高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 多项式的次数有下列性质（设多项式f八x)≠0，g(x)≠0） 1)当八x)±g(x)≠0时 (八x)±g(x)≤max{(f(x),(g(x))} 2)(f八x)g(x)=(f八x)+(gx) 3)所有系数在数域P中的一元多项式的全体记为P[x),称为数域P上的 一元多项式环；数域P上一切次数小于n的多项式，再添上零多项式的全体，记 为P[x]。 3.多项式的带余除法及整除性 (1)定理（带余除法）设f八x),g(x)∈P[x],g(x)≠0，则存在惟一的多 项式q(x),(x)∈P[x),使 f八x)=g(x)gx)+(x) 其中(x)=0或(Mx)<(g(x)称上式中x)为gx)除f(x)的商 (x)为g(x)除x)的余式 (2)设fx),g(x)∈PLx),如果存在多项式(x)∈P[x],使 f(x)=h(x)g(x) 则称g(x)整除f八x)(或f(x)能被g(x)整除)，记为g(x)|f(x)此时称g(x) 为)的因式，八)为以刘的倍式商从)也记为资到即从到=盘母用 g(x)8fx)表示g(x)不能整除f(x),就是不存在Mx),使fx)=x)g(x) 成立 注PIx]中的多项式不能作除法，而整除性不是多项式的运算，它是P[x]中元素间 的一种关系，即任给P[x】中两个多项式f(x),gx),可以判断g()整除x)或x)不 能整除x), (3)如果gx)≠0，则g(x)|f(x)的充分必要条件是用g(x)除f(x)所 得的余式x)=0. (4)零多项式只能整除零多项式：任一多项式一定能整除它自身：任一多项 式都可以整除零多项式；零次多项式（非零常数）能整除任一多项式 (5)多项式八x)与cf(x)(c≠O)有相同的因式和倍式 (6)两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变 (7)整除有以下性质 1)如果g(x)1f八x),则g(x)|f(x),其中k为非零常数，1为常数
多项式的次数有下列性质( 设多项式 f( x) ≠ 0 , g( x) ≠ 0) : 1 ) 当 f( x) ± g( x ) ≠ 0 时 ( f( x) ± g( x) ) ≤ max{ ( f ( x ) ) , ( g( x) )} 2 ) ( f( x) g( x) ) = ( f ( x ) ) + ( g( x) ) 3 ) 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体记为 P[ x] ,称为数域 P 上的 一元多项式环 ; 数域 P 上一切次数小于 n 的多项式 ,再添上零多项式的全体, 记 为 P[ x ] n . 3. 多项式的带余除法及整除性 ( 1) 定理 (带余除法 ) 设 f ( x) , g( x) ∈ P[ x ] , g( x ) ≠ 0 ,则存在惟一的多 项式 q( x) , r( x ) ∈ P[ x] ,使 f( x) = q( x ) g( x) + r( x) 其中 r( x) = 0 或 ( r( x) ) < ( g( x ) ) .称上式中 q( x) 为 g( x) 除 f ( x ) 的商 , r( x) 为 g( x) 除 f( x) 的余式 . ( 2) 设 f( x) , g( x ) ∈ P[ x] ,如果存在多项式 h( x) ∈ P[ x ] , 使 f ( x ) = h( x ) g( x ) 则称 g( x ) 整除 f( x) ( 或 f ( x ) 能被 g( x ) 整除) ,记为 g( x ) | f ( x ) .此时称 g( x) 为 f ( x ) 的因式 , f ( x ) 为 g( x) 的倍式, 商 h( x) 也记为 f( x) g( x) , 即 h( x) = f( x) g( x) .用 g( x) 8 f( x) 表示 g( x) 不能整除 f ( x ) , 就是不存在 h( x) ,使 f( x) = h( x) g( x) 成立 . 注 P[ x ] 中的 多项式 不能 作除法 , 而 整除 性不是 多项 式的运 算 , 它是 P[ x ] 中元 素间 的一 种关系 , 即 任给 P[ x ] 中两个 多项式 f ( x ) , g( x) , 可以判 断 g( x) 整除 f( x ) 或 g( x ) 不 能整除 f( x ) . ( 3) 如果 g( x) ≠ 0, 则 g( x) | f ( x ) 的充分必要条件是用 g( x) 除 f ( x) 所 得的余式 r( x ) = 0 . ( 4) 零多项式只能整除零多项式 ; 任一多项式一定能整除它自身 ;任一多项 式都可以整除零多项式 ;零次多项式 (非零常数 ) 能整除任一多项式 . ( 5) 多项式 f( x) 与 cf ( x ) ( c ≠ 0) 有相同的因式和倍式 . ( 6) 两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变 . ( 7) 整除有以下性质 : 1 ) 如果 g( x ) | f ( x) ,则 kg( x) | lf ( x) ,其中 k 为非零常数 , l 为常数 . 2 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考
第1章多项式 3 2)如果f八x)1g(x),g(x)|Mx),则f(x)1h(x) 3)如果fx)1g(x),又(x)为任意多项式，i=1,2,.,m,则 fx)|[4(x)g(x)+地(x)g(x)+.+(x)gm(x)] 4)如果f(x)|g(x),g(x)|x),则f(x)=cg(x),其中c为非零常数 (8)带余除法的计算格式： 用多项式g(x)≠0除多项式八x)所得的商q(x)和余式(x)可以通过如 下两种格式进行： 1)普通除法或长除法 商gx) 除式gx)被除式x) )g(x) 余式(x) 2)竖式除法 除式g(x)被除式f(x)商qx)或商qx)被除式x)除式gx) -）q(x)g(x) -q(x)g(x) 余式(x) 余式(x) 注1.在利用以上两种格式进行计算时，要逐步利用除式gx)确定商q(x)中由高 次到低次的项来消去被除式的首项，以得到次数低于g(x)的多项式或零多项式(x) 2.当利用辗转相除法求两个多项式的最大公因式时，用竖式除法较为方便 (9)综合除法： 设以g(x)=x-a除f(x)=anx”+a1-1+.+ax+a时，所得的 商q(x)=b11+.+bx+b及余式(x)=©，则比较八x)=x)gx) +r(x)两端同次幂的系数得 b.1=an,b.2 am abn.1,.,b a abr,aa abo 这种计算可以排成以下格式进行： a a an-1 am2.aa +）ab1+)abm2.+)abi+）ab br1(=a）br-2 b-3. 用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法
2 ) 如果 f ( x ) | g( x) , g( x ) | h( x) ,则 f ( x ) | h( x) . 3 ) 如果 f ( x ) | gi ( x) ,又 ui ( x) 为任意多项式 , i = 1 ,2, . , m,则 f( x) | [ u1 ( x ) g1 ( x) + u2 ( x) g2 ( x ) + . + um ( x) gm ( x) ] 4 ) 如果 f ( x ) | g( x) , g( x ) | f( x) ,则 f ( x ) = cg( x) ,其中 c为非零常数 . ( 8) 带余除法的计算格式 : 用多项式 g( x) ≠ 0 除多项式 f( x) 所得的商 q( x ) 和余式 r( x) 可以通过如 下两种格式进行 : 1 ) 普通除法或长除法 除式 g( x) 商 q( x) 被除式 f( x) - ) q( x) g( x ) 余式 r( x) 2 ) 竖式除法 除式 g( x) 被除式 f ( x ) - ) q( x) g( x ) 余式 r( x ) 商 q( x) 或 商 q( x ) 被除式 f( x) - ) q( x ) g( x) 余式 r( x) 除式 g( x ) 注 1. 在利 用以 上两种 格式进 行计 算时 , 要逐 步利 用除式 g( x ) 确定 商 q( x ) 中 由高 次到低 次的 项来消 去被除 式的 首项 , 以 得到次 数低于 g( x ) 的 多项式 或零多 项式 r( x ) . 2. 当利用 辗转相 除法 求两个 多项 式的最 大公 因式时 , 用 竖式 除法较 为方 便 . ( 9) 综合除法 : 设以 g( x ) = x - a 除 f ( x) = an x n + an - 1 x n - 1 + . + a1 x + a0 时 ,所得的 商 q( x ) = bn - 1 x n - 1 + . + b1 x + b0 及余式 r( x) = c0 , 则比较 f( x) = q( x) g( x) + r( x ) 两端同次幂的系数得 bn - 1 = an , bn - 2 = an- 1 + abn - 1 , ., b0 = a1 + ab1 , c0 = a0 + ab0 这种计算可以排成以下格式进行 : a an an - 1 an- 2 . a1 a0 “| + ) abn - 1 + ) abn - 2 . + ) ab1 + ) ab0 ›² bn- 1 ( = an ) bn- 2 bn - 3 . b0 c0 Žx 用这种方法求商和余式 (的系数 ) 称为综合除法 . 第 1 章 多项式 3
4 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 注1.用综合除法进行计算时，被除式中所缺的项必须补上0，否则计算就错了， 2.当除式为ax+b(a≠0)时，因为 )=(m+)+)=x+][g(]+) 所以以x+6降f()可以先以x-〔·]除f(),得到商的a倍和余式，再以a除商的 a倍得到商。 3.当除式为一次式时，用综合除法比用带余除法未得方便特别是有些问题需要多次 以一次多项式作为除式的运算，综合除法更显示出它的作用 4.多项式的最大公因式 (1)设fx),g(x)∈P[x],如果dx)∈P[x]满足dx)|f(x), dx)|g(x),则称d(x)为f(x)与g(x)的一个公因式：又如果fx)与gx)的 任一公因式都能整除d(x),则称d(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式 (2)最大公因式有以下性质： 1)P[x]中任意两个多项式x)与g(x)一定有最大公因式两个零多项 式的最大公因式是零多项式，它是惟一确定的两个不全为零的多项式的最大 公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别：这时，最高次项系数为 1的最大公因式是惟一确定的八x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式记为 (f八x),g(x) 2)设八x),g(x)∈P[x],gx)≠0，如果有 f(x)=q(x)g(x)+rx) 则x)与g(x)的最大公因式一定是g(x)与(x)的最大公因式，而g(x)与 (x)的最大公因式也一定是f(x)与g(x)的最大公因式特别地，有 (fx),g(x)=(g(x),x) (这也是用辗转相除法求最大公因式的根据) 3)设f八x),g(x)∈P[x],如果x)∈P[x]是x)与g(x)的最大公因 式，则必有x),v(x)∈P[,使 dx)=x)八x)+(x)g(x) 注如果f八x),g(x),dx)∈P[x],且有等式x)■(x)f八x)+v(x)g(x)成立， 但d(x)不一定是f八x)与g(x)的最大公因式.如取f(x)=x,gx)=x+1,(x)= x+2,r(x)=x-1,dx)=2x2+2x-1,则有dx)=x)f八x)+v(x8x),但dx) 显然不是fx)与8x)的最大公因式
注 1. 用综 合除 法进行 计算 时 , 被除式 中所 缺的项 必须 补上 0 , 否则计 算就错 了 . 2. 当除式 为 a x + b ( a ≠ 0 ) 时 , 因 为 f ( x ) = ( ax + b) q( x ) + r( x ) = x + b a [ aq( x ) ] + r( x ) 所以 以 a x + b除 f ( x ) 可以先 以 x - - b a 除 f ( x ) , 得到商 的 a倍和 余式 , 再以 a除 商的 a 倍得 到商 . 3. 当除 式为 一次式 时 , 用综 合除法 比用 带余除 法来得 方便 .特 别是有 些问 题需要 多次 以一次 多项 式作为 除式的 运算 , 综 合除 法更显 示出它 的作 用 . 4. 多项式的最大公因式 ( 1) 设 f( x) , g( x) ∈ P[ x ] , 如 果 d( x) ∈ P[ x ] 满 足 d( x) | f ( x ) , d( x) | g( x) , 则称 d( x ) 为 f ( x ) 与 g( x ) 的一个公因式 ;又如果 f( x) 与 g( x) 的 任一公因式都能整除 d( x) ,则称 d( x ) 为 f ( x ) 与 g( x ) 的一个最大公因式 . ( 2) 最大公因式有以下性质 : 1 ) P[ x] 中任意两个多项式 f( x) 与 g( x) 一定有最大公因式 .两个零多项 式的最大公因式是零多项式 , 它是惟一确定的 .两个不全为零的多项式的最大 公因式总是非零多项式 ,它们之间只有常数因子的差别 ; 这时 , 最高次项系数为 1的最大公因式是惟一确定的 . f( x) 与 g( x ) 的首项系数为 1的最大公因式记为 ( f ( x) , g( x ) ) . 2 ) 设 f( x) , g( x) ∈ P[ x ] , g( x) ≠ 0, 如果有 f( x) = q( x ) g( x) + r( x) 则 f( x) 与 g( x) 的最大公因式一定是 g( x ) 与 r( x ) 的最大公因式 ,而 g( x ) 与 r( x) 的最大公因式也一定是 f ( x) 与 g( x ) 的最大公因式 .特别地 ,有 ( f( x) , g( x ) ) = ( g( x ) , r( x) ) (这也是用辗转相除法求最大公因式的根据 .) 3 ) 设 f ( x) , g( x ) ∈ P[ x ] , 如果 d( x) ∈ P[ x ] 是 f( x) 与 g( x) 的最大公因 式 ,则必有 u( x) , v( x) ∈ P[ x] ,使 d( x) = u( x) f( x) + v( x) g( x ) 注 如果 f ( x ) , g( x ) , d( x ) ∈ P[ x ] , 且有 等式 d( x ) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g( x ) 成 立 , 但 d( x ) 不 一定是 f ( x ) 与 g( x ) 的 最大 公 因 式 .如 取 f ( x ) = x , g( x ) = x + 1, u( x ) = x + 2, v ( x ) = x - 1, d( x ) = 2 x 2 + 2 x - 1 , 则 有 d( x ) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g( x ) , 但 d( x ) 显然不 是 f ( x ) 与 g( x ) 的最 大公 因式 . 4 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考
第1章多项式 4)最大公因式不因数域P的扩大而改变 (3)最大公因式可以用辗转相除法求得： 如果f(x),g(x)∈P[x],gx)≠0，且有g(x),n(x)∈Px)],使 f八x)=q(x)g(x)+n(x) 8(x)=g(x)n(x)+n(x) n(x)=4()n(x)+n(x) 5-2(x)=g(x)n-1(x)+n(x) 1(x)=41(x)n(x)+0 其中((x))≥0，则r(x)是x)与g(x)的一个最大公因式 5.互素多项式 (1)如果f八x),g(x)∈P[x)的最大公因式为非零常数，或（八x),g(x)= 1,则称f八x)与g(x)互素或互质 (2)互素的多项式具有以下性质 1)设f(x),g(x)∈P[x],fx)与g(x)互素的充分必要条件是，存在 (x),(x)∈P[x]使 Mx)f八x)+(x)g(x)=1 2)如果(fx),g(x)=1且f(x)1[gx)h(x)],则f(x)|Mx) 3)如果(fx),g(x)=1且x)1h(x),g(x)1(x),则 [f八x)gx)]Ihx) 4)如果(fx),g(x)=1,(f(x),(x)=1,则(f八x),g(x)hx)=1 6.不可约多项式 (1)如果数域P上次数大于零的多项式()不能表示成数域P上两个次 数比它低的多项式的乘积，则称p(x)是数域P上的不可约多项式 注1.零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的 2.多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关，如x2·2在有理数域Q上不可约， 而在实数城R上可约，即x2·2=(x+2)(x~2);又如2+2在实数域R上不可约， 而在复数域C上可约，即x2+2=(x+2)(x·5)一次多项式总是不可约的. 3.互素多项式指的是P[x】中两个多项式之问的一种关系，而不可约多项式是某个多
4 ) 最大公因式不因数域 P 的扩大而改变 . ( 3) 最大公因式可以用辗转相除法求得 : 如果 f ( x) , g( x) ∈ P[ x ] , g( x ) ≠ 0, 且有 qi ( x) , ri ( x ) ∈ P[ x] ,使 f( x) = q1 ( x) g( x ) + r1 ( x) g( x) = q2 ( x ) r1 ( x) + r2 ( x) r1 ( x) = q3 ( x) r2 ( x ) + r3 ( x ) . rs- 2 ( x ) = qs ( x) rs- 1 ( x ) + rs ( x) rs- 1 ( x ) = qs+ 1 ( x ) rs ( x ) + 0 其中 ( ri ( x) ) ≥ 0 ,则 rs ( x) 是 f( x) 与 g( x) 的一个最大公因式 . 5. 互素多项式 ( 1) 如果 f( x) , g( x) ∈ P[ x] 的最大公因式为非零常数 ,或( f( x) , g( x) ) = 1,则称 f ( x ) 与 g( x ) 互素或互质 . ( 2) 互素的多项式具有以下性质 : 1 ) 设 f ( x ) , g( x ) ∈ P[ x ] , f( x) 与 g( x ) 互素的充分必要条件是 , 存在 u( x) , v( x) ∈ P[ x ] 使 u( x) f( x) + v( x ) g( x) = 1 2 ) 如果 ( f( x) , g( x ) ) = 1 且 f ( x ) | [ g( x ) h( x ) ] ,则 f ( x ) | h( x) . 3 ) 如 果 ( f( x) , g( x ) ) = 1 且 f( x) | h( x) , g( x) | h( x) , 则 [ f ( x) g( x) ] | h( x) . 4 ) 如果 ( f( x) , g( x) ) = 1, ( f ( x ) , h( x ) ) = 1 ,则 ( f( x) , g( x) h( x) ) = 1 . 6. 不可约多项式 ( 1) 如果数域 P 上次数大于零的多项式 p( x) 不能表示成数域 P 上两个次 数比它低的多项式的乘积 ,则称 p( x ) 是数域 P 上的不可约多项式 . 注 1. 零多 项式 与零次 多项 式既不 能说 是可约 的 , 也不 能说是 不可 约的 . 2. 多 项式 的可约 性与 多项式 所在的 数域 密切相 关 , 如 x 2 - 2 在有 理数域 Q 上 不可 约 , 而在实 数域 R 上可 约 , 即 x 2 - 2 = ( x + 2 ) ( x - 2 ) ; 又如 x 2 + 2 在实 数域 R 上 不可 约 , 而在复 数域 C 上 可约 , 即 x 2 + 2 = ( x + 2i) ( x - 2i) .一次 多项式 总是 不可约 的 . 3. 互 素多项 式指 的是 P[ x ] 中两个 多项 式之间 的一种 关系 , 而 不可约 多项 式是某 个多 第 1 章 多项式 5
6 高等代数（北大·第三版）导教·导学·导考 项式本身的一种特性，这是完全不同的两个概念但在讨论问题时，互素多项式与不可约 多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用 (2)不可约多项式有下列性质： 1)如果p(x)是数域P上的不可约多项式，则p(x)也是P上的不可约多 项式，其中c是P中的非零数 2)设p以x)是数域P上的一个不可约多项式，则对P上任一多项式f(x), 必有(p(x),fx)=1或者p(x)|f八x). 3)设p(x)是数域P上的不可约多项式，f八x),gx)是P上的任意两个多 项式如果p(x)|x)·g(x),则必有px)I(x)或者p(x)|g(x). 4)如果不可约多项式p(x)整除不(x)(x).f(x),其中s≥2，则px) 至少可以整除这些多项式中的一个 7.因式分解惟一性定理 (1)数域P上任一次数大于零的多项式f(x)都可以分解成数域P上的一 些不可约多项式的乘积如果 f八x)=p(x)h(x).p(x)=4(x)4(x)“g(x) 其中pn,(x)与g(x)(1=1,2,.,sj=1,2,.,)都是P上的不可约多项式 则s=1,并且适当调换9(x)的次序后可使 g(x)=Gp(x)(i=1,2,.,) 这里。是P中的不为零的数，即如果不计零次因式的差别，多项式(x)分解成 不可约因式乘积的分解式是惟一的， (2)数域P上任一次数大于零的多项式∫(x)都有惟一的标准分解式 f八x)=ap1(x)pn2(x).p'(x) 其中a为f(x)的首项系数，n(x),.,B(x)是P上首项系数为I的不可约多项 式且两两互异，而n,n,.,都是正整数 (3)如果已知多项式f(x)与g(x)的标准分解式，则八x)与g(x)的最大 公因式就是那些同时在八x)与(x)的标准分解式中出现的不可约多项式方 幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在x)与(x)中所带的方幂指数中较小 的一个 8.重因式 (1)设f(x)=ax”+1x-1+.+mx+m∈P[x],其中x是文字，称
项式本 身的一 种特 性 , 这是完 全不 同的两 个 概念 .但 在 讨 论问 题 时 , 互 素多 项 式 与 不可 约 多项式 的性 质又是 互相利 用的 , 要 学会 灵活运 用 . ( 2) 不可约多项式有下列性质 : 1 ) 如果 p( x ) 是数域 P 上的不可约多项式 , 则 cp ( x) 也是 P 上的不可约多 项式 ,其中 c是 P 中的非零数 . 2 ) 设 p( x) 是数域 P 上的一个不可约多项式 , 则对 P 上任一多项式 f ( x ) , 必有( p( x) , f( x) ) = 1 或者 p( x) | f( x) . 3 ) 设 p( x ) 是数域 P 上的不可约多项式 , f ( x ) , g( x) 是 P 上的任意两个多 项式 .如果 p( x) | f( x) ·g( x ) , 则必有 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g( x ) . 4 ) 如果不可约多项式 p( x ) 整除 f1 ( x ) f2 ( x ). fs ( x) ,其中 s≥ 2, 则 p( x) 至少可以整除这些多项式中的一个 . 7. 因式分解惟一性定理 ( 1) 数域 P 上任一次数大于零的多项式 f ( x) 都可以分解成数域 P 上的一 些不可约多项式的乘积 .如果 f ( x) = p1 ( x ) p2 ( x) . ps ( x) = q1 ( x) q2 ( x) .qt ( x) 其中 pi ( x ) 与 qj ( x) ( i = 1,2 ,. , s; j = 1 ,2, . , t) 都是 P上的不可约多项式 , 则 s = t,并且适当调换 qj ( x) 的次序后可使 qi ( x ) = ci pi ( x) ( i = 1 ,2 ,. , s) 这里 ci 是 P 中的不为零的数 ,即如果不计零次因式的差别 , 多项式 f( x) 分解成 不可约因式乘积的分解式是惟一的 . ( 2) 数域 P 上任一次数大于零的多项式 f ( x ) 都有惟一的标准分解式 f ( x) = ap1 r 1 ( x ) p2 r 2 ( x ). ps r s ( x ) 其中 a为 f ( x) 的首项系数 , p1 ( x) ,. , ps ( x) 是 P上首项系数为1的不可约多项 式且两两互异 , 而 r1 , r2 , . , rs 都是正整数 . ( 3) 如果已知多项式 f ( x ) 与 g( x) 的标准分解式 , 则 f( x) 与 g( x) 的最大 公因式就是那些同时在 f ( x) 与 g( x ) 的标准分解式中出现的不可约多项式方 幂的乘积 ,所带的方幂的指数等于它在 f( x) 与 g( x) 中所带的方幂指数中较小 的一个 . 8. 重因式 ( 1) 设 f ( x ) = an x n + an - 1 x n - 1 + . + a1 x + a0 ∈ P[ x ] , 其中 x 是文字, 称 6 高等 代数 (北 大·第 三版 )导 教·导 学· 导考