经济数学基础 第2章导数与微分 第一章典型例题与缐合练习 第一节典型囪题 、极限计算 lim 例1求极限 l+一+ lim 解:原式 例2求极限 = lin(x-1(x+D) x+11+1 =m 解: x(x-1)(x-2) lin 例3求极限 lim 解: x0sin2x(1+√x+1) lim x-0 SIn2x×x01+√x lim(1-o) 例4求极限 lim(1+ 解: -2x(1im(1-2x
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——74—— 第一章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、极限计算 例 1 求极限 lim n n n → n n + + − + 2 2 1 2 5 4 解：原式 = + + → − + lim n n n n n 2 2 1 2 5 4 = + + − + → lim n n n n n 1 1 1 2 5 4 2 2 = 1 2 例 2 求极限 lim x x → x x − 1 − + 2 2 1 3 2 解： lim x→1 x x x x x x x x x x x 2 2 1 1 1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 − − + = − + − − = + − = + − = − → → lim ( )( ) ( )( ) lim 例 3 求极限 lim x sin x → x − + 0 1 1 2 解： lim x→0 1 1 2 − x + sin x = sin 2 (1 1) (1 1)(1 1) lim 0 + + − + + + → x x x x x = lim x→0 x sin 2x × lim x→0 − + + 1 1 x 1 = ) 2 1 ( 2 1 − = 4 1 − 例 4 求极限 lim( ) x x → x + 1− 1 2 1 解： lim( ) x x → x + 1− = 1 2 1 lim( ) x x → x 1− 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2 = + → − − − lim( ) ( ) x x x 1 1 2 2 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2
经济数学基础 第2章导数与微分 lim(1+-) lim(1 函数的连续性 0 例1讨论函数 0 在x=0处的连续性,并求函数的连续区间 解:因为 ime=l,ln(1+2x)=1,f(0)=a ,所以x lim f(x)=l 当a≠1时,0)m(,即极限值不等于函数值,所以x=0是函数的一个 间断点,且当a≠1时,函数的连续区间是(-0)(0.+∞) 当a=1时,f(0)=imnf(x) x0,即极限值等于函数值,所以x=0是函数的一个连 续点,且当a=1时,函数的连续区间是(一∞+) 三、函数的可导性 6 x>0 f(x) 例1设函数 x≤0 若函数f(x)在点x=0处连续且可导,应如何选取系数a,b? lm x=0, lim(ax+b)=b,f(0)=0 解:因为x0 所以当b=0时函数f(x)在点x=0处连续 又因为 o=l=hO+=(O)=A=0 →0△A A'(0)=lim Ay 所以当a=0,b=0时函数f(x)在点x=0处可导 75
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——75—— = + − → − − lim( ) x x x 1 1 2 2 1 2 lim( ) x→ x 1− 1 2 e 1 2 1 = − e 1 = 二、函数的连续性 例 1 讨论函数 + = = 1 2 0 0 e 0 ( ) x x a x x f x x 在 x=0 处的连续性，并求函数的连续区间. 解：因为 x f a x x x = + = = → − → + lim e 1, lim (1 2 ) 1, (0) 0 0 ，所以 lim ( ) 1 0 = → f x x 当 a 1 时， (0) lim ( ) 0 f f x x→ ，即极限值不等于函数值，所以 x=0 是函数的一个 间断点，且当 a 1 时，函数的连续区间是 (−,0) (0,+) . 当 a =1 时， (0) lim ( ) 0 f f x x→ = ，即极限值等于函数值，所以 x=0 是函数的一个连 续点，且当 a =1 时，函数的连续区间是 (−,+) . 三、函数的可导性 例 1 设函数 f x ax b x x x ( ) = + 0 0 2 若函数 f (x) 在点 x = 0 处连续且可导，应如何选取系数 a,b? 解：因为 lim 0, lim ( ) , (0) 0 0 2 0 = + = = → − → + x ax b b f x x 所以当 b = 0 时函数 f (x) 在点 x = 0 处连续. 又因为 0 ( ) lim (0 ) (0) (0) lim lim 2 0 0 0 = = + − = = − − → − → → − x x x f x f x y f x x x + = = = → + → + f y x a x x a x x (0) lim lim 0 0 所以当 a = 0，b = 0 时函数 f (x) 在点 x = 0 处可导
经济数学基础 第2章导数与微分 例2求曲线y=e+1在x=0处的切线方程 解n:y=c,川1-=()-=c"-=1,且当x=0时,y(0=°=1,即切 点为(1,1).所求切线方程为:y-1=1(x-0)或y=x+1 四、导数(微分)的计算 例1求下列函数的导数或微分 y (1)设 求y:(2)设 ,求 dv 解(1)先用加法法则,再用基本公式 4 )=(2x3)+(-)-(x)+(2)-(52) =2×5x12+4×(2)-3x3+0-5ln5=1Or41 2-x3-5ln5 (2)因为 (e)(+x2)-e(l+x2)ye(1+x2)-2xe2(x-1)2 (1+x2)2 (1+x2) D)e 所以 例2求下列函数的导数或微分:(1设y=边1+m2x,求y (2)设y=e2,求y;( In(1+x) ,求 解(1)设y=,=1+,=hx,由复合函数求导法则求导数, (1+ln2x)5(1+hn2x)=3(1+lhn2x)p'+(n2x) 76
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——76—— 例 2 求曲线 = e +1 x y 在 x = 0 处的切线方程． 解： x y = e ， (e ) e 1 0 0 0 = = = = = x= x x x x y ，且当 x = 0 时， (0) e 1 0 y = = ，即切 点为（1，1）．所求切线方程为： y −1 = 1(x − 0) 或 y = x +1 四、导数（微分）的计算 例 1 求下列函数的导数或微分 (1)设 y x x x x = 2 + − + − 4 2 5 5 3 2 ,求 y ；(2) 设 2 1 e x y x + = ,求 dy . 解(1)先用加法法则，再用基本公式 y = (2 + − + − ) 4 2 5 5 3 2 x x x x = (2 ) + ( ) − ( ) + ( ) − ( ) 4 2 5 5 3 2 x x x x = + − − + − − 2 5 4 1 1 3 0 5 5 4 2 2 3 x x x x ( ) ln = − − − − 10 4 1 3 5 5 4 2 2 3 x x x x ln (2)因为 2 2 2 2 2 (1 ) (e ) (1 ) e (1 ) ) 1 e ( x x x x y x x x + + − + = + = 2 2 2 (1 ) e (1 ) 2 e x x x x x + + − = 2 2 2 (1 ) ( 1) e x x x + − = 所以， x x x y x d (1 ) ( 1) e d 2 2 2 + − = 例 2 求下列函数的导数或微分：(1)设 y = 1+ x 3 2 ln ,求 y ； (2)设 x y 1 sin = e ,求 y ；(3) y x x xy e + ln(1+ ) = ,求 dy . 解(1)设 y u ,u 1 v ,v ln x 3 2 1 = = + = ，由复合函数求导法则求导数， = + + − y x x 1 3 1 1 2 1 3 1 2 ( ln ) ( ln ) = + + 1 − 3 1 1 2 2 3 2 ( ln x) [ (ln x) ]
经济数学基础 第2章导数与微分 2 2 2Inx(Inx)==(1+Inx)3. 2Inx e.l= sin vv (2)设 x,由复合函数求导法则求导数 y=e x(sin -'=e x. cos-('=e x.cos-(--5)=--3cos-e (3)方法一:由导数求得微分:(e”)+yh1+x=(x)即 移项得 1+x-y(1+x)e-y 解出 (1+x)e+(1+x)ln(1+x) 1+x-y(1+x)e-y 于是dy=x(1+x)e+(1+x)h(1+x)dr 方法二:方程两边对变量求微分,这时变量y和x的地位都是相同的 d(e)+diyIn(1+x=d (dx xdy)+In(1+x)dy x)]dy=(1 dy_x(1+x)e +(1+x)In(1+x)d 五、高阶导数 例1求函数 的二阶导数 2(1+x2)-4 解:因为 所以 (1+x2) (1
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——77—— = + + 1 − 3 1 0 2 2 2 3 ( ln x) [ ln x(ln x) ] = + 1 − 3 1 2 1 2 2 3 ( ln x) ln x x = + 2 − 3 1 2 2 3 x ln x( ln x) (2)设 x y u v v u 1 = e , = sin , = ，由复合函数求导法则求导数 ) 1 ( 1 ) e cos 1 e (sin 1 sin 1 sin = = x x x y x x ) 1 ( 1 e cos 2 1 sin x x x = − x x x 1 sin 2 e 1 cos 1 = − (3)方法一：由导数求得微分：(e ) +[y ln(1+ x)] = (x) xy 即： 1 1 e ( ) ln(1 ) = + + + + + x y y xy y x xy 移项得： x y x x y y xy xy + + + = − − 1 [ e ln(1 )] 1 e 解出 y ： (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y y xy xy + + + + + − + − = 于是 dy = (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y xy xy + + + + + − + − dx 方法二：方程两边对变量求微分，这时变量 y 和 x 的地位都是相同的. y x x xy d(e ) + d[ ln(1+ )] = d ； x x y x y x x y x y xy d 1 d e ( d d ) ln(1 )d = + + + + + x x y x y y xy xy )d 1 [e ln(1 )]d (1 e + + + = − − ；于是 dy = (1 )e (1 )ln(1 ) 1 (1 )e x x x x x y x y xy xy + + + + + − + − dx 五、高阶导数 例 1 求函数 y = ln(1+ x ) 2 的二阶导数. 解：因为 = + y x x 2 1 2 ( ) 所以， y = + = + − + = − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 4 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x
经济数学基础 第2章导数与微分 第二节典型劑题 填空题 x-sin x lim x2+1x≠ 0 f(x) 2.设 k 0 在x=0处连续,则k= x-6 f() 3.函数 4x-12的连续区间为 间断点 li ∫(x0+x)-f(x0) 则 5.曲线y=x在(1,1)处的切线方程是 6.已知f(x)是可导函数,则可f(e)= 7.设f(x)=x,则f(x)在x=x0处的弹性为 8.设 y=sinx 1.1:2.1:3.(-0-2)(-2.6)(6,0.x=2和x=6;4.2 6.==x+ 2 单选题 78
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——78—— 第二节 典型例题 一、填空题 1. lim sin x x x → x − = . 2.设 f x x x k x ( ) = + = 2 1 0 0，在 x = 0 处连续，则 k = . 3.函数 f x x x x ( ) = − − − 6 4 12 2 的连续区间为 ，间断点 是 . 4.若 lim x ( ) ( ) x → f x + x − f x = 0 0 0 2 ，则 f (x ) 0 = . 5.曲线 y = x 在（1，1）处的切线方程是 . 6.已知 f (x) 是可导函数，则 d[ (e )] x f − = . 7.设 f (x) = x 3 ，则 f (x) 在 x = x0 处的弹性为 . 8.设 y = x sin x ，则 y( ) 2 = . 1．1；2．1；3． (−,−2) (−2,6) (6,+), x = −2 和 x = 6 ；4． 1 2 ； 5． y = x + 1 2 1 2 ； 6． f x x x e (e )d − − − ；7．3；8． − 2 二、单选题