第二章矩阵与向量$ 2.4矩阵的秩矩阵的秩矩阵秩的求法三、向量组的极大无关组的求法四、矩阵秩的第二种定义
第二章 矩阵与向量 §2.4 矩阵的秩 一、 矩阵的秩 二、 矩阵秩的求法 三、向量组的极大无关组的求法 四、矩阵秩的第二种定义
第二章矩阵与向量一、矩阵的秩1.定义2.4.1设mXn矩阵A，称A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩例1求矩阵A=的行秩和列秩12解： A的行向量α, =(1,0,1),α, =(0,1,2),α, =(2,1,4)0由行列式01 2=0, 知向量组α,α,,α,线性相关2
第二章 矩阵与向量 1.定义2.4.1 设m×n矩阵A，称A 的行向量组的秩称 为矩阵A的行秩，列向量组的秩称为矩阵A的列秩. 一、矩阵的秩 1 0 1 1 0 1 2 . 2 1 4 A = 例 求矩阵 的行秩和列秩 1 2 3 A的行向量 = = = (1,0,1), (0,1,2), (2,1,4) 1 2 3 1 0 1 0 1 2 0 , , 2 1 4 由行列式 = ，知向量组 线性相关， 解：
第二章矩阵与向量又αi,α,线性无关，故α,α,是A的行向量组的一个最大无关组，所以矩阵A的行秩等于2同样方法可以求出A的列秩等于213例2求矩阵A=的行秩和列秩12A05一解; A的行向量α =(1,1,3,1),α, =(0,2,-1,4),α, = (0,0,0,5)去掉第三个分量的α, =(1,1,1),α, =(0,2,4),α, = (0, 0,5)
第二章 矩阵与向量 1 2 1 2 , , 2. A A 又 线性无关，故 是 的行向量组的一个 最大无关组，所以矩阵 的行秩等于 1 2 3 (1,1,3,1), (0,2, 1,4), (0,0,0,5). A = = − = 的行向量 同样方法可以求出A的列秩等于2. 1 1 3 1 2 0 2 1 4 . 0 0 0 5 A = − 例 求矩阵 的行秩和列秩 解： 1 2 3 (1,1,1), (0,2,4), (0,0,5). = = = 去掉第三个分量的
第二章矩阵与向量111由行列式024=10±0，知向量组α,α,α线性无关050由s2.3例5知，向量组α,α,,α,也线性无关，所以A的行秩为31311A的列向量组β, =0β =4β, =2 β, =-1[o]0[o][5]4个三维向量必线性相关，而其中βββ线性无关
第二章 矩阵与向量 1 2 3 111 0 2 4 10 0 , , 005 由行列式 = ，知向量组 线性无关. § 1 2 3 2.3 5 , , A 3. 由 例 知，向量组 也线性无关， 所以 的行秩为 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 A = = = − = 的列向量组 4个三维向量必线性相关，而其中β1β2β4线性无关
第二章矩阵与向量01.0因为￥20=10±054所以A的列秩也等于3例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的为了证明这一点，我们有以下两个定理2.矩阵的初等变换对矩阵的行秩、列秩的影响。定理2.4.1初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩证明：此处只证明第三种初等行变换不改变矩阵的行秩
第二章 矩阵与向量 1 0 0 1 2 0 10 0 1 4 5 = 因为 所以A的列秩也等于3. 例1和例2中矩阵的行秩等于列秩并非是偶然的. 为了证明这一点，我们有以下两个定理. 定理2.4.1 初等行(列)变换不改变矩阵的行(列)秩. 证明： 此处只证明第三种初等行变换不改变矩阵的 行秩。 2.矩阵的初等变换对矩阵的行秩、列秩的影响