32.幂级数 11/54 如以R半径(0为圆心)作圆CR,则在圆内式(32-2)收敛 式(32-1)绝对收敛,在圆外式(32-2)和(32-1)均发散.这样的圆称为幂 级数的收敛圆,半径R称为收敛半径.在圆周上,幂级数的收敛情况 需要视具体情况具体分析 323根值判别法 如果 lma=1.627敏(62绝对收敛 >1,(3.2-2)发散,(3,2-1)发散 相应地,收敛半径定义为 R= lim 3.2 k 对于半径R1<R的圆内,级数(32-1)绝对且一致收敏 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 11/54 X± R »£z0 %¤ CR§K3 Sª(3.2-2)Âñ§ ª(3.2-1)ýéÂñ§3 ª(3.2-2)Ú(3.2-1)þuÑ©ù ¡ ?êÂ. ñ. . §» R ¡Â. ñ. . ». ©3 ±þ§?êÂñ¹ IÀäN¹äN©Û© 3.2.3 O{ XJ ~ lim k→∞ pk |ak||z − z0| k = ( < 1, (3.2-2)Âñ§(3.2-1)ýéÂñ, > 1, (3.2-2)uѧ(3.2-1)uÑ. A/§Âñ»½Â ~ R = lim k→∞ 1 √k |ak| . (3.2-6) éu» R1 < R S§?ê(3.2-1)ýé Âñ©
§32.幂级数 12/54 324例 例1求幂级数1+t+t2+…+t+…的收敛圆,t为复数 解:由式32-3)求收敛半径: R=im k→∞ak+1 因此,收敛圆是以t=0为圆心R=1为半径的圆,收敛圆内部可以 表示为|<1 此例的级数是几何级数,公比为t,所以前n+1项之和为 H+1 ∑k=1++口2+…+ k=0 因|tl<1,则 n+1 = im k →0 → ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 12/54 3.2.4 ~ ~ ~¬¦?ê 1 + t + t 2 + · · · + t k + · · · Âñ §t Eê© )µdª(3.2-3)¦Âñ»µ R = lim k→∞ ak ak+1 = 1. Ïd§Âñ ´± t = 0 % R = 1 » §Âñ Sܱ L« |t| < 1© d~?ê´AÛ?ê§ú' t§¤±c n + 1 Ú X n k=0 k k = 1 + t + t 2 + · · · + t n = 1 − t n+1 1 − t . Ï |t| < 1§K lim k→∞ X n k=1 t k = lim k→∞ 1 − t n+1 1 − t = 1 1 − t .
32.幂级数 13/54 即在收敛圆内,幂级数的和为1/(1-t), 1+【+t2+…+tk+ (|rl<1) (3.2-7) 例2求幂级数1-x2+z4-x6+…收敛圆,z为复变数 解:把z2记作t,级数和即!1-t+t2-t3+,系数交替为 ±1,应用式32-3)求t平面上的收敛半径 R=lim k→0ak+ z平面上的收敛半径为R即1.收敛圆的内部可以表述为|z< 本例也是几何级数,公比为-x2.在|z<1的条件下,容易求出 这个几何级数的和为 十 1+z (lz<1) 32-8) ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 13/54 =3Âñ S§?êÚ 1/(1 − t)§ 1 + t + t 2 + · · · + t k + · · · = 1 1 − t , (|t| < 1). (3.2-7) ~ ~¦?ê 1 − z 2 + z 4 − z 6 + · · · Âñ §z ECê© )µr z 2 P t§?êÚ=!1 − t + t 2 − t 3 + · · · §XêO ±1§A^ª(3.2-3) ¦ t ²¡þÂñ» R = lim k→∞ ak ak+1 = 1. z ²¡þÂñ» R= 1©Âñ SܱLã |z| < 1© ~´AÛ?ê§ú' −z 2©3 |z| < 1 ^e§N´¦Ñ ùAÛ?êÚ 1 − z 2 + z 4 − z 6 + · · · = 1 1 + z 2 , (|z| < 1). (3.2-8)
32.幂级数 14/54 325逐项积分和逐项求导 幂级数(32-1)在收敛圆内绝对且一致收敛,在一个稍微缩小的圆 周CR1上一致收敛.因此,幂级数(3.2-1)可以沿CR1逐项积分和求 导 1.积分 用ξ代替32-1)的变量z,其和用w()表示,则 w()=m0+a1(-0)+a2(3-z0)2+ (32-9) 用 ric 乘以上式两边,并沿CR,积分 w() d a1(-0) ds+ 幂函数在CR1内是解析的,由 Cauchy公式(243),得 w(s) d=a0+a1(z-a)+a2(z-z0)2+ 2riJ,° R ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 14/54 3.2.5 ÅÈ©ÚŦ ?ê(3.2-1)3Âñ Sýé Âñ§3 ± CR1 þÂñ©Ïd§?ê(3.2-1)±÷ CR1 ÅÈ©Ú¦ © 1. È© ^ ζ O(3.2-1)Cþ z§ÙÚ^ w(ζ) L«§K w(ζ) = a0 + a1(ζ − z0) + a2(ζ − z0) 2 + · · · . (3.2-9) ^ 1 2πi 1 ζ−z ¦±þªü>§¿÷ CR1 È© 1 2πi I CR1 w(ζ) ζ − z dζ = 1 2πi I CR1 a0 ζ − z dζ + 1 2πi I CR1 a1(ζ − z0) ζ − z dζ + · · · ¼ê3 CR1 S´)Û§d Cauchy úª(2.4.3)§ 1 2πi I CR1 w(ζ) ζ − z dζ = a0 + a1(z − z0) + a2(z − z0) 2 + · · ·
32.幂级数 15/54 这是说,幂级数(32-1)的和可以表为连续函数的回赂积分,而连续函 数的回路积分可在积分号下求导任意多次,亦即是解析函数.这样, 幂级数的和在收敛园的内部是解析函数,在收敛圆内不可能有奇点 w() w(z) 27 2.导数 在收敛圆内,级数(3.2-1)是解析的,故可求导任意次(阶) ((z) w(s Cds 2Ti JCR (S-z =a0+{a1(z-z0)1+{a2(z-0)1+ ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full screen●cose●Quit
• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §3.2. ?ê 15/54 ù. ´. `. §. ?. ê. (3.2-1). Ú. . ±. L. . ë. Y. ¼. ê. . £. µ. È. ©. § . ë. Y. ¼. ê. . £. ´. È. ©. . 3. È. ©. Ò. e. ¦. . ?. ¿. õ. g. §½. =. ´. ). Û. ¼. ê. ©ù. . § . ?. ê. . Ú. 3. Â. ñ. . . S. Ü. ´. ). Û. ¼. ê. §3. Â. ñ. . S. Ø. . U. k. Û. :. © w(z) = 1 2πi I CR1 w(ζ) ζ − z dζ 2. ê 3Âñ S§?ê(3.2-1)´)Û§¦?¿g£ ¤ w (n) (z) = n! 2πi I CR1 w(ζ (ζ − z) n+1 dζ = a (n) 0 + [a1(z − z0)](n) + [a2(z − z0) 2 ] (n) + · · · .