经济数学基础 第三章导数的应用 第一单元函教的单调性 第一二节巫数的单调性 学习目标 通过本节课的学习,了解函数单调性的概念,同时还要掌握利用一阶导数对函 数在某一区间上的单调性的判别方法 内容讲解 1.本章概述 从这一讲开始讲第3章导数应用.在上一章的总结中指出,导数是特别重要的, 不仅在本课程中有很多应用,而且在将来的工作中也有很多应用 这一章中,主要讲导数在两方面的应用: 1.导数在研究函数时的应用;2.导数在经济中的一些应用 例1股市及股市曲线 在生活中,随着经济的发展,同学们或多或少都会接触股市.在股市上,人们 特别关注股市曲线,关心在哪一段时间股市在上升,哪一段时间股市会下降;或者 在哪一个时间达到峰值,哪一个时间达到低谷,低谷的值是多少? 例2生产场景及生产曲线 产量 在工业管理中,关心投入 与产量之间的关系,产量 随投入变化的情况,何时 投入 达到最高 88
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——88—— 第一单元 函数的单调性 第一、二节 函数的单调性 一、学习目标 通过本节课的学习，了解函数单调性的概念，同时还要掌握利用一阶导数对函 数在某一区间上的单调性的判别方法． 二、内容讲解 1.本章概述 从这一讲开始讲第 3 章导数应用．在上一章的总结中指出，导数是特别重要的， 不仅在本课程中有很多应用，而且在将来的工作中也有很多应用． 这一章中，主要讲导数在两方面的应用： 1．导数在研究函数时的应用；2．导数在经济中的一些应用 例 1 股市及股市曲线 在生活中，随着经济的发展，同学们或多或少都会接触股市．在股市上，人们 特别关注股市曲线，关心在哪一段时间股市在上升，哪一段时间股市会下降；或者 在哪一个时间达到峰值，哪一个时间达到低谷，低谷的值是多少？ 例 2 生产场景及生产曲线 在工业管理中，关心投入 与产量之间的关系，产量 随投入变化的情况，何时 达到最高．
经济数学基础 第三章导数的应用 在下两讲中就是要讨论这个问题 2单调性判别 下面首先讨论 (一)定义3.1——函数的单调性 什么叫函数的单调性 1.1节中定义函数的单调性为:一个函数在一个区间之间随着自变量的增加 函数值也在增加,叫做单调増加的;如果随着自变量的增加,函数值却在减少,叫 做单调减少的.从函数本身或图形,都能判断函数的单调性,但有时还需要用导数 工具判别单调性 先考察y=x2,它的图形是抛 物线 在x>0处,函数单调上升; 在x<0处,函数单调下降。 当在x>0这一边的每一点处都 有切线时,切线的特征是:切线与x 轴正向的夹角一定小于90° 当在x<0这一边的每一点处都 有切线时, 切线的特征是:切线与x轴正向 的夹角一定大于90°
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——89—— 在下两讲中就是要讨论这个问题． 2.单调性判别 下面首先讨论 （一）定义 3.1——函数的单调性． 什么叫函数的单调性？ 1.1 节中定义函数的单调性为：一个函数在一个区间之间随着自变量的增加， 函数值也在增加，叫做单调增加的；如果随着自变量的增加，函数值却在减少，叫 做单调减少的．从函数本身或图形，都能判断函数的单调性，但有时还需要用导数 工具判别单调性． 当在 x<0 这一边的每一点处都 有切线时， 切线的特征是：切线与 x 轴正向 的夹角一定大于 90． 当在 x>0 这一边的每一点处都 有切线时，切线的特征是：切线与 x 轴正向的夹角一定小于 90． 先考察 y =x 2，它的图形是抛 物线． 在 x>0 处，函数单调上升； 在 x<0 处，函数单调下降
经济数学基础 第三章导数的应用 y=x 当x>0时,y’=2x>0 当x<0时,y’=2x<0 (二)函数单调性定理3.1 设函数y=f(x)在区间{a,b]上连续,在区间(a,b)内可导 (1)如果x∈(a,b)时,f(x)>0,则fx)在a,b]上单调增加 (2)如果x∈(a,b)时,(x)<0,则(x)在[a,b]上单调减少 意义:利用导数的符号判别函数的单调性 说明:(1)闭区间a,b换成其它区间,如(a,b),(-∞,b,(a,+∞). (2)使定理结论成立的区间,称为y=x)的单调区间 问题思考:若在区间,b内,f(x)=0,则几x)定是什么函数?同学们考 虑的怎么样呢?下面请同学回答这个问题 学生甲:因为这个函数的导数是0,所以这个函数也是0 学生乙:我不同意这种说法.根据第2章所讲的导数公式,当函数是常数时, 它的导数是0.我认为问题中的f(x)应该是常数C 想一想:这两位同学中,哪一位回答是正确的? 在判断哪一位同学的回答是正确的之前,先复习定理3.1. 定理3.1设函数y=f(x)在区间[a,b上连续,在区间(a,b)内可导 (1)如果x∈(a,b时,f(x)>(2)0,则∫(x)在[a,b]上单调增加(不减 (2)如果x∈(a,b)时,丿(x)(≤)0,则fx)在[a,b上单调减少(不增) “单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢? 90—
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——90—— 0 2 0 0 2 0 2 = = = x y x x y x y x 当 时， 当 时， （二）函数单调性定理 3.1 设函数 y = f (x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导. (1)如果 x (a，b)时， f (x)>0，则 f(x)在[a，b]上单调增加； (2)如果 x (a，b)时， f (x)<0，则 f(x)在[a，b]上单调减少． 意义：利用导数的符号判别函数的单调性． 说明：（1）闭区间[a，b]换成其它区间，如(a，b)，(- ，b]，(a，+ )． （2）使定理结论成立的区间，称为 y=f(x)的单调区间． 问题思考：若在区间 [a, b] 内， f (x) 0 ，则 f(x)一定是什么函数？同学们考 虑的怎么样呢？下面请同学回答这个问题． 学生甲：因为这个函数的导数是 0，所以这个函数也是 0． 学生乙：我不同意这种说法．根据第 2 章所讲的导数公式，当函数是常数时， 它的导数是 0．我认为问题中的 f (x)应该是常数 C． 想一想：这两位同学中，哪一位回答是正确的？ 在判断哪一位同学的回答是正确的之前，先复习定理 3.1． 定理 3.1 设函数 y = f (x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导． (1) 如果 x (a，b)时， f (x)>( )0，则 f (x)在[a，b]上单调增加(不减)； (2) 如果 x (a，b)时， f (x)<( )0，则 f(x)在[a，b]上单调减少(不增)． “单调增加”与“单调不减”之间的区别在哪里呢？
经济数学基础 第三章导数的应用 单调增加是自变量变大,函数值也变大;而单调不减是自变量变大,函数值不 变小,即函数值也变大或函数值保持相等.所以,单调增加与单调不减是有一些差 别的 修改后的定理3.1如下 定理3.1′设函数y=x)在区间[a,b上连续,在区间(a,b)内可导 (1)如果x∈(a,b时,∫(x)≥0,则/x)在[a,b上单调不减 (2)如果x∈(a,b)时,∫(x)≤0,则fx)在[a,b上单调不增 由此我们可以说第二位同学的回答是正确的,下面给出证明. 结论:若f(x)=0,x∈[ab,则f(x)=c 证:∵f(x)=0→∫(x)既单调不增又单调不减→f(x)=c 问题思考:单调函数的导数也是单调的吗?请举例说明 答案不一定,例如函数f(x)=x3在区间(-∞,+)内是单调增加函数,但是其导数 f(x)=3x2在区间(∞,+∞)内不是单调函数又如g(x)=ex及其导数8'(x)=ex在区间 (-∞,+∞)内都是单调函数 、例题讲解 例1判别y=x2+1的单调性 [分析]函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断,在学了定 y 理3.1后,就可以用导数来判断
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——91—— 单调增加是自变量变大，函数值也变大；而单调不减是自变量变大，函数值不 变小，即函数值也变大或函数值保持相等．所以，单调增加与单调不减是有一些差 别的． 修改后的定理 3.1 如下： 定理 3.1 设函数 y=f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导 (1)如果 x (a，b)时， f (x) 0，则 f(x)在[a，b]上单调不减； (2)如果 x (a，b)时， f (x) 0，则 f(x)在[a，b]上单调不增． 由此我们可以说第二位同学的回答是正确的，下面给出证明． 结论：若 f (x) 0 ， x [a, b] ，则 f (x) = c． 证： f (x) 0 f (x) 既单调不增又单调不减 f (x) = c 问题思考：单调函数的导数也是单调的吗？请举例说明． 答案不一定．例如函数 f(x)=x3 在区间(- ,+ )内是单调增加函数，但是其导数 f (x)=3x2 在区间(- ,+ )内不是单调函数.又如 g(x)=ex 及其导数 g (x)=ex 在区间 (- ,+ )内都是单调函数． 三、例题讲解 例 1 判别 y=x 3+1 的单调性． [分析] 函数的单调性可以用函数单调性定义或函数图形来判断，在学了定 理 3.1 后，就可以用导数来判断．
经济数学基础 第三章导数的应用 解:∵定义域为(-∞,+∞),y(x)=3x2>0,x∈(-∞,+∞),且x≠0 y在(-∞,+∞)上单调增加 从图形上可以看出,这个函数的确在整个定义域上是单调增加的. 例2求y=2x3-9x2+12x6的单调区间 [分析]首先求出定义域,再利用定理3.1(利用导数作为工具)判断该函数 在哪个范围内单调增加,哪个范围内单调减少,即判断在哪个范围内导数大于0, 在哪个范围内导数小于0.因此,要求出使导数等于0的点(分界点),再作判 断. 解: 定义域为(-∞,+∞),y=6x2-18x+12 x2-3x+2=0;x-1)x-2)=0;x1=1,x=2 单调增加区间为(-∞,1,[2,+∞);单调减少区间为[1,2] 在右图形中x1=1,x2=2是分界点,在区间(,1]内,函数是单调增加的;而 在区间[1,2]内,函数单调减少;在区间[2,+∞)内,函数是单调增加的 92
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——92—— 解： 定义域为(- ,+ )， y (x)=3x 2>0，x (- ,+ )，且 x 0 y 在(- ,+ )上单调增加． 从图形上可以看出，这个函数的确在整个定义域上是单调增加的． 例 2 求 y=2x 3 -9x 2+12x-6 的单调区间. [分析]首先求出定义域，再利用定理 3.1（利用导数作为工具）判断该函数 在哪个范围内单调增加，哪个范围内单调减少，即判断在哪个范围内导数大于 0， 在哪个范围内导数小于 0．因此，要求出使导数等于 0 的点（分界点），再作判 断． 解： 定义域为(- ,+ )， y = 6x 2 - 18 x + 12； x 2 - 3 x + 2 = 0；x– 1)( x – 2) = 0；x1 = 1, x2 = 2 单调增加区间为(- ,1]，[2，+ )；单调减少区间为[1，2]． 在右图形中 x1 = 1, x2 = 2 是分界点，在区间(- ,1]内，函数是单调增加的；而 在区间[1，2]内，函数单调减少；在区间[2，+ )内，函数是单调增加的．