经济数学基础 第三章导数的应用 第二单元函数极值 第一节函数极值及存在杀芹 、学习目标 通过本节课学习,理解极值概念和极值存在的必要条件,掌握极值的判别方法 和极值的求法 内容讲解 (1)极值概念 定义3.2——极值概念 设函数∫(x)在点x的某邻域内有定义.如果对该邻域内的任意一点x(x≠x0), 恒有(x)5(2)xo),则称(o).为函数(x)的极大(小)值,称x为函数(x)的极大(小) 值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,极大值点与极小值点统称为极值点 大家看下面这个图形 X Aa K 在一个坐标平面中画出一条曲线,即给出一个函数,并找出一些特殊点x,x2 ,x4,xs和两个端点 95
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——95—— 第二单元 函数极值 第一节 函数极值及存在条件 一、学习目标 通过本节课学习，理解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值的判别方法 和极值的求法． 二、内容讲解 （1）极值概念 定义 3.2——极值概念 设函数 f (x)在点 x0 的某邻域内有定义．如果对该邻域内的任意一点 x (x x0)， 恒有 f(x) () f(x0)，则称 f (x0)为函数 f (x) 的极大(小)值，称 x0 为函数 f (x) 的极大(小) 值点． 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点． 大家看下面这个图形： 在一个坐标平面中画出一条曲线，即给出一个函数，并找出一些特殊点 x1，x2， x3，x4，x5 和两个端点．
经济数学基础 第三章导数的应用 哪些点是极大值点呢?可以看到x1是极大值点,x4也是极大值点 端点b是不是极大值点呢?极大值点是指它的函数值要比周围的值都大 而端点b的右边是没有函数值,所以它不是极大值点 再找一找哪些是极小值点?x2是一个极小值点,x5也是一个极小值点 x3是极大值点还是极小值点呢?不是,它不是极值点,因为找不到一个小范围 使它的函数值成为最大或最小 (2)极值求法 下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法 分析函数在极值点处具有什么特征 x1是极大值点,曲线在这一点处是较光滑的,切线是存在的,而且切线是一 条水平线;x5是极小值点,曲线在这一点处也是较光滑的,切线也是存在的,也 是一条水平线.由此可得到,若曲线在一点处是较光滑的,而这一点是极值点, 那么它的切线一定是水平的,即它的导数为 定理3.2——极值点必要条件 如果点x是函数/(x)的极值点,且f(x)存在,则∫(o)=0使f(x0)=0的点, 称为函数(x)的驻点 定理3.2表示,如果一个点是极值点,而且在可导的条件下,这个点一定是驻 这样,极值点可以在驻点或不可导点处找到 说明:1.若/(o)不存在,则x0不是(x)的驻点 2.定理3.2是极值存在的必要条件 96
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——96—— 哪些点是极大值点呢？ 可以看到 x1 是极大值点，x4 也是极大值点． 端点 b 是不是极大值点呢？ 极大值点是指它的函数值要比周围的值都大， 而端点 b 的右边是没有函数值，所以它不是极大值点． 再找一找哪些是极小值点？ x2 是一个极小值点，x5 也是一个极小值点． x3 是极大值点还是极小值点呢？不是，它不是极值点，因为找不到一个小范围， 使它的函数值成为最大或最小． （2）极值求法 下面利用这个图形来解决怎样求极值点的方法． 分析函数在极值点处具有什么特征． x1 是极大值点，曲线在这一点处是较光滑的，切线是存在的，而且切线是一 条水平线；x5 是极小值点，曲线在这一点处也是较光滑的，切线也是存在的，也 是一条水平线．由此可得到，若曲线在一点处是较光滑的，而这一点是极值点， 那么它的切线一定是水平的，即它的导数为 0． 定理 3.2——极值点必要条件 如果点 x 0 是函数 f (x)的极值点，且 f (x0)存在，则 f (x0)=0 使 f (x0)=0 的点， 称为函数 f(x)的驻点． 定理 3.2 表示，如果一个点是极值点，而且在可导的条件下，这个点一定是驻 点． 这样，极值点可以在驻点或不可导点处找到． 说明：.若 f (x0)不存在，则 x0不是 f(x)的驻点． .定理 3.2 是极值存在的必要条件．
经济数学基础 第三章导数的应用 根据刚才的分析,函数的极值点或者是不可导点,或者是驻点.但是,驻点并 不一定是极值点.例如:函数y=x3在x0=0 处,(x0)=0,由图可知,x0=0不是极值点 因此,请大家想一想 极值存在的充分条件是什么? 回答这个问题之前,我们先借助于几何直观来分析 从这个图形中很容易的看出,函数fx)在点x0 处达到极大,x0是极大值点.当然,函数在这一点 f(x0)=0处切线是存在的,函数在这一点是可导的,而且满 足极值的必要条件(xo)=0 f(x)>0 f(x)0 特征:点x的左边曲线是上升的,即导数值大 于0;右边曲线是下降的,即斜率小于0 由此可知,在可导的条件下,极值点的左右两边的导数符号是不一样的 从图形上显然看出x0也是极大值点,但在这一点处导数不存在,这个极大值点 是不可导点 特征:在点x0的左右两边的曲线都是可导的情况下,若点x0是极大值点,则它 左边的导数大于0,右边的导数小于0
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——97—— 根据刚才的分析，函数的极值点或者是不可导点，或者是驻点．但是，驻点并 不一定是极值点．例如：函数 y=x 3 在 x0=0 处， f (x0)=0，由图可知，x0=0 不是极值点． 因此，请大家想一想： 极值存在的充分条件是什么？ 回答这个问题之前，我们先借助于几何直观来分析． 从这个图形中很容易的看出，函数 f(x)在点 x0 处达到极大，x0 是极大值点．当然，函数在这一点 处切线是存在的，函数在这一点是可导的，而且满 足极值的必要条件 f (x0)=0． 特征：点 x0 的左边曲线是上升的，即导数值大 于 0；右边曲线是下降的，即斜率小于 0． 由此可知，在可导的条件下，极值点的左右两边的导数符号是不一样的． 从图形上显然看出 x0 也是极大值点，但在这一点处导数不存在，这个极大值点 是不可导点． 特征：在点 x0 的左右两边的曲线都是可导的情况下，若点 x0 是极大值点，则它 左边的导数大于 0，右边的导数小于 0．
经济数学基础 第三章导数的应用 由这两个图可知,若xo是函数fx)的驻点或不可导点,且在点x的左、右两边 的导数由正变负,则x是极值点,而且是极大值点.这一结论具有一般性,它是充 分条件的一部分 再看极小值点.从图中很容易发现xo是极 小值点.由于x是fx)的可导点,所以满足极值的 f(x)下0 ∫(x)>0必要条件/(xo)=0 Jf(x0)=0 若xo是极小值点,则它的右边曲线的斜率大于0 即导数值大于0:而在左边,它的斜率小于0,即导 数值小于0.所以,一个驻点是极小值点时,它的 左、右两边的导数符号也是不一样的 x0是这个函数极小值点,但是不可导点.它所具有的特征是:在可导的条件下 右边的导数大于0,x0左边的导数小于0 归纳:只要xo满足极小值点的必要条件,那么在x0左右两边函数可导的条件下 左右两边的导数符号是不一样的,而且从左到右,导数的符号从负的变为正的. f(x)>0 f(x)<0 f(x)> f(x0)=0 f(x)0 在这种情况下,x不是极值点.在x左右两边函数可导的条件下,两边的切线 方向是一致的.也就是说,尽管xo满足了极值点的必要条件f(x)=0,但在x0的 左右两边,导数不变号,因此可以肯定x不是极值点.x也不是函数的极值点,且 在x左右两边,导数的符号是一样的 98-
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——98—— 由这两个图可知，若 x0 是函数 f(x)的驻点或不可导点，且在点 x0 的左、右两边 的导数由正变负，则 x0 是极值点，而且是极大值点．这一结论具有一般性，它是充 分条件的一部分． 再看极小值点．从图中很容易发现 x0 是极 小值点．由于 x0 是 f(x)的可导点，所以满足极值的 必要条件 f (x0)=0． 若 x0 是极小值点，则它的右边曲线的斜率大于 0， 即导数值大于 0；而在左边，它的斜率小于 0，即导 数值小于 0．所以，一个驻点是极小值点时，它的 左、右两边的导数符号也是不一样的． x0 是这个函数极小值点，但是不可导点．它所具有的特征是：在可导的条件下， x0 右边的导数大于 0，x0 左边的导数小于 0． 归纳：只要 x0 满足极小值点的必要条件，那么在 x0 左右两边函数可导的条件下， 左右两边的导数符号是不一样的，而且从左到右，导数的符号从负的变为正的． 在这种情况下，x0 不是极值点．在 x0 左右两边函数可导的条件下，两边的切线 方向是一致的．也就是说，尽管 x0 满足了极值点的必要条件 f (x0) = 0，但在 x0 的 左右两边，导数不变号，因此可以肯定 x0 不是极值点．x0 也不是函数的极值点，且 在 x0 左右两边，导数的符号是一样的．
经济数学基础 第三章导数的应用 由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件 f(x)<0 f(x)>0 定理3.3——极值点的充分条件 设函数x)在点x的邻域内连续并且可导(x0)可以不存在).如果在点x的 左邻域内f(x(<)0,在点x的右邻域内f(x)(>),那么x是(x)的极大(小) 值点,且(xo)是fx)的极大(小)值 如果在点x0的邻域内,()不变号,那么x不是(x)的极值点 问题思考:若x是/x)的极值点,则一定有(xo)=0吗?举例说明.不一定.例 如,f(x)=x,x∈(一+(O),那么,x0是f()的极值点。但在x0处,f()不存在 、例题讲解 例1设函数y=e-x+1,求驻点 [分析]驻点就是使导数等于0的点 ,由y=e-1=0,得 注意:这里求出的x=0不能说是函数的一个极值点,只能说是函数的一个驻 点.可导函数丿(x0)=0是点x为极值点的必要条件,但不是充分条件 例2设=x-ln(1+x,求极值点 99
经济数学基础 第三章 导数的应用 ——99—— 由上面的分析可以归纳出判别极值点的充分条件． 定理 3.3——极值点的充分条件 设函数 f(x)在点 x0 的邻域内连续并且可导(f(x0)可以不存在)．如果在点 x0 的 左邻域内 f (x)>(<)0，在点 x0 的右邻域内 f (x)<(>)0，那么 x0 是 f(x)的极大(小) 值点，且 f(x0)是 f(x)的极大(小)值． 如果在点 x0 的邻域内， f (x)不变号，那么 x0 不是 f(x)的极值点． 问题思考：若 x0是 f(x)的极值点，则一定有 f (x0)=0 吗？举例说明．不一定．例 如， f (x) = x , x (−,+) ，那么，x=0 是 f (x)的极值点．但在 x=0 处， f (x)不存在． 三、例题讲解 例 1 设函数 y=ex-x+1，求驻点． [分析]驻点就是使导数等于 0 的点． 解： y =e x -1，由 y =e x–1=0，得 x=0 注意：这里求出的 x=0 不能说是函数的一个极值点，只能说是函数的一个驻 点．可导函数 f (x0)=0 是点 x0 为极值点的必要条件，但不是充分条件． 例 2 设 y=x–ln(1+x)，求极值点．