经济数学基础 第2章导数与微分 第三单元忌数、微分的概念及四则运算 第一节景教和微分的概念 学习目标 本节课主要讨论导数和微分的概念,通过学习应明确导数与微分的定义,了解 导数的几何意义和经济意义,会求曲线的切线方程;了解导数、微分与连续之间的 关系并熟练背住导数和微分的基本公式 二、内容讲解 本节的主要内容是导数与微分的概念 1.导数概念 个引例:边际成本问题;瞬时速率问题;曲线切线问题 引例1:边际成本问题 C一总成本,q一总产量, 已知C=C(q当q。→40+△时(当自变量产生改变量,相应的函数也产生改变 量) C(q)→C(q0+△g) (成本平均变化率) C(qo+△q)-C(q0) (边际成本) 引例2:瞬时速率问题 路程S是时间的函数S() 当从→+M时,S(O)从S()→>S(+M) 56
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——56—— 第三单元 导数、微分的概念及四则运算 第一节 导数和微分的概念 一、学习目标 本节课主要讨论导数和微分的概念，通过学习应明确导数与微分的定义，了解 导数的几何意义和经济意义，会求曲线的切线方程；了解导数、微分与连续之间的 关系并熟练背住导数和微分的基本公式. 二、内容讲解 本节的主要内容是导数与微分的概念. 1.导数概念 三个引例：边际成本问题；瞬时速率问题；曲线切线问题. 引例 1： 边际成本问题 C—总成本， q —总产量， 已知 C = C(q),当q0 → q0 + q时 （当自变量产生改变量，相应的函数也产生改变 量） ( ) ( ) C q → C q0 + q ， q C q q C q ( + ) − ( ) 0 0 （成本平均变化率） q C q q C q q + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 （边际成本） 引例 2:瞬时速率问题 路程 S 是时间 t 的函数 S(t) 当 t 从 t → t + t 0 0 时， S(t) 从 ( ) ( ) 0 0 S t → S t + t
经济数学基础 第2章导数与微分 S(t0+M)-S(t0) (平均速率) S(to+△)-S(0) (在时刻的瞬时速率) 引例3:曲线切线问题 考虑曲线y=f(x)在x=x0处的切线斜率 x→)x+△x 时,对应的1→>1+4y 曲线上(x,f(x2) (x0+Ax,/(xo+Ax)两点间割线的斜率为 tanφ (当4x→0时) tan a= lim tang= lim /(xo+ Ax)-f(ro) 称为切线的斜率 C(a=lim C(o +Ag-c(qo) S(= lim s(+4r)-S(o) A f(x)=lim f(x0+△x)-f(x0) 关于函数y=f(x),x0→x+Ax,f(x)→f(x0+△x) lim f(xo+ Ax)-/(o) 考虑极限 定义2.5—导数
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——57—— t S t t S t ( + ) − ( ) 0 0 （平均速率） t S t t S t t + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 （在 0 t 时刻的瞬时速率） 引例 3：曲线切线问题 考虑曲线 y = f (x) 在 0 x = x 处的切线斜率. 当 x → x + x 0 0 时，对应的 y → y + y 0 0 曲线上 ( , ( )) 0 0 x f x 和 ( , ( )) 0 0 x + x f x + x 两点间割线的斜率为 x f x x f x + − = ( ) ( ) tan 0 0 . （当 x →0 时） x f x x f x x x + − = = → → ( ) ( ) tan lim tan lim 0 0 0 0 称为切线的斜率. q C q q C q C q q + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 t S t t S t S t t + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 关于函数 y = f (x)， x → x + x 0 0 ， ( ) ( ) 0 0 f x → f x + x 考虑极限 x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 定义 2.5——导数
经济数学基础 第2章导数与微分 又设函数y=f(x)在点x的邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得改变量 时,函数y取得相应的改变量: f(x0+△x)-f(x0) lim Ay= im (o+Ax)-f(o) 若当Ax→0时,两个改变量之比Ax的极限△xa0 在,则称函数y=f(x)在点处可导,并称此极限值为y=f(x)在点x处的导数, 记为f(x0)或x=或0x=或 即(x)(xn+△x)-f(x) 若极限不存在,则称函数y=f(x)在点处不可导 在理解导数定义时要注意:导数也是逐点讨论的. 2.导数定义的意义 数量意义:变化率 经济意义:边际成本 几何意义:切线的斜率 3微分的概念 设=J(x),导数drdr=y=f(x) 两边同乘d,得到函数的微分,微分 dy=df(x)=y'dx=f(x)dx 4.导数公式 (c)=0 (sin x)=cosx (x“)=a (cos x)=-sin x (a)=a hn (x) 5.微分公式 58
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——58—— 设函数 y = f (x) 在点 0 x 的邻域内有定义，当自变量 x 在点 0 x 处取得改变量 x( 0) 时，函数 y 取得相应的改变量： ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x 若当 x →0 时，两个改变量之比 x y 的极限 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存 在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处可导，并称此极限值为 y = f (x) 在点 0 x 处的导数， 记为 ( ) 0 f x 或 0 x x y = 或 0 d d x x x f = 或 0 d d x x x y = ，即 ( ) 0 f x = x f x x f x x + − → ( ) ( ) lim 0 0 0 若极限不存在，则称函数 y = f (x) 在点 0 x 处不可导. 在理解导数定义时要注意：导数也是逐点讨论的. 2.导数定义的意义 数量意义：变化率 经济意义：边际成本 几何意义：切线的斜率 3.微分的概念 设 y = f (x)，导数 ( ) d d ( ) d d y f x x f x x y = = = 两边同乘 dx ，得到函数的微分，微分 dy = df (x) = y dx = f (x)dx 4.导数公式 x x x x c 1 (ln ) ( ) ( ) 0 1 = = = − x x x x a a a x x x x (e ) e ( ) ln (cos ) sin (sin ) cos = = = − = 5.微分公式
经济数学基础 第2章导数与微分 由导数公式可以得到微分公式 (x")=axa-l d(r)=a -ldr (hn x)'=I d(In x) (sin x)=cos x d(sin x)=cos xdx. (cos x)=-sin x d(cos x)=-sin xdx (ay=a hna d(a)=a hn adx. (e =e d(e=adx 问题思考:设y=c,则 y'=(c)=0证明如下:因为y=f(x)=C,f(x+Ax)=C,f(x)=c f(x+Ar)-f(x)c-c lim /(x+ Ar)-f(x) =lim -=0 于是 、例题讲解 例1y=f(x)=x,求f(,f3,f(-2) 思路:先求f(x),再求f(x0) 解:因为f(x)=x2,f(x+△x)=(x+△x)2 im(x+△x)-f(x) lim (r+ Ax)2-x2 2x△x+(△x)2 2 所以f(x)=(x)=2x,f"(①)=2,f"()=6,f"(-2)=-4 例28(x)=hx,求8(008(0.5) 9
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——59—— 由导数公式可以得到微分公式 (x ) x d(x ) x dx −1 −1 = = ； x x x x x d 1 d(ln ) 1 (ln ) = = (sin x) = cos x d(sin x) = cos xdx ； (cos x) = −sin x d(cos x) = −sin xdx a a a a a a x x x x x ( ) = ln d( ) = ln d ； a x x x x x (e ) = e d(e ) = d 问题思考：设 y = c, 则 y = ? y = (c) = 0 证明如下：因为 y = f (x) = c, f (x + x) = c, f (x) = c ， 0 ( ) ( ) = − = + − x c c x f x x f x ；于是 lim 0 ( ) ( ) lim 0 0 = − = + − → → x c c x f x x f x x x 三、例题讲解 例 1 2 y = f (x) = x ，求 f (1), f (3), f (−2). 思路：先求 f (x) ，再求 ( ) 0 f x . 解：因为 2 2 f (x) = x , f (x + x) = (x + x) x x x x x x x x x x f x x f x x x x 2 2 ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim 2 0 2 2 0 0 = + = + − = + − → → → 所以 f (x) (x ) 2x 2 = = ， f （1）= 2，f （3）= 6，f （− 2）= −4 例 2 g(x) = ln x ，求 g (10), g (0.5)
经济数学基础 第2章导数与微分 解:因为g(x)=hxg(x+Ax)=hx+Ax) Ax ln(x+△x)-ln +△x X+△x Iim(In In[ lim(x+Axx I 所以 g(0=108 导数公式 求导步骤:1、求f(x);;2、求 注意:x)是(x)的导函数,函数在x处的导数值(x)=f(m 四、课堂练习 lim f() 练习1设f(0)=0,且f(0)=0存在,求0x lim f(x) 利用已知条件对x0x进行适当的变形,再用导数定义求极限 60
经济数学基础 第 2 章 导数与微分 ——60—— 解: 因为 g(x) = ln x, g(x + x) = ln( x + x) x x x x x x x x x x x x x x x x x g x x g x → → → → + = + = + − = + − 1 0 0 0 0 lim (ln ) ln 1 lim ln( ) ln lim ( ) ( ) lim x x x x x x x x x 1 ln e ln[ lim ] 1 1 1 0 = = + = → （ ） ，所以 , (0.5) 2 10 1 g (10) = g = 导数公式： x x 1 (ln ) = 求导步骤：1、求 f (x) ；；2、求 0 ( ) x x f x = . 注意： f (x) 是 f (x) 的导函数，函数在 0 x 处的导数值 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = = 四、课堂练习 练习 1 设 f (0) = 0 ，且 f (0) = 0 存在，求 x f x x ( ) lim →0 . 利用已知条件对 x f x x ( ) lim →0 进行适当的变形，再用导数定义求极限