第1章多项式 多项式 f(x)=nanx+(n-1)an1x2+.+2ax+a 为x)的微商（或导数）当k>1时，规定(x)为代x)的k·1阶微商 )(x)的微商，即(x)=()(x)'多项式的微商与数学分析中的微 商有相同的运算性质 (2)设八x)∈P[x],p(x)是数域P上的不可约多项式，k为非负整数如 果p(x)If(x)且p(x)8f(x),则称p(x)是x)的k重因式当k=1时 称px)为(x)的单因式；当k≥2时，称p(x)为f(x)的重因式 注由于重因式一定是不可约因式，所以八x)的重因式也和代x)所在的数域有关 (3)关于重因式有下列结论： 1)如果不可约多项式p(x)是八x)的k(≥1)重因式，则它是∫(x)的 k·1重因式特别地，x)的单因式不是(x)的因式 2)如果不可约多项式px)是x)的（≥1）重因式，则它是f八x) (x),.,(x)的因式，但不是(x)的因式 3)不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件是px)是x) 与f(x)的公因式，即p(x)1(f八x),f(x) 注由此可见f(x)的重因式可以在(f八x),(x)的因式中去找 4)多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是八x)与f(x)互素，即 (f八x),f(x))=1 f(x) 5)设多项式的次数(》≥1，则多项式动是一个没 有重因式的多项式，但它与(x)有完全相同的不可约因式即设八x)有标准 分解式 f(x)api (x)p (x)p.'(x) 则 (,r(=p()(x).() f() 注这是去掉多项式的因式重数的一个有效方法， 9.多项式函数与多项式的根 (1)设f(x)=anx"+a1X1+.+amx+a∈P[x],其中x是文字，数 a∈P,将f八x)的表示式中的x用a代替得到P中的数 ana"+an1d-1+.+aa+a
多项式 f′( x) = nan x n- 1 + ( n - 1 ) an- 1 x n- 2 + . + 2 a2 x + a1 为 f( x) 的微商( 或导数 ) .当 k > 1 时 , 规定 f ( k) ( x ) 为 f ( x) 的 k - 1 阶微商 f ( k- 1 ) ( x) 的微商 ,即 f ( k) ( x ) = ( f ( k - 1 ) ( x) )′.多项式的微商与数学分析中的微 商有相同的运算性质 . ( 2) 设 f( x) ∈ P[ x ] , p( x) 是数域 P 上的不可约多项式 , k 为非负整数 .如 果 p k ( x ) | f ( x ) 且 p k+ 1 ( x )8 f ( x) ,则称 p( x ) 是 f( x) 的 k重因式 .当 k = 1 时 , 称 p( x) 为 f ( x ) 的单因式 ;当 k ≥ 2 时 ,称 p( x ) 为 f ( x ) 的重因式 . 注 由于 重因式 一定是 不可 约因式 , 所以 f ( x ) 的重 因式 也和 f ( x ) 所 在的数 域有 关 . ( 3) 关于重因式有下列结论 : 1 ) 如果不可约多项式 p( x) 是 f( x) 的 k( ≥ 1) 重因式 , 则它是 f′( x) 的 k - 1 重因式 .特别地, f( x) 的单因式不是 f′( x) 的因式 . 2 ) 如果不可约多项式 p( x) 是 f( x) 的 k( ≥ 1 ) 重因式 , 则 它是 f ( x ) , f′( x) ,. , f ( k- 1 ) ( x) 的因式, 但不是 f ( k) ( x ) 的因式 . 3 ) 不可约多项式 p( x ) 是 f ( x) 的重因式的充分必要条件是 p( x) 是 f( x) 与 f′( x) 的公因式 ,即 p( x ) | ( f( x) , f′( x ) ) . 注 由此可 见 f ( x ) 的重因 式可以 在( f ( x ) , f′( x ) ) 的因 式中 去找 . 4 ) 多项式 f ( x ) 没有重因式的充分必要条件是 f( x) 与 f′( x) 互素 , 即 ( f ( x) , f′( x) ) = 1 . 5 ) 设多项式 f( x) 的次数 ( f ( x) ) ≥ 1 ,则多项式 f ( x ) ( f( x) , f′( x) ) 是一个没 有重因式的多项式 ,但它与 f ( x ) 有完全相同的不可约因式 .即设 f( x) 有标准 分解式 f ( x) = ap1 r 1 ( x ) p2 r 2 ( x ). ps r s ( x ) 则 f ( x ) ( f( x) , f′( x) ) = ap1 ( x) p2 ( x ). ps ( x) 注 这是去 掉多 项式的 因式 重数的 一个 有效方 法 . 9. 多项式函数与多项式的根 ( 1) 设 f ( x ) = an x n + an - 1 x n - 1 + . + a1 x + a0 ∈ P[ x ] , 其中 x 是文字, 数 α∈ P ,将 f ( x ) 的表示式中的 x 用α代替得到 P 中的数 anαn + an - 1αn - 1 + . + a1α+ a0 第 1 章 多项式 7
高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 称之为当x=a时f(x)的值，记为f(a),即a)=a,a”+a1d-1+.+ aa+这样，对每个数a∈P,由多项式fx)确定P中惟一的数f(a)与之对 应，称八x)为P上的一个多项式函数， 注前面是用形式的观点来定义多项式(x)=anxa+.+Mx+而，其中x是一个 文字（其本身的意义有待实际应用时再机动地联定），而系数a(1=0,L,.,m)在数域P中 变化在做多项式的加、减、乘等运算及研究多项式之问的整除关系，最大公因式等时都是 这样理解的当把一元多项式八)中所含的文字x的意义看成一个可以在数域P中任意 变动的变数符号时，则八x)就表示了一个随着x的变动而变化的多项式函数，此时系数 ,∈P相对地取定，这即是用函数的观点来定义多项式，对于数城P上的一元多项式来 说可以证明这两种观点是统一的，在证明过程中数城P包合无限多个元素这一性质是很 起作用的正因为对于数城P上的一元多项式来说这两种观点是统一的，才使得在讨论多 项式时无论采用上述两种观点中的哪一种都是不会出间题的 (2)设f(x)∈P[x),数a∈P如果f八a)=0,则称a为f(x)的一个根或 零点如果x·a是f(x)的k重因式，则称a是f(x)的k重根；当k=1时，称 a是f八x)的单根；当k>1时，称a是f(x)的重根 (3)多项式函数具有下列一些性质： I)余数定理设f八x)∈P[x],a∈P,用一次多项式x·a去除f八x)所 得的余式是一个常数，这个常数等于函数值八)· 注 余数定理表明可以采用综合除法确定多项式f(x)在x=▣时的值f()或验证 a是f(x)的单根或重根这比直接将a代入∫(x)计算要方便的多 2)因式定理设fx)∈P[],a∈P.(x·a)|f(x)的充分必要条件是 fa=0. 3)P[x中≥0)次多项式在数域P中的根不可能多于n个（重根按重 数计) 4)设fx),g(x)∈P[x,且fx),g(x)的次数都不超过n如果对n+1个 不同的数4，®，.，a+1有f(4)=g(@)(i=1,2,.,n+1),则八x)= g(x) (4)数域P上两个多项式相等的充分必要条件是它们所定义的数域P上的 多项式函数相等 注PIx]中两个多项式八x)与g(x)相等是指它们有完全相同的项由P上的多项 式f八x)和8x)所确定的函数相等是指对任意a∈P都有f(@)=g(),这是两个不同的 概念但因为数城P中有无穷多个数，所以由上面4)中的结论知，多项式的相等与多项式 函数的相等实际上是一致的换句话说，数城P上的多项式既可以作为形式表达式来处
称之为当 x = α时 f ( x) 的值 , 记为 f (α) , 即 f(α) = anαn + an- 1αn - 1 + . + a1α+ a0 .这样 ,对每个数α∈ P, 由多项式 f( x) 确定 P 中惟一的数 f (α) 与之对 应 ,称 f ( x) 为 P 上的一个多项式函数 . 注 前面 是用 形式的 观点 来定义 多项式 f ( x ) = an x n + . + a1 x + a0 , 其中 x 是 一个 文字 (其 本身 的意义 有待 实际应 用时 再机动 地取定 ) , 而 系数 ai( i = 0 , 1, . , n) 在数 域 P 中 变化 .在做 多项 式的加 、减 、乘等运 算及 研究多 项式之 间的 整除关 系 , 最 大公 因 式等 时 都是 这样 理解的 .当 把一 元多项 式 f ( x ) 中所 含的文 字 x 的 意义看 成一 个可以 在数 域 P 中 任意 变动的 变数 符号时 , 则 f ( x) 就表 示了 一 个随 着 x 的变 动而 变化 的多 项 式函 数 , 此 时 系数 ai ∈ P 相对地 取定 , 这 即是用 函数 的观点 来定义 多项 式 . 对 于数 域 P 上的 一 元多 项 式来 说可以 证明 这两种 观点是 统一 的 , 在证 明过程 中 数域 P 包 含无 限 多个 元 素这 一 性 质是 很 起作用 的 .正因 为对于 数域 P 上 的一元 多项 式来说 这两种 观点 是统一 的 , 才使 得在讨 论多 项式时 无论 采用上 述两种 观点 中的哪 一种 都是不 会出 问题的 . ( 2) 设 f ( x ) ∈ P[ x] ,数α∈ P .如果 f (α) = 0, 则称α为 f ( x ) 的一个根或 零点 .如果 x - α是 f ( x) 的 k 重因式 ,则称α是 f ( x ) 的 k 重根 ;当 k = 1 时, 称 α是 f ( x) 的单根 ;当 k > 1 时 , 称α是 f ( x) 的重根 . ( 3) 多项式函数具有下列一些性质 : 1 ) 余数定理 设 f ( x) ∈ P[ x] ,α∈ P ,用一次多项式 x - α去除 f ( x) 所 得的余式是一个常数 ,这个常数等于函数值 f(α) . 注 余数定 理表 明可以 采用综 合除 法确定 多项 式 f ( x) 在 x = α时的值 f (α) 或 验证 α是 f ( x ) 的 单根或 重根 .这 比直接 将 α代入 f ( x ) 计算 要方便 的多 . 2 ) 因式定理 设 f( x) ∈ P[ x] ,α∈ P . ( x - α) | f ( x) 的充分必要条件是 f(α) = 0 . 3 ) P[ x] 中 n(≥ 0) 次多项式在数域 P 中的根不可能多于 n 个 ( 重根按重 数计) . 4 ) 设 f ( x ) , g( x ) ∈ P[ x ] , 且 f ( x ) , g( x ) 的次数都不超过 n .如果对 n + 1 个 不同的数 α1 , α2 ,. ,αn+ 1 有 f (αi ) = g(αi ) ( i = 1 ,2 ,. , n + 1 ) , 则 f( x) = g( x) . ( 4) 数域 P上两个多项式相等的充分必要条件是它们所定义的数域 P 上的 多项式函数相等 . 注 P[ x ] 中两 个多项 式 f ( x ) 与 g( x ) 相 等是指 它们 有完全 相同 的项 .由 P 上的 多项 式 f ( x ) 和 g( x ) 所 确定 的函数 相等 是指对 任意 α∈ P 都 有 f (α) = g(α) , 这是 两个不 同的 概念 .但因 为数域 P 中 有无 穷多个 数 , 所以 由上面 4 ) 中的 结论知 , 多 项式 的相等 与多 项式 函数的 相等 实际上 是一致 的 .换句 话 说 , 数 域 P 上的 多 项 式 既 可 以 作 为 形式 表 达 式 来 处 8 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考
第1章多项式 9 理，也可以作为函数来处理 10.复数域上多项式的因式分解及根的性质 (1)复系数多项式因式分解定理复系数（≥1）次多项式在复数域上都 可惟一地分解成一次因式的乘积换句话说，复数域上任一次数大于1的多项 式都是可约的 (2)标准分解式复系数≥1)次多项式八x)具有标准分解式 fx)=a(x-4)(x-)5.(x-a)9 其中a是f(x)的首项系数，4，西，.，4是不同的复数，n,n,.,上是正整数 且n+n+.+n=n. (3)代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中至少有一根 (4)n次复系数多项式在复数域内恰有n个复根（重根按重数计算）， (5)根与系数的关系(Vieta定理)设a,.,am是一元n次多项式 f八x)=ax"+a1x1+.+ax+0(a≠0) 的n个根，则根与多项式的系数之间有关系： 4++.+0,=. a西+a4+.+a10,= 4+44+.+2014=.马2 a 440。 4吗.01+.+马.g=(-1)4-14 aa=(-1)"9 a 11.实数域上多项式的因式分解及根的性质 (1)实系数多项式因式分解定理实系数（≥1）次多项式在实数域上都 可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.换句话说，实系数多项 式八x)在实数域上不可约的充分必要条件是(f(x)=1或f代x)=ax2+ br+c且b-4ac<0 (2)标准分解式实系数≥1)次多项式(x)具有标准分解式
理 , 也可以 作为 函数来 处理 . 10. 复数域上多项式的因式分解及根的性质 ( 1) 复系数多项式因式分解定理 复系数 n( ≥ 1) 次多项式在复数域上都 可惟一地分解成一次因式的乘积 .换句话说 , 复数域上任一次数大于 1 的多项 式都是可约的 . ( 2) 标准分解式 复系数 n( ≥ 1) 次多项式 f( x) 具有标准分解式 f( x) = an ( x - α1 ) r 1 ( x - α2 ) r 2 . ( x - αs ) r s 其中 an 是 f ( x ) 的首项系数 ,α1 ,α2 ,. ,αs 是不同的复数 , r1 , r2 ,. , rs 是正整数 且 r1 + r2 + . + rs = n . (3 ) 代数基本定理 每个次数≥ 1的复系数多项式在复数域中至少有一根 . ( 4) n 次复系数多项式在复数域内恰有 n 个复根 ( 重根按重数计算 ) . ( 5) 根与系数的关系 (Vieta 定理 ) 设α1 ,α2 , . ,αn 是一元 n 次多项式 f ( x ) = an x n + an- 1 x n- 1 + . + a1 x + a0 ( an ≠ 0) 的 n 个根 , 则根与多项式的系数之间有关系 : α1 + α2 + . + αn = - an - 1 an α1α2 + α1α3 + . + αn - 1αn = an - 2 an α1α2α3 + α1α2α4 + . + αn - 2αn- 1αn = - an - 3 an . α1α2 .αn - 1 + . + α2α3 .αn = ( - 1) n - 1 a1 an α1α2 .αn = ( - 1) n a0 an 11. 实数域上多项式的因式分解及根的性质 ( 1) 实系数多项式因式分解定理 实系数 n( ≥ 1) 次多项式在实数域上都 可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积 . 换句话说 , 实系数多项 式 f( x) 在实数域上不可约的充分必要条件是 ( f ( x) ) = 1 或 f( x) = ax 2 + bx + c 且 b 2 - 4 ac < 0 . ( 2) 标准分解式 实系数 n( ≥ 1) 次多项式 f( x) 具有标准分解式 第 1 章 多项式 9
10 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 f(x)=a(x-4)1.(x-g)(+nx+).(x2+p,x+g) 其中a是f(x)的首项系数，4，.，g是互异实数，p,g(i=1,2,.,0是互异 的实数对，且满足房·44<0(i=1,2,.,).4,.,4,%,.,k都是正整 数，且 {+.+k+2k+.+2k=n (3)如果a是实系数多项式(x)的一个非实的复数根，则它的共轭数a也 是八x)的根，并且ā与ā有同一重数.由此可知，奇数次实系数多项式必有 实根 12.有理数域上多项式的因式分解及根的性质 (1)如果一个非零的整系数多项式八x)的系数互素，则称x)是一个本 原多项式， (2)设八x)是任一有理系数多项式，则存在有理数r及本原多项式(x), f八x)=rh(x) 且这种表示法除了差一个正负号是惟一的也即，如果八x)=h(x)=sg(x), 其中Mx),g(x)都是本原多项式，则必有r=±s,Mx)=±gx) 注 上面结果表明有理系数多项式可以转化为整系数多项式未研究 (3)高斯(Guss)引理两个本原多项式的乘积还是本原多项式 (4)如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项 式的乘积，则它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积 (5)设f(x)是整系数多项式，gx)为本原多项式，如果f(x)=gx)hMx), 其中(x)是有理系数多项式，则Mx)一定是整系数多项式 (6)艾森斯坦(Eisenstein)判别法设 f八x)=ax"+a1x1+.+ax+a 是一个整系数多项式，如果存在素数p,使 ①p|a(i=0,1,.,n-1);②p8a;③p8am 则代x)在有理数域上不可约 注1.艾氏判别条件仅是一个判别整系数多项式不可约的充分条件，也就是说，如 果一个整系数多项式不满足艾氏判别条件，则它既可能是可约的，也可能是不可约的 2.有些整系数多项式八x)不能直接用艾氏判别法来判断其是否可约，此时可以考虑 利用适当的文字代换x=四+b(a,b为整数且a≠0)，使f八ay+)=g(y)满足艾氏判
f ( x ) = an ( x - α1 ) l 1 . ( x - αs ) l s ( x 2 + p1 x + q1 ) k 1 . ( x 2 + pt x + qt ) k t 其中 an 是 f ( x) 的首项系数 ,α1 ,. ,αs 是互异实数 . pi , qi ( i = 1,2 ,. , t) 是互异 的实数对 , 且满足 p 2 i - 4 qi < 0 ( i = 1,2 ,. , t) . l1 , ., ls , k1 , . , kt 都是正整 数 ,且 l1 + . + ls + 2 k1 + . + 2 kt = n ( 3) 如果α是实系数多项式 f ( x) 的一个非实的复数根 , 则它的共轭数α也 是 f( x) 的根 ,并且 α与α有同一重数 .由此可知 , 奇数次实系数多项式必有 实根 . 12. 有理数域上多项式的因式分解及根的性质 ( 1) 如果一个非零的整系数多项式 f( x) 的系数互素 ,则称 f( x) 是一个本 原多项式 . ( 2) 设 f( x) 是任一有理系数多项式 , 则存在有理数 r 及本原多项式 h( x ) , 使 f ( x ) = rh( x ) 且这种表示法除了差一个正负号是惟一的 .也即 ,如果 f( x) = rh ( x) = sg ( x ) , 其中 h( x) , g( x) 都是本原多项式, 则必有 r =± s, h( x ) = ± g( x) . 注 上面结 果表 明有理 系数 多项式 可以 转化为 整系数 多项 式来研 究 . ( 3) 高斯 (Gauss) 引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式 . ( 4) 如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项 式的乘积 , 则它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积 . ( 5) 设 f ( x ) 是整系数多项式 , g( x) 为本原多项式 , 如果 f ( x ) = g( x ) h( x ) , 其中 h( x) 是有理系数多项式 , 则 h( x) 一定是整系数多项式 . ( 6) 艾森斯坦(Eisenstein) 判别法 设 f ( x ) = an x n + an- 1 x n- 1 + . + a1 x + a0 是一个整系数多项式 ,如果存在素数 p,使 ① p | ai ( i = 0 ,1 ,. , n - 1) ; ② p8 an ; ③ p 2 8 a0 则 f( x) 在有理数域上不可约 . 注 1. 艾氏 判别 条件仅 是一 个判别 整系 数 多 项 式不 可 约 的 充分 条 件 , 也 就是 说 , 如 果一个 整系 数多项 式不满 足艾 氏判别 条件 , 则 它既可 能是 可约的 , 也 可能 是不可 约的 . 2. 有些 整系数 多项 式 f ( x ) 不能直 接用 艾氏判 别法来 判断 其是否 可约 , 此 时可以 考虑 利用适 当的 文字代 换 x = ay + b ( a, b为 整数且 a ≠ 0 ) , 使 f ( ay + b) = g( y ) 满足艾 氏判 10 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考
第1章多项式 11 别条件，从而来判定原多项式(x)不可约（其理由见下面之(7）)，这是一个较好的方法 但未必总是奏效 (7)有理系数多项式代x)在有理数域上不可约的充分必要条件是，对任意 有理数a≠0和b,多项式gx)=f(ar+b)在有理数域上不可约（见例1.18的 证明) (8)在有理数域上存在任意次数的不可约多项式，如X+2在有理数域上 不可约 (9)设八x)=ax”+a1x1+.+4x+a是一个整系数多项式，而 是它的一个有理根，其中，s互素，则必有s,r|①.特别地，如果f八x)的首 项系数a=1,则八x)的有理根都是整数根，而且是a的因子 注1.由以上结果可以求整系数多项式八x)的有理根，即先求出常数项①与首项 系数a,的所有因数，再以m的因数作分母及am的因数作分子写出所有可能的既约分数 占，逐个检整是香有人上]-0，若成立则片是()的有理根最后一步可通过用 x·二去除八(x)(用综合除法)的余数是否为零来检验。 2.当有理系数多项式f八x)在有理数域上不可约，且(f八x)>1时，f(x)没有有理 根这里(x)>1是必须的，如)=3x+2有有理根.子，但(x)=1且x) 不可约 3.“有理系数多项式八x)没有有理根，则f八x)在有理数域上不可约”这一命题当 2≤(f(x)≤3时是成立的，但当(x)≥4时，命题不再成立，如fx)=(2+1)2 没有有理根，但它在有理数域上可约 13.多元多项式的概念 (1)设P是一个数域，.，x是n个文字，称形如 aix点.x点(a∈P,h,k,.,k为非负整数) 的式子为数域P上的一个n元单项式，称a为这个单项式的系数当a≠0时，称 此单项式中各文字的指数之和+飞+.+k为这个单项式的次数如果两个 单项式中相同文字的指数对应相等，则称这两个单项式为同类项，有限个单项 式的和
别条件 , 从 而来 判定原 多项 式 f ( x ) 不 可约 (其 理由 见 下面 之 ( 7 ) ) .这 是 一个 较 好 的 方 法 , 但未必 总是 奏效 . ( 7) 有理系数多项式 f( x) 在有理数域上不可约的充分必要条件是 ,对任意 有理数 a≠ 0 和 b,多项式 g( x) = f ( ax + b) 在有理数域上不可约( 见例 1 .18 的 证明) . ( 8) 在有理数域上存在任意次数的不可约多项式, 如 x n + 2 在有理数域上 不可约 . ( 9) 设 f( x) = an x n + an- 1 x n - 1 + . + a1 x + a0 是一个整系数多项式, 而 r s 是它的一个有理根 ,其中 r,s互素 ,则必有 s| an , r | a0 . 特别地 ,如果 f ( x ) 的首 项系数 an = 1, 则 f( x) 的有理根都是整数根 ,而且是 a0 的因子 . 注 1. 由以 上结 果可以 求整 系数多 项式 f ( x ) 的有 理根 , 即先 求出 常数 项 a0 与 首项 系数 an 的 所有 因数 , 再以 a0 的 因数 作 分母 及 an 的因 数作 分子 写出 所有 可能 的既 约 分数 r s , 逐个 检 验 是 否 有 f r s = 0, 若 成 立 则 r s 是 f ( x ) 的 有 理 根 .最 后 一 步 可 通 过 用 x - r s 去除 f ( x ) ( 用综 合除法 ) 的 余数是 否为 零来检 验 . 2. 当有 理系 数多项 式 f ( x ) 在 有理数 域上 不可约 , 且 ( f ( x ) ) > 1 时 , f ( x ) 没有 有理 根 .这里 ( f ( x ) ) > 1 是 必须 的 , 如 f ( x ) = 3 x + 2 有有理 根 - 2 3 , 但 ( f ( x ) ) = 1 且 f ( x ) 不可约 . 3.“有 理系 数多项 式 f ( x ) 没 有有 理根 , 则 f ( x ) 在 有 理 数 域上 不 可 约 .”这 一 命题 当 2 ≤ ( f ( x ) ) ≤ 3 时 是成立 的 , 但当 ( f( x ) ) ≥ 4 时 , 命 题不 再成立 , 如 f ( x ) = ( x 2 + 1 ) 2 没有有 理根 , 但 它在有 理数 域上可 约 . 13. 多元多项式的概念 ( 1) 设 P 是一个数域 , x1 , x2 , . , xn 是 n 个文字 ,称形如 ax k 11 x k 22 . x k nn ( a ∈ P , k1 , k2 , . , kn 为非负整数 ) 的式子为数域 P上的一个 n元单项式, 称 a为这个单项式的系数 .当 a≠0 时, 称 此单项式中各文字的指数之和 k1 + k2 + . + kn 为这个单项式的次数 .如果两个 单项式中相同文字的指数对应相等 , 则称这两个单项式为同类项 .有限个单项 式的和 f( x1 , x2 , . , xn ) = k 1 , k ∑ 2 , ., k n ak 1 , k 2 ,. , k n x k 1 1 x k 2 2 . x k n n 第 1 章 多项式 11