一个等价关系 E 对于有多个运算的代数结构是否为同余关系，这里有 个次序先后问题，选择得好，马上就考察到了 E 对某个运算是不具有代换性质，那么 便可立刻断定 E 不是该结构的同余关系，否则验证应继续下去，直至遇到不具有代换 性质的运算为止。如果对于所有运算都有代换性质，则 E 为该结构的同余关系。 在例 5.4.1 中，首先发现 R 对于+不具有代换性质，那么可断定 R 不是该结构的 同余关系。如果你首先验证是 R 对于的代换性质，结果 R 对于有代换性质，至此你 只是有希望 E 是同余关系，但还得继续工作，考察 R 对于+的代换性质，由此结果才 能判定 R 是否为该结构的同余关系。 有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理： 定理 5.4.1 设<S，⊙>与<T，○>是同类型的且 f 为其同态映射。对应于 f，定 义关系 Ef 如下： xEfy:=f(x)=f(y)， 其中 x，y∈S 则 Ef 是<S，⊙>中的同余关系，并且称 Ef 为由同态映射 f 所诱导的同余关系。1 由于同态映射不唯一，根据定理 5.4.1，可以推知同余关系也是不唯一。 5.5 商代数 定义 5.5.1 给定<S，⊙>及其上的同余关系 E，且由 E 对 S 所产生同余类构成一 个商集 S/E。若在 S/E 中定义运算 U 如下： [x]E○[y]E=[x⊙y]E 其中[x]E，[y]E∈S/E 于是<S/E，○>构成了一个代数结构，则称<S/E，○为代数结构<S，⊙>的商代数。 可以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结 构即商代数，两者有何联系，下面定理指明这一点。 定理 5.5.1 给定<S，⊙>及其上的商代数<S/E，○>，则<S，⊙><S/E，○>。 通常，称 gE 为从 S 到 S/E 上的正则映射，并且称 gE 为从<S，⊙>到<S/E，○>的 与 E 相关的自然同态映射，简称自然同态。 此外，容易看出自然同态 gE 是满同态映射，根据定理 5.3.2 可知，代数结构<S， ⊙>的各种性质在其商代数<S/E，○>中都被保持了下来。 现在，可以利用自然同态及 Ef 给出一个有关同构的重要定理。 定理 5.5.2 设<S，⊙><T，○>且 f 为其满同态映射，Ef 为 f 所诱导的同余关