《线性代数》课程教学资源（试卷习题，A）第二章_部分习题及解答

第二章部分习题及解答1.试用初等行变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵及行最简形To01 2 -1123-2 -1(2)2576-4 S40[-1 -3解：To02-17[-1-3405751-1-340013213204-2-2-122-226067570-45-45417L 005120[-1 -34002-1I-3-305405-14-10002240242一阶梯形矩阵0009000911OLo00-3]00-1201133-40-5[1043130033130002210010000-70110001099900000001010010000LO01000010000010001.一行最简形4.判定下列向量组的线性相关性？(1)(1,2,3,4),(2,1,0,5),(-1,1，2,3);（3）α,=(1,a,,,a"）i=1,2,,m其中a,a2,,am是互不相同的数，m≤n.解（1）考虑前三个分量的向量组的情形，得123210=3+0,:向量组(1,2,3),(2,1,0),(-1,1,2)线性无关，-1 1 2所以原向量组线性无关。（3）考虑前m个分量的向量组E的情形，得

第二章 部分习题及解答 1．试用初等行变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵及行最简形 （2）            1 3 4 0 5 2 6 4 5 7 1 3 2 2 1 0 0 1 2 1 解：                                  0 0 1 2 1 0 0 4 5 17 0 0 2 2 4 1 3 4 0 5 ~ 0 0 1 2 1 2 6 4 5 7 1 3 2 2 1 1 3 4 0 5 1 3 4 0 5 2 6 4 5 7 1 3 2 2 1 0 0 1 2 1 ~ 4 r r                   0 0 0 0 12 0 0 0 1 9 0 0 2 2 4 1 3 4 0 5 ~ 0 0 0 1 3 0 0 0 1 9 0 0 2 2 4 1 3 4 0 5 ~ ——阶梯形矩阵                             0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 1 0 7 1 3 0 0 33 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 1 1 2 1 3 0 4 3 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 1 1 2 1 3 4 0 5 ~——行最简形 4．判定下列向量组的线性相关性？ （1）（1，2，3，4），（2，1，0，5），（-1，1，2，3）； （3） a a a i m a a a m n m n i  i i i    (1, , 2 ,, 1 ), 1,2,, . 其中 1 , 2 ,, 是互不相同的数， . 解（1） 考虑前三个分量的向量组的情形，得 3 0, 向量组(1,2,3),(2,1,0),( 1,1,2)线性无关 1 1 2 2 1 0 1 2 3       ， 所以原向量组线性无关。 （3）考虑前 m 个分量的向量组 E 的情形，得

111a,azam-...am:D=α?a?（a,-a)0，（a,az,",am互不相同），:2/>12::laq-1aaam-l·即前m个分量的向量组E线性无关，所以原向量组线性无关。5.问c取何值时，下列向量组线性相关？(c, -1/2,-1/2),(-1/2,C,-1/2),(-1/2, -1/2,c)11c212113C1解：要使向量组线性相关，只要行列式cC3=0-2112441c221所以C=1或C=26．设β=αβ=α+α,β,=α+α+.α若ααα,线性无关证明向量组β,β2,β,亦线性无关。证明：设kβ+kβ++k,β,=0，即(k +k,+..+k,)α,+(k, +...+k,)α2 +...+(kr--+k,)αr- +k,α,=0,因为若α，αz…，α,线性无关，则k +k,+..+k,=0k2+...+k,=0=k =k,=...=k,=0kr-1+k, =0k, =0所以向量组β,β2,，β,也线性无关10.设n维单位坐标向量组,8,,…,6可由n维向量组α,α2…,α线性表示，证明向量组α1,α2,α,线性无关。证明：因为n维单位坐标向量组s,82,,可由n维向量组α,α2α线性表示

( ) 0, ( , , , ) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 i j m互不相同 m i j m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a D                       ， 即前 m 个分量的向量组 E 线性无关，所以原向量组线性无关。 5．问 c 取何值时，下列向量组线性相关？ （c，-1/2，-1/2），（-1/2，c，-1/2），（-1/2，-1/2，c） 解：要使向量组线性相关，只要行列式 0 4 1 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3           C C C C C ， 所以 2 1 C 1或C   。 6． 设1 1 , 2 1  2 ,, r 1  2  r .若1， 2，， r线性无关 证明向量组1 , 2 ,, r亦线性无关。 证明：设k11  k22  krr  0， 即(k1  k2  kr )1  (k2  kr )2  (kr1  kr )r1  krr  0， 因为若1， 2，， r 线性无关，则 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2                     r r r r r r k k k k k k k k k k k      . 所以向量组   r , , , 1 2  也线性无关 10．设 n 维单位坐标向量组 n  , , , 1 2  可由 n 维向量组   n , , , 1 2  线性表示，证 明向量组   n , , , 1 2  线性无关。 证明：因为 n 维单位坐标向量组 n  , , , 1 2  可由 n 维向量组   n , , , 1 2  线性表示

则R(),2,,,)≤R(α,2,α,),又因为R(),2,,,)=n,所以R(α1,α2,α,)=n即向量组α,αz,,α,线性无关。12.已知向量组3Lb与向量组β2α,=0α=2具有相同的秩，且3Bα, =[7101-3 β,可由向量组αi,αz,α,线性表示，求a,b的值。[9][12的秩，解：求向量组α=a.[][-3][7]393 99n31600-6120122:. R(α1,α2,α,)= 2 ;10200o]17003[6][0[a]求向量组β=2β,=1的秩，β,[Lo][1]-106-10-1a10002113203C6100a-1a+1b103要使秩也为2，必须b=~(1)3又因β可由向量组α,αz,α,线性表示，设β,=kα+k,α,+kα，，所以k,+3k,+9k,=b(2)2k,+6k,=1=b=5-3k+kz-7k,=0由（1）、（2）即可求得a=15，b=5。[元-1 2-1元5的秩为多少？15.对于元的不同取值，矩阵A=210-611

则 R R R n R n ( 1 , 2 ,, n )  (1 , 2 ,, n ),又因为 ( 1 , 2 ,, n )  ,所以 (1 , 2 ,, n )  即向量组   n , , , 1 2  线性无关。 12．已知向量组                      7 6 9 , 1 0 3 , 3 2 1 1  2 1 与向量组                      0 , 1 1 , 2 1 1 0 1 2 3 a b    具有相同的秩，且  3 可由向量组 1 2 3  , , 线性表示，求 a,b 的值。 解：求向量组                      7 6 9 , 1 0 3 , 3 2 1 1  2 1 的秩， , ( , , ) 2 0 0 0 0 1 2 1 3 9 ~ 0 10 20 0 6 12 1 3 9 ~ 3 1 7 2 0 6 1 3 9  1 2 3                       R    ； 求向量组                      0 , 1 1 , 2 1 1 0 1 2 3 a b    的秩， ，                             3 0 0 0 3 1 1 1 0 ~ 1 1 0 3 1 1 1 0 ~ 0 1 2 1 1 1 0 ~ 1 1 0 1 2 1 0 a a b a b b a b  要使秩也为 2，必须 3 a b  （1） 又因  3 可由向量组 1 2 3  , , 线性表示，设  3 11 2 2 3 3  k  k  k ，所以 5 3 7 0 2 6 1 3 9 1 2 3 1 3 1 2 3                b k k k k k k k k b （2） 由（1）、（2）即可求得 a=15 ，b=5 。 15．对于 的不同取值，矩阵           1 10 6 1 2 1 5 1 1 2   A 的秩为多少？

[110元-12710-61-6111元522-1-21解：A=元50元+123-1[1-6元10112元-105-101[10-61当-21元+1230-21入+12.3= 1 =3时, R(A)=2;51-101元-1051]10：当二-21元+12±3入+3时，R(A)=3。元-105116.试用矩阵的初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示[1021720110(2)231425-1-11-1310022111021112010002-2120解：230-20201-22022504-5551-130-2-11021100112120-200401= B000000012000000]00000-4所以该矩阵的列向量组的一个最大无关组是α1,α2,α4，且B的列向量间有线性关2012110102系：000005X00003120.设A与B都是m×n矩阵，证明矩阵A与B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)。证明："=”若矩阵A与B等价，即矩阵A通过若干次初等变换转化为矩阵B。由

解：                              0 10 5 1 0 21 12 3 1 10 6 1 ~ 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 ~ 1 10 6 1 2 1 5 1 1 2       A 3 ( ) 2 1 3 5 12 10 21 0 10 5 1 0 21 12 3 1 10 6 1 ~                    当  时，R A     ； 3 ( ) 3 1 3 5 12 10 21         当  时，R A   。 16．试用矩阵的初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组，并将其余 向量用最大无关组线性表示 （2）          1 1 3 1 2 5 1 4 2 1 3 0 1 2 0 1 1 0 2 1 解：                                  0 1 1 2 0 5 5 2 0 2 2 0 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ 0 1 1 2 0 5 5 2 0 1 1 2 0 2 2 0 1 0 2 1 ~ 1 1 3 1 2 5 1 4 2 1 3 0 1 2 0 1 1 0 2 1           0 0 0 4 0 0 0 12 0 0 0 4 0 1 1 2 1 0 2 1 ~  B         0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ 所以该矩阵的列向量组的一个最大无关组是 1 2 4  , , ，且 B 的列向量间有线性关 系：                                                          1 4 0 1 1 0 1 5 1 2 0 1 2 2 1 1 2 3 1 3 0 2 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 20．设 A 与 B 都是mn矩阵，证明矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是 R(A)  R(B) 。 证明："" 若矩阵 A 与 B 等价，即矩阵 A 通过若干次初等变换转化为矩阵 B。由

初等变换的定义可验证矩阵经3种初等变换的任一种，所得矩阵的行或列向量组均与原矩阵的行或列向量组等价，则矩阵的行或列向量组的秩相同，从而所对应的矩阵的秩也相等，即R(A)=R(B)。E.0""若A与B都是mxn矩阵且R(A)=R(B)。设R(A)=r，则A~00[E,0]又因R(B)=r，则B~I=。由等价的性质，A～B，即矩阵A与B等价。Lool21，证明R(A)=rA中不为零的子式的最高阶数为r证明："="设R(A)=r，则A中任意r+1行向量都线性相关，因而，A中任意r+1阶子式的行向量都线性相关，所以A的所有r+1阶子式全为0。下证至少有一个r阶子式不为0[a...an设A=A中有r个行线性无关，[amlamm[au...an不妨设前r行，令A=则A的行秩为r，[ar...arn.因而A的列秩也为r，不妨设前r列无关[ai..ar令A,=..则R(A)=r，所以A±0Lar..am]即不为零的子式的最高阶数是r。"一"由条件A中不为零的子式的最高阶数为r知：A中至少有一个r阶子式不为0，而所有高于r阶的子式全为0，（*）令R(A)=t，由必要性知：r≤t,若r<t，由必要性知A中就有一个t（r<t）阶的子式不为零，与（*）矛盾，故只有t=r，即R(A)=r

初等变换的定义可验证矩阵经 3 种初等变换的任一种，所得矩阵的行或列向量组 均与原矩阵的行或列向量组等价，则矩阵的行或列向量组的秩相同，从而所对应 的矩阵的秩也相等，即 R(A)  R(B) 。 "" 若 A 与 B 都是mn矩阵且 R(A)  R(B) 。设 R(A)  r ，则        0 0 0 ~ Er A I ； 又因 R(B)  r ，则        0 0 0 ~ Er B I 。由等价的性质， A ~ B ，即矩阵 A 与 B 等价。 21，证明 R(A)  r  A中不为零的子式的最高阶数为 r 证明："" 设 R(A)  r ，则 A中任意 r 1 行向量都线性相关， 因而， A中任意 r 1阶子式的行向量都线性相关， 所以 A的所有 r 1阶子式全为 0。 下证至少有一个 r 阶子式不为 0 设        m mn n a a a a A      1 11 1 ， A中有r 个行线性无关， 不妨设前 r 行，令        1 n 11 1 1 r r n a a a a A      ，则 A1的行秩为r ， 因而 A1的列秩也为r ，不妨设前 r 列无关， 令        r rr r a a a a A      1 11 1 2 ，则 R(A )  r 2 ，所以 0 A2  即不为零的子式的最高阶数是 r 。 ""由条件 A中不为零的子式的最高阶数为 r 知： A中至少有一个 r 阶子式不为 0，而所有高于 r 阶的子式全为 0，（*） 令 R(A)  t ，由必要性知：r  t ， 若r < t ，由必要性知 A中就有一个t （r < t ）阶的子式不为零，与（*）矛盾，故 只有t  r ，即 R(A)  r