《线性代数》课程教学资源（教案讲义，A）第五章 相似矩阵与二次型 5-6正定二次型

85.6正定二次型在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位，下面我们给出正定二次型的定义及常用的判别条件定义1设=X'AX（A=A）为实二次型，如果对于任何X。≠0，都有f=XAX。>0，则称f=X'AX为正定二次型，并称对称矩阵A为正定矩阵.若对于任意向量X。±0，f=XAX。≥0，则称f=X'AX为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵例如二次型（x，.，x）=x+x2+..+x是正定的.f(x，，x,)=x?+x2+...+xz(r<n)是半正定的根据定义1很容易判断上面两个二次型的正定性，但对于一般的实二次型用定义判断正定性往往比较困难，因此有必要寻求其它的判定方法.定理1实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件是其标准形（5-13)式中n个系数全大于零.证设二次型f=X'AX经可逆性变换X=CY后的标准形为f=My+y+...+nyi充分性若,>0（i=1,2,，n）,对于任意的X0，则有Y=C-X +0,故f(X)=f(CY)=y+y+... +,y>0即二次型是正定的必要性（反证)假设存在某个入,≤0，取Y=8，（第s个n维单位坐标向量），对于X=C6±0，而有f(X)=f(C6,)=2, ≤0.上式与f为正定二次型矛盾.因而入,>0（i=1,2,."，n）

§5.６ 正定二次型 在实二次型中，正定二次型占有特殊的地位，下面我们给出正定二次型的定 义及常用的判别条件． 定义１ 设 f  X AX ( ' A = A )为实二次型，如果对于任何 X0  0，都有 f  X0 AX0  0 ，则称 f  X AX 为正定二次型，并称对称矩阵 A 为正定矩阵.若 对于任意向量 X0  0， f  X0 AX0  0 ，则称 f  X AX 为半正定二次型，矩阵 A 称为半正定矩阵. 例如二次型 1 f ( 1 x ，···， n x )= 2 1 x + 2 2 x +···+ 2 n x 是正定的. 2 f ( 1 x ，···， n x )= 2 1 x + 2 2 x +···+ 2 r x ( r  n )是半正定的. 根据定义 1 很容易判断上面两个二次型的正定性.但对于一般的实二次型用 定义判断正定性往往比较困难，因此有必要寻求其它的判定方法. 定理 1 实二次型 f  X AX 为正定的充分必要条件是其标准形(5-13)式中 n 个系数全大于零. 证 设二次型 f  X AX 经可逆性变换 X =CY 后的标准形为 f =1 2 1 y + 2 2 2 y +···+ n 2 n y . 充分性 若 i  0 ( i 1，2，，n ),对于任意的 X  0，则有 Y =C X 1  0， 故 f (X) = f (CY) =1 2 1 y + 2 2 2 y +···+ n 0 2 yn  , 即二次型 f 是正定的. 必要性 (反证)假设存在某个  s  0，取 Y = s  （第 s 个 n 维单位坐标向量）， 对于 X  C s  0，而有 f (X)  f (C s )  s  0 . 上式与 f 为正定二次型矛盾.因而 i  0 ( i 1，2，，n )

推论1对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正的推论2实二次型=X'AX为正定的充分必要条件是它的规范标准形为f=yi+y?+...+y?推论3实二次型f=X'AX为正定的充分必要条件是它的正惯性指数为n推论4若A为正定矩阵，则A>0证由推论1知，A的特征值全为正的，所以有A=>0反之，结论不成立.例如4 -[6 9]显然A>0，但二次型f=X'AX=-x?-x2不是正定的，因而矩阵A不是正定的用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定也是一种常用的方法设A为n阶对称矩阵，由A的前k行k列元素构成的k阶行列式j2aka21a22... a2k(k=1,2,.", n)...akak2.ak称为矩阵A=（a）的k阶顺序主子式.定理2实二次型f=X'AX正定的充分必要条件是它的矩阵A的所有阶顺序主子式全大于零定理2的证明略例1判断下列二次型的正定性，(1)f=3x+4x,x+4x-4xx+5x(2)f=-5x+4x, x2+4x x-6x2-4x解（1)二次型f的矩阵为320A=24-2[o-25]

推论 1 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是 A 的特征值全为正的. 推论 2 实二次型 f  X AX 为正定的充分必要条件是它的规范标准形为 f = 2 1 y + 2 2 y +···+ 2 n y . 推论 3 实二次型 f  X AX 为正定的充分必要条件是它的正惯性指数为 n . 推论 4 若 A 为正定矩阵，则 A  0 . 证 由推论 1 知， A 的特征值全为正的,所以有 A  12 n  0 . 反之，结论不成立.例如 A =         0 1 1 0 . 显然 A  0 ，但二次型 f  X AX =- 2 1 x - 2 2 x 不是正定的，因而矩阵 A 不是正定的. 用行列式来判别一个矩阵（或二次型）是否正定也是一种常用的方法. 设 A 为 n 阶对称矩阵，由 A 的前 k 行 k 列元素构成的 k 阶行列式 k k kk k k a a a a a a a a a        1 2 21 22 2 11 12 1 ( k 1，2，，n ) 称为矩阵 A=（ ij a ）的 k 阶顺序主子式. 定理 2 实二次型 f  X AX 正定的充分必要条件是它的矩阵 A 的所有阶顺 序主子式全大于零. 定理 2 的证明略. 例 1 判断下列二次型的正定性. (1) f =3 2 1 x +4 1 x 2 x +4 2 2 x -4 2 x 3 x +5 2 3 x . (2) f =-5 2 1 x +4 1 x 2 x +4 1 x 3 x -6 2 2 x -4 2 3 x . 解 (1)二次型 f 的矩阵为 A =             0 2 5 2 4 2 3 2 0

以P记它的顺序主子式，则32P=3>0, P,==8>0,P=A=28>024由定理2知，f是正定的（2）二次型的矩阵为2-5202-6A=-420它的顺序主子式为5 2=26>0, P=|4-800P =-5<0, P,=2-6由定理2知，f不是正定的例2问1为何值时，二次型f=3x+tx2+2x,x,+2x,x,+4x3为正定二次型解二次型的矩阵为[301]ot1A=[114要使二次形为正定的，只需所有顺序主子式均大于零，即3t >0,[12t -t-3> 0,即1>311'思考：还可以有什么方法求解？设f=X'AX（A=A）为实二次型，如果对于任意非零向量X，都有f=X'AX<O，则称二次型=X'AX为负定二次型，并称矩阵A为负定矩阵；如果对于任意向量X，都有f=X'AX≤O，则称二次型f=X'AX为半负定二次

以 Pk 记它的顺序主子式，则 P1  3  0， P2 = 8 0 2 4 3 2   ， P3 = A  28  0. 由定理 2 知， f 是正定的. （2）二次型 f 的矩阵为 A =              2 0 4 2 6 0 5 2 2 . 它的顺序主子式为 P1  5  0， P2 = 26 0 2 6 5 2     ， P3  A 80  0 . 由定理 2 知， f 不是正定的. 例 2 问 t 为何值时,二次型 2 1 3 2 3 3 2 2 2 f  3x1  tx  2x x  2x x  4x 为正定二次型. 解 二次型的矩阵为 A =           1 1 4 0 1 3 0 1 t . 要使二次形为正定的，只需所有顺序主子式均大于零，即        12 3 0, 3 0, t t t 即 11 3 t  . 思考：还可以有什么方法求解？ 设 f  X AX ( A  A ' )为实二次型，如果对于任意非零向量 X ，都有 f  XAX  0 ，则称二次型 f  X AX 为负定二次型，并称矩阵 A 为负定矩阵； 如果对于任意向量 X ，都有 f  XAX  0 ，则称二次型 f  X AX 为半负定二次

型，并称矩阵A为半负定矩阵；对于任意向量X，f=X'AX的值有时为正，有时为负，则称二次型f=X'AX为不定二次型例如，二次型f(xj,x2,x)=-x?-x2-..-x是负定的f(,x2,,)=-x-x-..-xz(r<n)是半负定的f(,x2,,x)=x-x-.是不定的对于负定二次型的判断，有下面结论。定理3实二次型f=X'AX为负定的充分必要条件是其矩阵A的所有奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零，由定理3可知，例2中的第二个二次型是负定的例3证明实对称矩阵是A正定的充分必要条件为存在可逆矩阵U，使得A=U'U.证明充分性设A=U'U，对Vx±0,都有Ux0.则x'Ax = x'U'Ux= (UX)(Ux)>0,所以A是正定矩阵.必要性设A是正定矩阵，即f=X'AX为正定二次型.则存在可逆线性变换X=CY将f化为标准形=y?+y2+··+y.故C'AC=E，从而A= (C')-" AC- = (C")C-l.注：矩阵的分解应用很广.这是正定矩阵的一种分解例4设f=XAX为实二次型.若存在n维向量X,X,，使得XAX,>0，X,AX,<0.证明必有n维向量X。±0，使得XAX。=0.证由已知，f=X'AX为不定二次型.故存在可逆线性变换X=CY将二次型变为f=yi+.+yp-ypl-y,，其中1≤p<r≤n.取

型，并称矩阵 A 为半负定矩阵；对于任意向量 X , f  X AX 的值有时为正，有时 为负，则称二次型 f  X AX 为不定二次型. 例如，二次型 f 1 (x1 , x2 ,  , xn )  2 2 2 2 1 n  x  x  x 是负定的. f 2 (x1 , x2 ,  , xn )  2 2 2 2 1 r  x  x  x ( r  n )是半负定的. f 3 (x1 , x2 ,  , xn )  2 2 2 2 1 n x  x  x 是不定的. 对于负定二次型的判断，有下面结论. 定理 3 实二次型 f  X AX 为负定的充分必要条件是其矩阵 A 的所有奇数 阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零. 由定理 3 可知，例 2 中的第二个二次型是负定的. 例 3 证明实对称矩阵是 A 正定的充分必要条件为存在可逆矩阵 U ,使得 A UU . 证明 充分性 设 A UU ,对 x  0,都有 Ux  0 .则 x Ax  x UUx  (UX)(Ux)  0, 所以 A 是正定矩阵. 必要性 设 A 是正定矩阵，即 f  X AX 为正定二次型.则存在可逆线性变换 X  CY 将 f 化为标准形 f = 2 1 y + 2 2 y +···+ 2 n y .故 CAC  E ，从而 1 1 1 1 ( ) ( )     A  C AC  C C . 注：矩阵的分解应用很广.这是正定矩阵的一种分解. 例 4 设 f  X AX 为实二次型.若存在 n 维向量 1 2 X , X ,使得 X1 AX1  0 , X2  AX2  0.证明必有 n 维向量 X0  0 ,使得 X0 AX0  0. 证 由已知， f  X AX 为不定二次型.故存在可逆线性变换 X  CY 将二次 型变为 p p r f  y   y  y  y 1  1 ，其中 1 p  r  n .取

[0]01pYo =1P+10[0]令X=CY。+0且f =XoAX。=Yo(C'AC)Y。=0注：此例题是连续函数零点定理的推广

1 0 0 0 1 1 0 0                             P p Y   令 X  CY0  0 且 ( ) 0 0 ' 0 0 ' f  X0AX  Y CAC Y  . 注：此例题是连续函数零点定理的推广