经济数学基础 第2章导数与微分 第三章典型例题与缭合练习 第一节典型囪题 函数的单调性例1求函数 (x)s35 的单调区间. f(x) -x3+1 解:函数 的定义域是(-,+∞),因为 x.可见,在x=0处f(x)不存在 令∫(x=0,即Ⅵx,得x2=1.以x=0,x2=1为分点,将函数定义域分 成三个子区间:(∞0),(0.1),(,+∞) (x x∈(-∞,0) x,f(x)单调增加 x-1 当x∈(0,1) f'(x) 0 x,f(x)单调减少 x∈(1,+∞) 0 ,f(x)单调增 所以,函数f(x)的单调增加区间为(-,0和,+∞),单调减少区间为0,1 二、函数极值例1求函数f(x)=xhx的极值 解:函数f(x)=xh2x的定义域是(0,+∞),且f(x)=hx(mx+2) 该函数没有不可导点 114
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——114—— 第三章 典型例题与综合练习 第一节 典型例题 一、函数的单调性例 1 求函数 1 2 3 5 3 ( ) 3 2 3 5 f x = x − x + 的单调区间． 解 ： 函 数 1 2 3 5 3 ( ) 3 2 3 5 f x = x − x + 的定义域是 (− , + ) ，因为 = − = − − f x x x x x ( ) 2 3 1 3 3 1 .可见，在 x1 = 0 处 f (x)不存在． 令 f (x)=0，即 x x − = 1 0 3 ，得 x2 = 1 ．以 x x 1 = 0 , 2 = 1 为分点，将函数定义域分 成三个子区间： (−, 0) ，(0,1)，(1, + ) 当 x (− , 0) 时， = − f x x x ( ) 1 0 3 ，f (x)单调增加； 当 x (0 ,1) 时， = − f x x x ( ) 1 0 3 ，f (x)单调减少； 当 x (1, + ) 时， = − f x x x ( ) 1 0 3 ，f (x)单调增 所以，函数 f (x) 的单调增加区间为 (− , 0] 和 [1 , + ) ，单调减少区间为 [0 ,1]． 二、函数极值例 1 求函数 f x x x 2 ( ) = ln 的极值． 解：函数 f (x) = x ln x 2 的定义域是 (0,+) ，且 f (x) = ln x(ln x + 2) 令 f (x) = 0 ，得 2 1 e − x = ， x2 =1 该函数没有不可导点．
经济数学基础 第2章导数与微分 驻点将函数定义域分成三个子区间:(Oe)e2,)(1+∞) f(x)在子区间内的符号变化及极值点情况如表31 (0, f( 极小 f(x) 极大 值 表31f(x)=xn2x的极值情况 由表3.1知,x1=是f(x)的极大值点,x2=1是f(x)的极小值点.函数的极 大值是∫(e-)=4e,极小值是f(1)=0 例2欲制作一体积为30m的圆柱形无盖的容器,其底用钢板,侧面用铝板,若 已知每平方米钢板的价格为铝板的3倍,试问如何设计圆柱的高和半径,才能使造 价最低? 解:设容器的高为h,底半径为r,(见图3-1),侧面每平方米的造价为a元, 总造价为y元,于是 y=a·2rrh+30xr(0<F<+∞) h 因为V=mrh=30,解得 图3-1无盖容器 115
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——115—— 驻点将函数定义域分成三个子区间： (0,e ),(e ,1),(1, ) 2 2 + − − ． f (x) 在子区间内的符号变化及极值点情况如表 3.1． x (0, 2 e − ) 2 e − ( 2 e − ,1 ) 1 (1, + ) f (x) + 0 - 0 + f (x) 4 2 e − 极大 值 0 极小 值 表 3.1 f (x) = x ln x 2 的极值情况 由表 3.1 知， 2 1 e − x = 是 f (x) 的极大值点， x2 = 1 是 f (x) 的极小值点．函数的极 大值是 2 2 (e ) 4e − − f = ，极小值是 f (1) = 0 ． 例 2 欲制作一体积为 30 m3的圆柱形无盖的容器，其底用钢板，侧面用铝板，若 已知每平方米钢板的价格为铝板的 3 倍，试问如何设计圆柱的高和半径，才能使造 价最低？ 解：设容器的高为 h，底半径为 r，（见图 3—1），侧面每平方米的造价为 a 元， 总造价为 y 元，于是 y = a 2 r h + 3a r 2 （0 r + ） 因为 V= r h 2 =30，解得 h r = 30 2 . 图 3-1 无盖容器 r h
经济数学基础 第2章导数与微分 将h代入总造价函数,得 y= +5a丌r = OaTI r=-≈147 令y 得 ;且r=147是总 造价函数在定义域内唯一的驻点,所以r=147是总造价函数y的极小值点,而且也 是y的最小值点,当r=147时,h30=442 由此可知,当圆柱的底半径为1.47m,高为4.42m时,总造价最低 三、导数在经济分析中的应用例1若A,B两种商品的需求函数分别为 3e qB=3e"p 试比较两种商品的弹性.如果对两种商品以同样幅度提价, 哪一种商品的需求量减少的幅度更大? 解:(1)求A种商品的需求弹性 g4=-6e Ea 9、P ×(-6e-P) ,所以 (2)求B种商品的需求弹性 因为q=-3e",所以q Eg=P.qBP-x(-3e"p) (3)当价格为P=P时,A种商品的需求弹性为EA(P0)=-2P,B种商品的 需求弹性为EP)=-n,因为E(PB)=2P>B=1EP米 所以,对两种商品以同样幅度提价,A种商品的需求量减少的幅度更大 例2生产某种产品q个单位时成本函数为C(q)=200+0y2 求:(1)生产90个单位该产品时的平均成本 (2)生产90个到100个单位该产品时,成本的平均变化率 (3)生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本 116
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——116—— 将 h 代入总造价函数，得 y a r = + a r 60 3 2 ； y = a r − a r 6 60 2 ；令 y = 0 ，得 r = 10 3 147 . ；且 r = 1.47 是总 造价函数在定义域内唯一的驻点，所以 r = 1.47 是总造价函数 y 的极小值点，而且也 是 y 的最小值点．当 r = 1.47 时， = = 2 30 r h 4.42 由此可知，当圆柱的底半径为 1.47m，高为 4.42m 时，总造价最低． 三、导数在经济分析中的应用例 1 若 A，B 两种商品的需求函数分别为 p qA 2 3e − = ， p qB − = 3e 试比较两种商品的弹性．如果对两种商品以同样幅度提价， 哪一种商品的需求量减少的幅度更大？ 解：（1）求 A 种商品的需求弹性． 因为 p qA 2 6e − = − ，所以 E p q A q A = A = ( 6e ) 3e 2 2 p p p − − − =-2p （2）求 B 种商品的需求弹性． 因为 p qB − = −3e ，所以 E p q B q B = B = ( 3e ) 3e p p p − − − =-p （3）当价格为 p = p0 时，A 种商品的需求弹性为 EA ( p0 ) = −2p0 ，B 种商品的 需求弹性为 E B ( p0 ) = − p0 ．因为 EA ( p ) p p E B ( p ) 0 = 2 0 0 = 0 所以，对两种商品以同样幅度提价，A 种商品的需求量减少的幅度更大． 例 2 生产某种产品 q 个单位时成本函数为 C(q) = 200 + 0.05q 2 ． 求：（1）生产 90 个单位该产品时的平均成本； （2）生产 90 个到 100 个单位该产品时，成本的平均变化率； （3）生产 90 个单位与生产 100 个单位该产品时的边际成本．
经济数学基础 第2章导数与微分 C(q)200 +0.05 解:(1)因为qq ;所以,当q=9时的平均成本为 C90)200 90o+005×90≈6.72 (2)因为生产90个到100个单位产品时,成本的改变量为 ACq)=C(100-c(90)=200+005×1002-(200+0.05×902)=95 产量的改变量为△9=100-90=10 △C(q)95 所以,成本的平均变化率为△q-10=95 (3)因为边际成本为C(q)=01所以,当9=90时,C(9o)=01×90=9 当q=100时,C(10)=01×100=10,即生产90个单位产品与生产100个单位产品 时的边际成本分别为9和10 本题分别求平均成本,在一定范围内成本的平均变化率,在一些点处的边际成本.这三个 概念都反映一定意义下的“平均”,但是又有区别.平均成本是生产一定C(q)数量产品时的 成本平均,它只与产量范围有关.平均变化率 C(q 是生产一定数量产品时再增产△q时 成本增加值△C在△q范围内的平均,这个比值既与产量q有关,又与增量△q有关.边际成本 是极限意义下的平均,是当增量^q→0时,成本(q)的瞬时变化率,这个值只与产量q有关 例3某工厂生产某种商品,年产量为q(单位:百台),成本C(单位:万元), 其中固定成本为2万元,而每生产1百台,成本增加1万元.市场上每年可以销售 此种商品4百台,其销售收入R是q的函数R(q)=
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——117—— 解：（1）因为 C q q q q ( ) = + . 200 0 05 ；所以，当 q = 90 时的平均成本为 C( ) . . 90 90 200 90 = + 0 05 90 6 72 （2）因为生产 90 个到 100 个单位产品时，成本的改变量为 C(q) = C(100) − C(90) =200+0.05 1002 -(200+0.05 902 )=95 产量的改变量为 q =100-90=10 所以，成本的平均变化率为 C q q ( ) = = . 95 10 9 5 （3）因为边际成本为 C(q) = 0.1q 所以，当 q = 90 时， C(90) = 0.1 90 = 9 当 q = 100 时， C(100) = 0.1100 =10，即生产 90 个单位产品与生产 100 个单位产品 时的边际成本分别为 9 和 10． 本题分别求平均成本，在一定范围内成本的平均变化率，在一些点处的边际成本．这三个 概念都反映一定意义下的“平均”．但是又有区别．平均成本是生产一定 q C(q) 数量产品时的 成本平均，它只与产量范围 q 有关．平均变化率 q C q ( ) 是生产一定数量产品时再增产 q 时， 成本增加值 C 在 q 范围内的平均，这个比值既与产量 q 有关，又与增量 q 有关．边际成本 是极限意义下的平均，是当增量 q → 0 时，成本 C(q) 的瞬时变化率，这个值只与产量 q 有关． 例 3 某工厂生产某种商品，年产量为 q（单位：百台），成本 C（单位：万元）， 其中固定成本为 2 万元，而每生产 1 百台，成本增加 1 万元．市场上每年可以销售 此种商品 4 百台，其销售收入 R 是 q 的函数 R(q)= 2 2 1 4q − q ,q [0，4]
经济数学基础 第2章导数与微分 问年产量为多少时,其平均利润最大? 解:因为固定成本为2万元,生产q单位商品的变动成本为1q万元 所以成本函数C(q=q+2,q∈[0 + 由此可得利润函数L(q)=3q 90,4):4(q)=3-q 12 又因为 (q)=-2q,令L(q)=0,得q1=2,92=2(舍去) 这里,q1=2是平均利润函数1(q)在定义域内的唯一驻点 所以,q2=2是平均利润函数L(q)的极大值点,而且也是L(q)的最大值点.即 当年产量为2百台时,其平均利润最大
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——118—— 问年产量为多少时，其平均利润最大？ 解：因为固定成本为 2 万元，生产 q 单位商品的变动成本为 1 q 万元． 所以成本函数 C(q)=q+2，q [0，+ ) 由此可得利润函数 L(q)=3q 2 2 1 − q -2，q [0，4]； q L q q 2 2 1 ( ) = 3− − ，q (0，4] 又因为 L q = − + q ( ) 1 2 2 2 ，令 L(q) = 0 ，得 q1 =2，q2 =-2（舍去）． 这里， q1 =2 是平均利润函数 L(q) 在定义域内的唯一驻点． 所以， q1 =2 是平均利润函数 L(q) 的极大值点，而且也是 L(q) 的最大值点．即 当年产量为 2 百台时，其平均利润最大．