《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第三章 变量变化速度与局部改变量估值问题——导数与微分 3-3 局部改变量的估值问题微分及其运算

Ay-dy+oAx)dy-AAx关于定义的几点说明：(1）dy是自变量的改变量△x的线性函数;(2）Ay－dy=o(△r)是比△x高阶的无穷小;(3）当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小;AyA. △x +o(x)o(Ar)dyA.xA.△xAyo(△x)：当△x →0时lim>1ArAr-→>0dy(4） A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关;

0 ( ) lim 0 x o x  → x  =  关于定义的几点说明： (1) ; dy x 是自变量的改变量 的线性函数 (2) ( ) ; d  − =   y y o x x 是比 高阶的无穷小 (3) 0 , ; 当A y y   时 d 与 是等价无穷小 ( ) ( ) 1 , y A x o x o x y A x A x    +  = = + d     当 时， d 0 . 1 y y x   →  → dy A x =   = +  y y o x d ( ) （4 , ( ) ; ）A x f x x 是与 无关的常数 但与 和 0 有关

(5当|△x|很小时,Ay~dy(线性主部).AyA△x +0(△x)o(△r)因为A+AxAxAx所以当△x→0时，对上式两端取极限得Ayf'(x) AjimAr->0 △x也就是说dy = f'(x)Ar

(5) , ( ). 当   x y y 很小时  d 线性主部 因为 ( ) ( ) , y A x o x o x A x x x   +   = = +    所以当 →x 0时，对上式两端取极限得 0 lim . x y A  → x  =  f x ( ) 也就是说 dy f x x =  ( )

下面我们来求y=x的微分dx =dy = f'(x)Ax = x'△x = Ardydy = f'(x) Arf(xdx函数的微分dy与自变量的微分dx的商等于该函数的导数函数的可导与可微是等价的

下面我们来求y x = 的微分 d d ( ) y f x x =  函数的可导与可微是等价的. 函数的微分d 与自变量的微分 d 的商等于该函数的导数. y x dx =dy f x x x x x =  =  =    ( ) dy f x = ( ) dx x