32.幂级数 16/54 作业(N04) P38:1;2 P.46:1;2;3(1)、3(3)、3(5) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 16/54 (No.4) P. 38µ1¶2 P. 46µ1¶2¶3(1)!3(3)!3(5)
33. TAYLOR级数展开 17/54 833 Taylor级数展开 从§3.2知道,幂级数之和在收敛圆内部为解析函数.那么反过 来,任何一个解析函数是否可以表示成一个幂级数呢?这个问题不仅 具有理论意义,而且很有使用价值.下面研究解析函数的幂级数展开 问题.我们知道,任意阶导数都存在的实变函数可以展为泰勒级数 既然解析函数的任意阶导数都存在,自然可以期望把解析函数展为复 变项的泰勒级数 331解析函数的 Taylor展开定理 定理 立设f(x)在以为中心的圆CR内解析,则 对圆内的任意点乙,f(z)在孤0点可展开为幂 级数 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.3. TAYLOR ?êÐm 17/54 §3.3 Taylor ?êÐm l § 3.2 §?êÚ3Âñ SÜ)Û¼ê©@oL 5§?Û)Û¼ê´Ä±L«¤?êQºù¯KØ= äknؿ§ ék¦^d©e¡ïÄ)Û¼ê?êÐm ¯K©·§?¿ êÑ3¢C¼ê±ÐV?ê© Q,)Û¼ê?¿ êÑ3§g,±Ï"r)Û¼êÐE CV?ê© 3.3.1 )Û¼ê Taylor Ðm½n 1. ½n ~ f(z) 3± z0 ¥% CR S)Û§K é S?¿: z§f(z) 3 z0 :Ðm ?ê
33. TAYLOR级数展开 18/54 f(z) k(-Z0 其中 f() (k) (Z d 2Ti JCp (S-zo) K! CR1为圆CR内包含z且与CR同心的圆 2.证明 如图所示,为了避免涉及泰勒级数在圆周CR上的收敛或发散问 题,作较CR小,但包含z且与CR同心的圆周CR1.应用 Cauchy公 式(2.41)有 () ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.3. TAYLOR ?êÐm 18/54 ~ f(z) = X ∞ k=0 ak(z − z0) k , Ù¥ ~ ak = 1 2πi I CR1 f(ζ) (ζ − z0) k+1 dζ = f (k) (z0) k! , CR1 CR S¹ z CR Ó% © 2. y² X㤫§ ;9V?ê3 ± CR þÂñ½uѯ K§ CR §¹ z CR Ó% ± CR1©A^ Cauchy ú ª(2.4.1)k f(z) = 1 2πi I CR1 f(ζ) ζ − z dζ. (3.3-1)