变速直线运动的路程已知物体直线运动的速度=Vt）是时间t的连续函数，y()计算物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程S.(1)分割： T=to<t<t<.…<,△t=t-t-1;1<t(2)取近似：物体在时间段[t-1,,]内所经过的路程近似为AS=v(t)At, (t-i<t<t, );(3)求和：物体在时间段[T,T]内所经过的路程近似为S~Zv(t,)At, ;一(4)取极限：记=max{△ti,△t2,,△tn),物体所经过的路程为S= limZv(ti)Ati.元0
⚫变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1 , T2 ]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t 0<t 1<t 2< <t n−1<t n =T2 , t i=t i−t i−1 ; (2)取近似: 物体在时间段[t i−1 , t i ]内所经过的路程近似为 Siv(i )t i ( t i−1< i<t i ); 物体在时间段[T1 , T2 (3)求和: ]内所经过的路程近似为 (4)取极限: 记=max{t 1 , t 2 ,, t n }, 物体所经过的路程为 = n i i i S v t 1 ( ) ; → = = n i i i S v t 1 0 lim ( )
二、定积分定义定义设函数(x)在区间[a,b]上有界在区间[a,b]内任取分点： a=x<xi<x2<… <xn-1<Xn=b;记Ax=x,-xi-- (i=1, 2,", n),=max[△xi, Ax2,",Axn);在小区间[x-1,x]上任取一点,(=1,2,, n),作和Zf()△x; ;若当几一→0时，上述和式的极限存在，且极限值与区间[α,b]的分法和三的取法无关则此极限称为函数(x)在的定积分，记为(a)dx，即区间[a,b]上" f(x)dx= lim Zf(s)Ax; 入->0i=1
在小区间[xi−1 , xi ]上任取一点i (i=1, 2,, n),作和 =max{x1 , x2 ,,xn 记x }; i=xi−xi−1 (i=1, 2,, n), a=x0<x1<x2< <xn−1<x 在区间[a, b]内任取分点: n =b; 定义 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 若当→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间 [a, b]的分法和i的取法无关, 则此极限称为函数f(x)在 区间[a, b]上 的定积分, 记为 即 二、定积分定义
定积分各部分的名称≥7(5)Ax,积分和积分符号，i=1被积函数，(x)被积表达式，f(x)dx -积分变量，x积分下限，ab积分上限，积分区间[a, b]
•定积分各部分的名称 ————积分符号 , f(x ) ———被积函数 , f(x )dx ——被积表达式 , x ————积分变量 , a ————积分下限 , b ————积分上限 , [ a , b ]———积分区间 ， = n i i x i f 1 ( ) ———积分和
心定积分的定义[" f(x)dx=limZf(5)Ax, 入0=1心函数的可积性如果函数(x)在区间[a，b]上的定积分存在，则称(x)在区是埋b]如巢数(x)在区间[a, b]上连续，则函数(x)在区间[a,b]上可积定理2如果函数(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则函数(x)在区间[a,bl上可积
❖函数的可积性 如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x) 在区间定理[a, b]上可积. 1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x) 在区间[a, b]上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有 限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. ❖定积分的定义 → = = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( )
三、定积分的几何意义1）当(x)≥0时,定积分J°(x)d在几何上表示由曲线y=(x)、直线x=a、x=b与y=0 所围成的封闭图形的面积.2）当(x)<0时,定积分「"(x)dx在几何上表示曲边梯形面积的负值3)一般地，(x)在[a,b]上的定积分表示介于x轴、曲线y=(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和J-f(x)+ab
3)一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲 线y=f(x)及直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和. 1）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示由曲线 y=f(x)、直线x=a、x=b与y=0 所围成的封闭图形的面积. 2）当f(x)<0时, 定积分 在几何上表示曲边梯 形面积的负值. ( ) b a f x dx ( ) b a f x dx 三、定积分的几何意义