《线性代数》课程教学资源（PPT课件，A）2-4矩阵的秩1

第二章矩阵与向量设m×n矩阵A的行向量组αj,α2,，αm，且αyαα;+kα,αr;+kr=BA:=am

第二章 矩阵与向量 1 2 , , 设m n A  矩阵 的行向量组   ， m ，且 1 1 ~ i j i j i r kr j j m m k A B          +                   +     = =                            

第二章矩阵与向量由α, = αiα,=(α,+kα,)-kαα=αmm可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、B的行向量组的秩相同同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不改变矩阵的行秩

第二章 矩阵与向量 1 1 ( ) i i j j m m k k         = = + − = 由 可知，矩阵A的行向量组可由B的行向量组线性表示. 显然，矩阵B的行向量组可由A的行向量组线性 表示.所以，矩阵A、B的行向量组等价.从而矩阵A、 B的行向量组的秩相同. 改变矩阵的行秩。 同样，可证明矩阵的其他两种初等行变换，也不

第二章矩阵与向量定理2.4.2初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系0例3设矩阵A=其列向量16α,αz,α3,α,间有线性关系: α =α, + 2α, -α,矩阵B矩阵A经过有限次初等行变换得到验证B的列向量β,β2,β，β,间也有线性关系β4 =β, +2β, -β3

第二章 矩阵与向量 定理2.4.2 初等行(列)变换不改变矩阵列(行)向量间的 线性关系. 1 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 4 1 2 3 1 1 3 0 3 0 2 1 5 6 0 2 4 , , , 2 . , 2 A B A B                     = −       = + − = + − 例 设矩阵 其列向量 间有线性关系： ， 矩阵 由矩阵 经过有限次初等行变换得到 验证 的列向量 间也有线性关系

第二章矩阵与向量解：对矩阵A作初等行变换如下：00331r3+3r213-6r52-1-12190-19-161-6030r-3r31010.5-1 2r2+r300001-1

第二章 矩阵与向量 解：对矩阵A作初等行变换如下 ： 3 1 6 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 6 16 4 r r A −     −       − − 3 2 3 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 19 19 r r +     −       − 3 1 ( ) 19 1 1 3 0 ~ 0 2 1 5 0 0 1 1 r  −     −       − 31 2 3 3 1 1 0 3 ~ 0 2 0 4 0 0 1 1 r r r r − +           −