12 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 称为数域P上n个文字x1,.,x的一个多项式，简称n元多项式当n≥2 时，n元多项式统称为多元多项式当一个多元多项式表成一些不同类的单项式 的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多元多项式的次 数如果多元多项式∫中所有单项式的次数都等于k,则称∫为一个k次齐次多 项式 注虽然多元多项式也有次数，但由于不同类的单项式可能有相同的次数，所以我 们无法将多元多项式按其中单项式的次数给出一个自然排列的顺序根据不同问题讨论 的方便，引入多元多项式的不同排列顺序，如字奥排列法、齐次成分表示法及二元多项式 按某一文字的降暴排列法等 (2)数域P上关于文字x1,?,.,x的全体n元多项式的集合记作 P[,.,xn],称为数域P上的n元多项式环多元多项式也可定义相等的 概念，及引入相加、相减、相乘等运算，并且也有与一元多项式同样的运算律及 次数性质显然，两个k次齐次多项式的和是零或k次齐次多项式：一个k次齐 次多项式与一个1次齐次多项式的乘积是一个k+1次齐次多项式 (3)设f(,.,xm)是一个m次n元多项式，则它可以惟一地表示成 八，“，)=五（，.） 其中(，.，)是i次齐次多项式，称之为∫的i次齐次成分，称上式为∫ 的齐次成分表示法如果1次n元多项式g(n,。,.,x)也用齐次成分表示为 8,.,)=8(n,e,.,） 则乘积 h,龙，.，xm)=f八前，2，.，）g,.,x) 的k次齐次成分为 (n,2,.,xa）=∑fi(n,拉，.，xa)g(n,拉，.，) 特别地，h(n,n,.,)的最高次齐次成分为 hm1(,.,xm）=fm(者，为，.，x)g(,龙，.，xn） 由此可知，对于多元多项式也有乘积的次数等于因子次数之和的性质 (4)设ax的安.与bx地.场为某一个n元多项式的两项，当 h=1,.,k1=-1,k>b(1≤m) 时，将ax竹安.x欢排在bx欢.功的前面如果将两个单项式的指标组排成 n元数组
称为数域 P 上 n 个文字 x1 , x2 , . , xn 的一个多项式 ,简称 n元多项式 .当 n≥ 2 时 , n元多项式统称为多元多项式 .当一个多元多项式表成一些不同类的单项式 的和之后 , 其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多元多项式的次 数 .如果多元多项式 f 中所有单项式的次数都等于 k ,则称 f 为一个 k 次齐次多 项式 . 注 虽然多 元多 项式也 有次数 , 但由 于 不同 类 的 单 项式 可 能 有 相同 的 次 数 , 所以 我 们无法 将多 元多项 式按其 中单 项式的 次数 给 出一 个 自 然 排列 的 顺 序 .根据 不 同 问 题讨 论 的方便 , 引 入多 元多项 式的 不同排 列顺 序 , 如 字典 排 列 法、齐次 成 分 表 示法 及 二 元 多项 式 按某一 文字 的降幂 排列法 等 . ( 2) 数域 P 上关 于文 字 x1 , x2 , . , xn 的 全体 n 元 多项 式的 集 合记 作 P [ x1 , x2 , . , xn ] , 称为数域 P 上的 n 元多项式环 .多元多项式也可定义相等的 概念 ,及引入相加、相减、相乘等运算 , 并且也有与一元多项式同样的运算律及 次数性质 .显然, 两个 k 次齐次多项式的和是零或 k 次齐次多项式 ;一个 k 次齐 次多项式与一个 l 次齐次多项式的乘积是一个 k + l 次齐次多项式 . ( 3) 设 f( x1 , x2 , . , xn ) 是一个 m 次 n 元多项式 ,则它可以惟一地表示成 f ( x1 , x2 ,. , xn ) = ∑ m i = 0 fi ( x1 , x2 , ., xn ) 其中 fi ( x1 , x2 , . , xn ) 是 i 次齐次多项式 ,称之为 f 的 i 次齐次成分 ,称上式为 f 的齐次成分表示法 .如果 l 次 n 元多项式 g( x1 , x2 ,. , xn ) 也用齐次成分表示为 g( x1 , x2 , . , xn ) = ∑ l j = 0 gj ( x1 , x2 , . , xn ) 则乘积 h( x1 , x2 ,. , xn ) = f( x1 , x2 ,. , xn ) g( x1 , x2 ,. , xn ) 的 k 次齐次成分为 hk ( x1 , x2 ,. , xn ) = i ∑+ j = k f i ( x1 , x2 , . , xn ) gj ( x1 , x2 ,. , xn ) 特别地, h( x1 , x2 , ., xn ) 的最高次齐次成分为 hm+ l ( x1 , x2 ,. , xn ) = fm ( x1 , x2 , ., xn ) gl ( x1 , x2 , . , xn ) 由此可知 , 对于多元多项式也有乘积的次数等于因子次数之和的性质 . ( 4) 设 ax k 1 1 x k 2 2 . x k n n 与 bx l 1 1 x l 2 2 . x l n n 为某一个 n 元多项式的两项 ,当 k1 = l1 , . , ki- 1 = li- 1 , ki > li ( i ≤ n) ( * ) 时 ,将 ax k 1 1 x k 2 2 . x k n n 排在 bx l 1 1 x l 2 2 . x l n n 的前面 .如果将两个单项式的指标组排成 n元数组 12 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考
第1章多项式 13 (k,危，.，k),(4,6,.,) 当(*)式成立时，则称前一个n元数组先于后一个n元数组，记为 (h,.,k)>(,b,.,) 这样就确定了单项式之间的一个先后顺序，相应地给出了n元数组的一个先后 顺序将”元多项式中各单项式按这种先后次序排列的方法称为字典排列法 按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为n元多项式的首项. 注首项不一定具有最高的次数，如3元多项式f,2,3)=2好+好+ 疗的次数为5，按字典排列法写出来就是∫=+好+2好好，其首项行是3次的 (5)当f八，.，x)≠0，g(,2,.,x）≠0时，乘积 f八，.，xn)g(,2,.,m） 的首项等于∫的首项与8的首项的乘积 (6)由多元多项式也可以引入多元多项式函数设∫，g为两个n元多项式， 则∫=g的充分必要条件是，对任意数q,Q,.,c∈P,有 f(a,a,.,cm)=ga,a,.,o) 注多元多项式是一元多项式的推广，一元多项式中的许多概念，如整除的概念、最 大公因式的概念、不可约多项式与因式分解的概念等，都可以平行地移植到多元多项式中 来但由于文字的增多，一些对一元多项式成立的结论对多元多项式不再成立，如，在一元 多项式中具有重要应用的带余除法定理与最大公因式的存在表示定理，在多元多项式中 不再成立 14.对称多项式 (1)设f八，地，.，x)为数域P上的n元多项式如果任意交换两个文字， 多项式均不变，即对任意i,j(1≤i<j≤m)都有 f八1，.，.，x,.,xa)=f八n,.,.,.,n） 则称f八x,。,.,xm)为数域P上的一个n元对称多项式下列n个对称多项式 0=+龙+.+xn 0=n边+x1为+.+-1xm 0=nn9+x1拉34+.+xm-2-1 . 称为初等对称多项式 (2)对称多项式的和、乘积仍是对称多项式：对称多项式的多项式仍是对称
( k1 , k2 , . , kn ) , ( l1 , l2 , . , ln ) 当( * ) 式成立时 , 则称前一个 n元数组先于后一个 n 元数组 ,记为 ( k1 , k2 , . , kn ) > ( l1 , l2 , . , ln ) 这样就确定了单项式之间的一个先后顺序 ,相应地给出了 n元数组的一个先后 顺序 .将 n 元多项式中各单项式按这种先后次序排列的方法称为字典排列法 . 按字典排列法写出来的第一个系数不为零的单项式称为 n 元多项式的首项 . 注 首项不 一定 具有最 高的 次数 , 如 3 元多项 式 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x 2 2 x 2 3 + x 2 1 x 2 2 + x 3 1 的次 数为 5, 按字 典排列 法写出 来就 是 f = x 3 1 + x 2 1 x 2 2 + 2 x1 x 2 2 x 2 3 , 其 首项 x 3 1 是 3 次 的 . ( 5) 当 f( x1 , x2 , . , xn ) ≠ 0 , g( x1 , x2 , . , xn ) ≠ 0 时 ,乘积 f ( x1 , x2 , . , xn ) g( x1 , x2 , . , xn ) 的首项等于 f 的首项与 g 的首项的乘积 . ( 6) 由多元多项式也可以引入多元多项式函数 .设 f , g为两个 n 元多项式 , 则 f = g的充分必要条件是 ,对任意数 c1 , c2 ,. , cn ∈ P, 有 f ( c1 , c2 , ., cn ) = g( c1 , c2 ,. , cn ) 注 多元多 项式 是一元 多项式 的推 广 .一元多 项式 中的许 多概 念 , 如 整 除的 概 念、最 大公因 式的 概念、不可 约多 项式与 因式 分解的 概念等 , 都可以 平行地 移 植到 多 元多 项 式中 来 .但由于 文字 的增多 , 一 些对 一元多 项式 成立的 结论 对多元 多项式 不 再成 立 , 如 , 在 一元 多项式 中具 有重要 应用的 带余 除法定 理与 最 大公 因 式 的 存在 表 示 定 理 , 在 多 元 多 项式 中 不再成 立 . 14. 对称多项式 ( 1) 设 f ( x1 , x2 ,. , xn ) 为数域 P上的 n元多项式 .如果任意交换两个文字 , 多项式均不变 , 即对任意 i, j ( 1 ≤ i < j ≤ n) 都有 f ( x1 ,. , xi ,. , x j ,. , xn ) = f( x1 ,. , x j ,. , xi ,. , xn ) 则称 f ( x1 , x2 , . , xn ) 为数域 P 上的一个 n 元对称多项式 .下列 n个对称多项式 σ1 = x1 + x2 + . + xn σ2 = x1 x2 + x1 x3 + . + xn - 1 xn σ3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + . + xn - 2 xn - 1 xn . σn = x1 x2 . xn 称为初等对称多项式 . ( 2) 对称多项式的和、乘积仍是对称多项式; 对称多项式的多项式仍是对称 第 1 章 多项式 13
14 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 多项式 (3)对称多项式基本定理设八，.，x)为数域P上的一个n元对 称多项式，则存在惟一的n元多项式(n,2,.,),使得 f,.,x)=0,0,.,0n) 其中q,.,0为初等对称多项式 (4)将对称多项式表为初等对称多项式的多项式常采用以下方法 方法一一逐步消去首项法 这是推导对称多项式基本定理时给出的方法，其一般步骤是 第一步首先找出对称多项式∫的首项中安.点，则一定有 为≥的≥.≥kn 第二步由的首项写出4： 中=中与晾与.1n略 第三步作无=∫.4，并展开化简 再对人按第一、二、三步进行，构造=·虫如此反复进行，直至出现 f=f众1-虫=0，则 f=中+中+.+k 方法二一待定系数法 设∫是m次齐次对称多项式，用待定系数法求解的一般步骤是： 第一步根据∫的首项指标组写出所有可能的指标组(，危，·，k),这 些指标组应满足①k≥飞≥.≥k:②k+飞+.+k=m,③前面的指 标组先于后面的指标组， 第二步由指标组(k,.,飞)写出对应的初等对称多项式的方幂的乘积 的h的.dp1l 第三步设出∫由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式，其首项 系数即为f的首项系数，其余各项系数分别用a,b,c,.代替 第四步分组选取适当的(i=1,2,.,)的值，计算，@，.，及f 代入第三步中设出的表达式得到关于a,b,c,.的线性方程组，解这个线性方程 组求得a,b,c,.的值，最后写出所求的f的表达式 注1.当∫是非齐次对称多项式时，可以将它表成若干齐次对称多项式的和，把它的 每一个齐次对称多项式表为初等对称多项式的多项式，再把所得到的各部分相加即可， 2.待定系数法是深入研究对称多项式基本定理的证明过程而得出的筒化方法，要求 熟练掌握
多项式 . ( 3) 对称多项式基本定理 设 f( x1 , x2 , ., xn ) 为数域 P 上的一个 n 元对 称多项式 , 则存在惟一的 n元多项式φ( y1 , y2 ,. , yn ) ,使得 f( x1 , x2 , . , xn ) = φ(σ1 ,σ2 ,. ,σn ) 其中σ1 ,σ2 ,. ,σn 为初等对称多项式 . ( 4) 将对称多项式表为初等对称多项式的多项式常采用以下方法 : 方法一 ——— 逐步消去首项法 这是推导对称多项式基本定理时给出的方法 ,其一般步骤是 : 第一步 首先找出对称多项式 f 的首项 a0 x k 1 1 x k 2 2 . x k n n , 则一定有 k1 ≥ k2 ≥ . ≥ kn 第二步 由 f 的首项写出φ1 : φ1 = a0σk 1 - k 2 1 σk 2 - k 3 2 .σk n- 1 - k n n - 1 σk n n 第三步 作 f1 = f - φ1 ,并展开化简 . 再对 f1 按第一、二、三步进行 ,构造 f2 = f1 - φ2 .如此反复进行 ,直至出现 f k = f k - 1 - φk = 0 ,则 f = φ1 + φ2 + . + φk 方法二 ——— 待定系数法 设 f 是 m 次齐次对称多项式 ,用待定系数法求解的一般步骤是 : 第一步 根据 f 的首项指标组写出所有可能的指标组 ( k1 , k2 , ., kn ) , 这 些指标组应满足 ① k1 ≥ k2 ≥ . ≥ kn ;② k1 + k2 + . + kn = m;③ 前面的指 标组先于后面的指标组 . 第二步 由指标组( k1 , k2 ,., kn ) 写出对应的初等对称多项式的方幂的乘积 σk 1 - k 2 1 σk 2 - k 3 2 .σk n - 1 - k n n- 1 σk n n 第三步 设出 f 由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式 ,其首项 系数即为 f 的首项系数 ,其余各项系数分别用 a, b, c,. 代替 . 第四步 分组选取适当的 xi ( i = 1, 2, ., n) 的值 , 计算σ1 ,σ2 , .,σn 及 f , 代入第三步中设出的表达式得到关于 a, b, c,. 的线性方程组 ,解这个线性方程 组求得 a, b, c,. 的值 ,最后写出所求的 f 的表达式 . 注 1. 当 f 是非齐 次对称 多项 式时 , 可 以将它 表成若 干齐 次对称 多项 式的和 , 把 它的 每一个 齐次 对称多 项式表 为初 等对称 多项 式的多 项式 , 再 把所得 到的 各部分 相加 即可 . 2. 待定系 数法是 深入 研究对 称多 项式基 本定 理 的证 明 过程 而 得出 的 简化 方 法 , 要 求 熟练掌 握 . 14 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考
第1章多项式 15 二、知识网络图 数域 一元多项式概念 多项式函数 多项式的相等 多项式恒等 及运算，导数 多项式函数的运算 带余除法 综合除法 余数定理 t 整除性 因式分解 方程的根 不可约多项式 数域P上次多 项式在P中的根 最大公因式 因式分解 重因式 不多于个： 惟一性定理 重根 复数域 实数域 有理多 本原多 实多项 代数学 上的 上的 顶式不 面式求 式根的 基本定西 因式分解 因式分解 药判 有理根 性质 两个一元高次 方程的公共根 结式 二元高次方程组 根与系数 的公共解 的关系 (第三章 多元多项式概念 多元多项式函数 对称多项式 对称多项式基本定理
二、知识网络图 第 1 章 多项式 15
16 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 三、重点、难点解读 本章对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式 与多元多项式两大部分，以一元多项式为主， 一元多项式可归纳为以下四个方面： (1)一般理论：包括一元多项式的概念，运算，导数及基本性质 (2)整除理论：包括整除、最大公因式、互素的概念与性质 (3)因式分解理论：包括不可约多项式，因式分解，重因式，实系数与复系数 多项式的因式分解，有理系数多项式不可约的判定等 (4)根的理论：包括多项式函数，多项式的根，代数学基本定理，有理系数多 项式的有理根求法，根与系数的关系等 一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结 论是带余除法定理、最大公因式的存在表示定理、因式分解的惟一性定理在学 习过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能整体上把握一元多项式 的理论， 对于多元多项式，则要理解元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称 多项式表成初等对称多项式的多项式的方法 四、典型例题解析 例11当a,b,c取何值时，多项式f八x)=x·5与gx)=a(x·2)2+ Mx+1)+(X·x+2)相等 分析可以利用多项式相等的定义，即对应同次项的系数相等；也可根据 数域P上多项式相等与多项式恒等（即对应函数值相等）一致的结论，分别取一 些特殊的x的值来确定参数 解法1由于 g(x)=(a+c)2+(-4a+b-cx+(4a+b+2c) 根据多项式相等的定义，得 a+c=0,-4a+b.c=1,4a+b+2c=-5 解得a=，6=c=子
三、重点、难点解读 本章对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述 ,内容可分为一元多项式 与多元多项式两大部分 ,以一元多项式为主 . 一元多项式可归纳为以下四个方面 : ( 1) 一般理论 :包括一元多项式的概念 , 运算 , 导数及基本性质 . ( 2) 整除理论 :包括整除、最大公因式、互素的概念与性质 . ( 3) 因式分解理论: 包括不可约多项式 , 因式分解 , 重因式 , 实系数与复系数 多项式的因式分解 ,有理系数多项式不可约的判定等 . ( 4) 根的理论 :包括多项式函数 , 多项式的根 , 代数学基本定理 , 有理系数多 项式的有理根求法 ,根与系数的关系等 . 一元多项式的内容十分丰富 , 重点是整除与因式分解的理论 , 最基本的结 论是带余除法定理、最大公因式的存在表示定理、因式分解的惟一性定理 .在学 习过程中 , 如能把握这两个重点和三大基本定理 , 就能整体上把握一元多项式 的理论 . 对于多元多项式 ,则要理解 n 元多项式、对称多项式等有关概念, 掌握对称 多项式表成初等对称多项式的多项式的方法 . 四、典型例题解析 例 1 .1 当 a, b, c取何值时 ,多项式 f ( x ) = x - 5 与 g( x ) = a( x - 2) 2 + b( x + 1) + c( x 2 - x + 2) 相等 . 分析 可以利用多项式相等的定义 ,即对应同次项的系数相等; 也可根据 数域 P 上多项式相等与多项式恒等 (即对应函数值相等) 一致的结论 ,分别取一 些特殊的 x 的值来确定参数 . 解 法 1 由于 g( x ) = ( a + c) x 2 + ( - 4 a + b - c) x + (4 a + b + 2c) 根据多项式相等的定义 ,得 a + c = 0, - 4 a + b - c = 1 , 4 a + b + 2 c = - 5 解得 a = - 6 5 , b = - 13 5 , c = 6 5 . 16 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考