经济数学基础 第2章导数与微 分 第一单元极限的概念及其运算 尊一节极限的概念 、学习目标 极限是微积分学中的重要概念,微积分中的许多重要概念都是由极限定义的 学习了这一节课,要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念.并且能够利 用函数图形和极限定义去求简单函数的极限 、内容讲解 1.极限的概念1 研究函数是利用极限的方法来进行;极限是一个变量在变化过程中的变化趋 势 例1圆的周长的求法.早在公元263年,古代数学家刘徽用圆内接正四边形、 正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长,显然随着边数的增 加,正多边形的边长将无限趋近圆的周长 例2讨论当x→+∞时,X的变化趋势 例3讨论一个定长的棒,每天截去一半,随着天数的增加,棒长的变化趋势. 尺之棰,日截其半,万世不竭”一一庄子·天下 定义2.1——函数的极限 设函数f(x)在点x的邻域(点x可以除外)内有定义,如果当x无限趋于x (但x≠x)时,f(x)无限趋近于某个常数A,则称x趋于时,f(x)以A为极 40—
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——40—— 第一单元 极限的概念及其运算 第一节 极限的概念 一、学习目标 极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的. 学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利 用函数图形和极限定义去求简单函数的极限. 二、内容讲解 1.极限的概念 1 研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋 势。 例 1 圆的周长的求法.早在公元 263 年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、 正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增 加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长. 例 2 讨论当 x → + 时， x 1 的变化趋势. 例 3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势. “一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下 定义 2.1——函数的极限 设函数 f (x) 在点 0 x 的邻域（点 0 x 可以除外）内有定义，如果当 x 无限趋于 0 x （但 0 x x ）时， f (x) 无限趋近于某个常数 A ，则称 x 趋于 0 x 时， f (x) 以 A 为极
经济数学基础 第2章导数与微 分 lim f(x)=A 限,记为xx 或f(x)→4(x→);若自变量x趋于x时,函数f(x)没有 个固定的变化趋势,则称函数f(x)在处没有极限 2.极限的概念2 在理解极限定义时要注意两个细节: 1.x→x时(12,÷x→xx<x)→x(包括这两种情况) 问题思考: 极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势,同一个函数在自变量不同的 变化过程中,变化趋势可能不同,因此,在讨论函数的极限时,必须要知道自变量的变化过程 lim im=aim-=-(x0≠0)lm=0 所以不好回答x是多少,但是x0x x→x0X 考虑函数y=√x,依照极限的定义,不能考虑x→0的极限因为y=√x在 xx<o f(x) x<0处无定义.又如函数 x>0,如果讨论x→0是的极限,则函数分别 在x<0和x>0时不是同一个表达式,必须分别考虑 由此引出左右极限的概念 定义2.2—左右极限 设函数f(x)在点x的邻域(xo点可以除外)内有定义,如果当x<x且x无 限于x(即x从x的左侧趋于x0,记为x→x)时,函数f(x)无限地趋近于常数
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——41—— 限，记为 f x A x x = → lim ( ) 0 或 f (x) → A ( ) 0 x → x ；若自变量 x 趋于 0 x 时，函数 f (x) 没有 一个固定的变化趋势，则称函数 f (x) 在 0 x 处没有极限. 2.极限的概念 2 在理解极限定义时要注意两个细节： 1. 0 x → x 时（ 0 x x ），2. → → → 0 0 0 0 0 ( ) ( ) x x x x x x x x （包括这两种情况） 问题思考： ? 1 lim = x 极限是描述函数的自变量在某个变化过程中函数的变化趋势，同一个函数在自变量不同的 变化过程中，变化趋势可能不同，因此，在讨论函数的极限时，必须要知道自变量的变化过程， 所以不好回答 x 1 lim 是多少，但是 = x→ x 1 lim 0 ， ( 0) 1 1 lim 0 0 0 = → x x x x x ， 0 1 lim = x→ x . 考虑函数 y = x ，依照极限的定义，不能考虑 x →0 的极限.因为 y = x 在 x 0 处无定义.又如函数 = 1 0 0 ( ) x x x f x ，如果讨论 x →0 是的极限，则函数分别 在 x 0 和 x 0 时不是同一个表达式，必须分别考虑. 由此引出左右极限的概念： 定义 2.2——左右极限 设函数 f (x) 在点 x 0 的邻域（ x 0 点可以除外）内有定义，如果当 x x0 且 x 无 限于 x 0 （即 x 从 x 0 的左侧趋于 x 0 ，记为 x → x − 0 ）时，函数 f (x) 无限地趋近于常数
经济数学基础 第2章导数与微 分 lim f(x)=L L,则称当x趋于x0时,f(x)以L为左极限,记作x 或f(x0)=L 如果当x>x0且x无限趋于x0(即x从x0的右侧趋于x0,记为x→对)时,函数f(x) 无限地趋近于常数R,则称当x趋于x时,f(x)以R为右极限,记作 limf(x)=R或f(x0) =R。 3.极限存在的充分必要条件: 极限x存在的充分必要条件是:函数f(x)在x处的左,右极限都存在 lim f(x)=Ao lim f(x)=lim f(x)=A 且相等.即x→x x≤0 f(x)= 问题思考:设函数 ox>0求mf(x) lim f(x) 0 lim f(x)=lim x=0 因为x→0° Im f(x)=0 由极限存在的充分必要条件知 由函数的图形也可得到此结论 4.无穷小量 定义2.3—无穷小量和无穷大量 lm f(x)=0 称当x→x时,f(x)为无穷小量,简称无穷小 无穷小量是一个特殊的变量,它与有极限变量的关系是:变量y以为A极限的 充分必要条件是:y可以表示成A与一个无穷小量的和,即 imy=A→y=A+a(ima=0 无穷小量的有以下性质:
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——42—— L，则称当 x 趋于 x 0 时， f (x) 以 L 为左极限，记作 lim ( ) x x f x L → − = 0 或 f x − ( ) 0 = L； 如果当 x x0 且 x 无限趋于 x （即 0 x 从 x 0 的右侧趋于 x 0 ，记为 x → x + 0 ）时，函数 f (x) 无限地趋近于常数 R，则称当 x 趋于 x 0 时， f (x) 以 R 为右极限，记作 lim ( ) ( ) x x f x R f x → + = + 0 或 0 =R。 3.极限存在的充分必要条件： 极限 lim ( ) 0 f x x→x 存在的充分必要条件是：函数 f (x) 在 0 x 处的左，右极限都存在 且相等.即 lim ( ) x x f x A → = 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → − → + = = 0 0 问题思考：设函数 = 0 0 0 ( ) x x x f x , 求 lim ( ) 0 f x x→ 因为 lim ( ) lim 0 0 0 0 = = → + → + x x f x ， lim ( ) lim 0 0 0 = = → − → − f x x x x 由极限存在的充分必要条件知， lim ( ) 0 0 = → f x x 由函数的图形也可得到此结论. 4.无穷小量 定义 2.3——无穷小量和无穷大量 lim ( ) 0 0 = → f x x x 称当 0 x → x 时， f (x) 为无穷小量，简称无穷小. 无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量 y 以为 A 极限的 充分必要条件是：y 可以表示成 A 与一个无穷小量的和，即 lim y = A y = A +(lim = 0) 无穷小量的有以下性质： y x
经济数学基础 第2章导数与微 分 性质1有限个无穷小量的和是无穷小量 性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量 性质3有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量 无穷大量 在某个变化过程中,绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为 无穷大量. lim 2=+o 例如因为x ,所以,当x→>+∞时,22是无穷大量.无穷小量与无 穷大量有如下“倒数关系 定理:当x→x(或x→∞)时,若f(x)是无穷小(而f(x)≠0),则f(x) 是无穷大,;反之,若f(x)是无穷大,则∫(x)是无穷小 三、例题讲解 例1讨论y=x2+mx2 解:求极限时,可以利用极限的概念和直观的了解,我们可以借助几何图形来 例2讨论函数x-1,当x→>1时的如m如 求函数的极限由几何图形可以看出,当x→2时,y=x→>4,即x2 x→1x-1 解:此函数在x=1处没有定义,可以借助图形求极限.由图形得到xx-1
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——43—— 性质 1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质 2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质 3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量 在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为 无穷大量. 例如 因为 = + →+ x x lim 2 ，所以，当 x → + 时， x 2 是无穷大量.无穷小量与无 穷大量有如下“倒数关系”： 定理：当 0 x → x （或 x → ）时，若 f (x) 是无穷小（而 f (x) 0 ），则 ( ) 1 f x 是无穷大，；反之，若 f (x) 是无穷大，则 ( ) 1 f x 是无穷小. 三、例题讲解 例 1 讨论 2 y = x 时, 2 2 lim x x→ =？ 解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来 求函数的极限.由几何图形可以看出，当 x →2 时， 4 y = x 2 → ，即 2 2 lim x x→ =4 例 2 讨论函数 1 1 2 − − = x x y ,当 x →1 时的极限 1 1 lim 2 1 − − → x x x 解：此函数在 x =1 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x o y
经济数学基础 第2章导数与微 分 例3fm)=Jxx≤0 x>o p lm f(x) 解:注意到此函数当x=0的两侧表达式是不同, 在0点处分别求左、右极限 lim f(x)=lim 1=1 lm f(x)=lim x=0 可见左右极限都存在但不相等;由几何图 形易见,由极限的定义知,函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某 个常数,因此此函数在0点处极限不存在 例4y=x,当x→0时 → 解:由图形可知,当x→0时,x2→0当x→>0时,x是无穷小量 四、课堂练习 练习1讨论函数y=x2+1当x→1时的变化趋势 解:函数y=x2+1的图形是 kx≤0 f(x) 练习2设函数 x>0 Im f(x) 问k为何值时 存 lm f(x)=lim 1=1 lm f(x)=lim k=k 解:因为x0 所以k=1 练习3当x→0时,下列变量中()是无穷小量 A) y=nx: b)y=cosx: c)y =e: d)y=x
经济数学基础 第 2 章 导数与微 分 ——44—— 例 3 = 1 0 0 ( ) x x x f x , 求 lim ( ) 0 f x x→ 解：注意到此函数当 x=0 的两侧表达式是不同， 在 0 点处分别求左、右极限. lim ( ) lim 1 1 0 0 = = → + → + x x f x lim ( ) lim 0 0 0 = = → − → − f x x x x 可见左右极限都存在但不相等；由几何图 形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某 个常数，因此此函数在 0 点处极限不存在. 例 4 2 y = x ，当 x →0 时， ? x 2 → 解： 由图形可知，当 x →0 时， 0 x 2 → 当 x →0 时， 2 x 是无穷小量. 四、课堂练习 练习 1 讨论函数 y = 1 2 x + 当 x →1 时的变化趋势. 解：函数 y = 1 2 x + 的图形是 练习 2 设函数 = 1 0 0 ( ) x k x f x ， 问 k 为何值时， lim ( ) 0 f x x→ 存在？ 解：因为 lim ( ) lim 1 1 0 0 = = → + → + x x f x ， f x k k x x = = → − → − 0 0 lim ( ) lim ，所以 k =1. 练习 3 当 x →0 时，下列变量中 （ ）是无穷小量. A） y = ln x ；B） y = cos x ；C） x y = e ；D） 2 y = x y o x