《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第六章 线性空间与线性变换 6-2基、坐标及其变换

36.2基、坐标及其变换在第二章中介绍过向量空间的基及其坐标的概念，下面把这些概念推广到线性空间中一、线性空间的基定义1在线性空间V中，如果有n个向量αi,α2,α,满足(1）向量组α,αz",α,线性无关；(2）V中任一向量都可由α,α2,",α,线性表示.则称αi,α2"α,为线性空间V的一组基，n称为线性空间V的维数例1全体n阶实矩阵的组成的集合Rx"。由于[o0...1..0E, = 0（第i行第j元素为1,其余向量均为零），i,j=1,2,"",n......[o.. o..]是线性无关的，并且任意一个n阶实矩阵A=(a,）都可由E,(i,j=1,2,"",n)线性表示.因此，Rx"对于矩阵的加法、数乘构成一个nxn线性空间，E,(i,j=1,2,",n）是Rx的一组基例2次数不超过n的全体实系数多项式构成的集合，记作R[x].R[x],对于多项式的加法、数与多项式的乘法构成线性空间，并且1,x,x2,,x"是R[x],的一组基,其维数是n+1维的二、线性空间中向量的坐标定义2设αi,αz,"",α,是线性空间V的一组基，那么对任意的αeV都有且仅有一组有顺序的数x,，",x，使得α=X+X2α2+..+x,αn则称有序数组x,,x,为向量α在基αα2…,α,下的坐标，记为

§6.2 基、坐标及其变换 在第二章中介绍过向量空间的基及其坐标的概念，下面把这些概念推广到线 性空间中. 一、线性空间的基 定义 1 在线性空间 V 中，如果有 n 个向量   n , , , 1 2  满足 (1) 向量组   n , , , 1 2  线性无关； (2) V 中任一向量都可由   n , , , 1 2  线性表示. 则称   n , , , 1 2  为线性空间 V 的一组基， n 称为线性空间 V 的维数. 例 1 全体 n 阶实矩阵的组成的集合 n n R  . 由于 0 0 0 0 1 0 0 0 0                                  Eij (第 i 行第 j 元素为 1,其余向量均为零), i, j 1,2,  ,n 是线性无关的，并且任意一个 n 阶实矩阵 ( ) ij A  a 都可由 Eij ( i, j 1,2,  ,n )线性表 示.因此， n n R  对于矩阵的加法、数乘构成一个 n n 线性空间, Eij ( i, j 1,2,  ,n ) 是 n n R  的一组基. 例 2 次数不超过 n 的全体实系数多项式构成的集合，记作 n R[x] . n R[x] 对于 多项式的加法、数与多项式的乘法构成线性空间,并且 n 1, x, x , , x 2  是 n R[x] 的一 组基,其维数是 n 1 维的. 二、线性空间中向量的坐标 定义 2 设   n , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，那么对任意的  V ,都有 且仅有一组有顺序的数 n x , x , , x 1 2  ,使得 n n   x11  x22  x  , 则称有序数组 n x , x , , x 1 2  为向量  在基   n , , , 1 2  下的坐标，记为

XX2LXn说明：在线性空间V中取定一组基后，V中的任一向量α都与n维向量(,x2,…,x,）建立了对应关系，这样V与R"之间建立了一一对应关系，V中向量的加法，数乘运算分别对应着R"中向量的加法、数乘运算，于是线性空间V的向量运算就转化为R”中的向量运算.这就是把V中的元素也称为向量、线性空间V也称为向量空间的原因.也称V与R"同构例3R+表示全体正实数对下面两种运算构成的线性空间.加法运算④：a④b=ab，Va,beRt；数乘运算?：aa=a,VaeRVaeRt求它的一组基及维数.解上节已验证R+是线性空间，并且知道R+的零向量为1.下面先来求基对任意aeR，a+1，验证a是R的基：(1）a是线性无关的：对于数k，若ka=l，即a=l,则有k=0.(2）VbeR，可由a线性表示：只要验证b=k?a即可.由于b=k?a=a因此，令k=log。beR，则b可由a线性表示因此，R+中任意正实数α±1都是R的基.所以R+的维数为1.三、坐标变换公式在线性空间中，由于基不唯一，每个向量在不同基下的坐标一般也不同.同一向量在不同基下的坐标有什么关系呢？设α,αz",α,及β,β，"β,为线性空间的两组基，且有下列关系（设为列向量)

            n x x x  2 1 . 说明：在线性空间 V 中取定一组基后, V 中的任一向量  都与 n 维向量 ( , , , ) 1 2  n x x  x 建立了对应关系,这样 V 与 n R 之间建立了一一对应关系, V 中向 量的加法、数乘运算分别对应着 n R 中向量的加法、数乘运算，于是线性空间 V 的 向量运算就转化为 n R 中的向量运算.这就是把 V 中的元素也称为向量、线性空间 V 也称为向量空间的原因.也称 V 与 n R 同构. 例 3  R 表示全体正实数对下面两种运算构成的线性空间. 加法运算  ： ab  ab ,  a,bR ; 数乘运算  ：   a  a ,   R,aR . 求它的一组基及维数. 解 上节已验证  R 是线性空间，并且知道  R 的零向量为 1.下面先来求基. 对任意  aR ，a  1 ，验证 a 是  R 的基： (1) a 是线性无关的：对于数 k ，若 k a 1 ，即 1 k a ,则有 k  0 . (2)  bR ,可由 a 线性表示：只要验证 b  k a 即可.由于 k b  k a  a , 因此,令 k  loga b R ，则 b 可由 a 线性表示. 因此,  R 中任意正实数 a  1 都是  R 的基.所以  R 的维数为 1. 三、坐标变换公式 在线性空间中,由于基不唯一,每个向量在不同基下的坐标一般也不同.同一 向量在不同基下的坐标有什么关系呢？ 设   n , , , 1 2  及   n , , , 1 2  为线性空间 V 的两组基,且有下列关系(设为 列向量)

β =aa, +a2α,+...+amαn,β,=ai2α,+a222+..+anan,β,=ana,+aana,+...+aan矩阵表示式为(6-1)(B,β2,,β.)=(α1,α2,..,αn)A,其中aa12...aina21a22a2nA=Lanan2..an]称矩阵A为由基αj,α2,α到基β,β2,β,的过渡矩阵，式(6-1)称为基变换公式，由于基是线性无关的，所以，过渡矩阵A是可逆的设αeV在两组基下的坐标分别为[x][y,]X2y2:XnLy.则XXa=xa,+x,α,+...+x,α,=(α,α2,",αnXnyy2α=yβ+y,β,+..+yβ,=(β,β,",β,)：[yn]由于(β,β2,",β,)=(αi,α2,",αn)A，所以XyyiX2Y2y2α=(α,,α2,",α,)=(βr,β,,",β,)(6-2)=(α,α2,",α,)A....x.ynyn

                   n n n n n n n n n n a a a a a a a a a                       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 , , 矩阵表示式为 (1 ,2 ,  ,n )  (1 ,2 ,  ,n )A, (6-1) 其中              n n n n n n a a a a a a a a a A        1 2 21 22 2 11 12 1 . 称矩阵 A 为由基   n , , , 1 2  到基   n , , , 1 2  的过渡矩阵,式(6-1)称为基变换公 式.由于基是线性无关的，所以,过渡矩阵 A 是可逆的. 设  V 在两组基下的坐标分别为                         n 2 1 2 1 y y y ,   n x x x , 则                  n n n n x x x x x x    2 1 1 1 2 2 1 2     ( , , , ) ,                  n n n n y y y y y y    2 1 1 1 2 2 1 2     ( ,  , ,  ) . 由于 (1 ,2 ,  ,n )  (1 ,2 ,  ,n )A，所以              n n x x x   2 1 1 2  ( , , , )              n n y y y   2 1 1 2 ( ,  , ,  )  (1 ,2 ,  ,n )A             n y y y  2 1 . (6-2)

由于α,α2,α,线性无关，所以矩阵(α,α2""α）可逆.由(6-2)可得[]XX1yiy2专X2V或≥A~I(6-3)....[y.]Lxx.Lyn]式(6-3)为V中任一向量α在两组不同基下的坐标变换公式例4在线性空间R3中，给定两组基α, =(1,2,1), α, =(2,3,3), α, =(3,7,1);β, =(3,1,4), β, =(5,2,1), β, =(1,1,-6)求R3中向量α在这两组基下的坐标变换公式解先求由αi,αzα,到β,βz,β的过渡矩阵A.方法一设[β,=a,, +aα+aggB,=a2,+a2a2β, =a, +a +(βr,β2,β,)=(αj,α2,α,)A则A=(αi,α2,α,)-'(β,β2, β,)[1 25-27-71-413292312008[234-641211所以，由α,α,,α,到β,β,,β,的过渡矩阵为[-27-71 -419200A=9412方法二取R的一组基8=(1,0,0),62=(0,1,0),3=(0,0,1),则有

由于   n , , , 1 2  线性无关，所以矩阵 ( , , , ) 1 2  n 可逆.由(6-2)可得             n x x x  2 1              n y y y A  2 1 , 或 2 1 1               A y y y n              n x x x  2 1 , (6-3) 式(6-3)为 V 中任一向量  在两组不同基下的坐标变换公式. 例 4 在线性空间 3 R 中，给定两组基 1  (1,2,1), 2  (2,3,3), 3  (3,7,1)； (3,1,4), (5,2,1), (1,1, 6) 1  2  3   . 求 3 R 中向量  在这两组基下的坐标变换公式. 解 先求由 1 2 3  , , 到 1 2 3  , , 的过渡矩阵 A . 方法一 设               1 13 1 23 2 33 3 2 12 1 22 2 32 3 1 11 1 21 2 31 3             a a a a a a a a a (1 ,2 ,3 )  (1 ,2 ,3 )A 则 ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 1 2 3     A                         4 1 6 1 2 1 3 5 1 2 3 1 2 3 7 1 2 3 1              4 12 8 9 20 0 27 71 41 所以,由 1 2 3  , , 到 1 2 3  , , 的过渡矩阵为              4 12 8 9 20 0 27 71 41 A . 方法二 取 3 R 的一组基 (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)  1   2   3  ,则有

23[1327(α1,α2,α,)=(),62,,)[31[3 5/21(B1,β2,β3)=(6),62,6,)1[4 1 -6]所以[1 23]--27[3 5-71-41(β,β2,β)=(αj,α2,α)2371220190=(α1,α2,αg)4128131[41-6所以，由α,αz,α,到β,β,β,的过渡矩阵为[-2771 -41]9200A=4128设向量α在基ααz,α,与β,β,β,下的坐标分别为[y]专y2xLy3由(6-3)式可得-27-71-41xiyi9200y2X24128y3X3或1811913/46Xi13CX2V129XXV104

           1 3 1 2 3 7 1 2 3 ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3       ,             4 1 6 1 2 1 3 5 1 ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3       , 所以 (1 , 2 , 3 )  1 1 2 3 1 3 1 2 3 7 1 2 3 ( , , )                         4 1  6 1 2 1 3 5 1              4 12 8 9 20 0 27 71 41 ( , , ) 1  2 3 , 所以,由 1 2 3  , , 到 1 2 3  , , 的过渡矩阵为              4 12 8 9 20 0 27 71 41 A . 设向量  在基 1 2 3  , , 与 1 2 3  ,  ,  下的坐标分别为                     3 2 1 3 2 1 y y y , x x x 由(6-3)式可得           3 2 1 x x x              4 12 8 9 20 0 27 71 41           3 2 1 y y y , 或 4 99 7 10 2 63 9 13 4 181 13 19 y y y 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1                                                     x x x x x x A