Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function LMa@ Phys. FDU f(e dt p(tee dt i.e.f(o) D(t dt'(s>s) iv反演(反变换) p(1)H(1)e= f(o) de 故 p(OH(=5f(o)elstiodo f(o)=2r-(e"dt=2m p(p) (p=s+iO, do=dp/i, do=dp) ⅵ.结论:(()H(1) p(p)ePdp(s>so) 2.梅林反演公式和展开定理 梅林反演公式:若函数(p),p=s+iσ满足:(1)p(p)在区域 Rep>S0中解析,(2)在区域Rep>S中,当p→∞时,页(p) 致地趋于0,(3)对于所有的Rep=s>S0,沿直线L:Rep=s的 无穷积分(P)a(>0)收敛,则对于ReP=>S,列(P)是 p() p(p)ePdp 平面 的 Laplace变换,其中t为实变量。 证明:分三步证明上面给出的a(t)就是可(p)的 原函数。 ∥证明o()=n1广“(p)e中的积 分与s无关,而作为自变量t的函数o(t) 图6.1 11
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 11 0 1 1 ( ) ( ) d ( ) d . 2 2 i t st i t f f t e t t e e t − + + − − − − = = i.e. ' ' 0 1 ( ) ( ') d ' 2 st i t f t e e t − + − − = ( 0 s s ). ⅳ.反演（反变换） ' ( ') 0 1 1 ( ) ( ) d ( ') [ d ]d ' ( ) ( ) . 2 2 i t st i t t st f t f e t e e t t H t e + + + − − − − − − = = = 1 ( ) ( ) ( ) d . 2 st i t t H t e f e + − − − = ⅴ.故 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d , 2 1 1 ( ) ( ) d ( ) 2 2 1 ( ,d d / , d d ). s i t pt s i s i t H t f e f t e t p p s i p i p i + − + − − + − − + + − − = = = + = = ⅵ. 结论： 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s i pt s i t H t p e dp s s i + − − = 2. 梅林反演公式和展开定理： i. 梅林反演公式：若函数 ( p) ， p = s + i 满足：(1) ( p) 在区域 Re 0 p s 中解析，(2)在区域 Re 0 p s 中，当 p → 时， ( p) 一 致地趋于 0，(3)对于所有的 Re 0 p = s s ，沿直线 L：Re p = s 的 无穷积分 ( ) 0 ( p)d s s s i s i + − 收敛，则对于 Re 0 p = s s ， ( p) 是 + − = s i s i pt p e p i t ( ) d 2 1 ( ) 的 Laplace 变换，其中 t 为实变量。 证明：分三步证明上面给出的 (t) 就是 ( p) 的 原函数。 1/ 证明 + − = s i s i pt p e p i t ( ) d 2 1 ( ) 中的积 分与 s 无关，而作为自变量 t 的函数 (t) 图 6.1
Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function LMa@ Phys. FDU 具有有限的增长指数 在区域Rep>S0中,作闭曲线如图6.1所示,由于p(p)在此区域 是解析的,因此,由Ca定理,fo(p)e"=0, 固定s1,s2,而让σ→∞,则由已知条件(2) lim a p(ple dp=0, lim[ p(p)e dp=0 因此,厂o(pl"4=o(p)e"d 由于ss是任意的,说明,mo(p2"与s无关,它只是变量 t的函数。再根据已知条件(3),有 2z列(p2ys 2lo(p)l-"l- ldp=2-5 (pdo sag" 故φ()具有有限的增长指数,收敛横标就是s。从上面的不等式, 同时也可证积分是一致收敛的。 2/证明当t<0,(t)=0. 这时可选取图62中的闭合路径C,其 中C是以原点为圆心,R为半径的圆 P平面 弧。由 Cauchy定理得, 求列(pl"4=0 当t<0时,可以证明,在R→∞时,沿 C2的积分趋于0(作变量代换p=, 这相当于将p平面上的圆弧CR变为z平 图62 面上的下半平面内的圆弧CA,则由 Jordan引理,可证)。那么, p(p)e dp 中=0(t<0),即 s-joD q(1) o(p)e"dp=0(t<0) s-jor 3/证明这个积分定义()的 Laplace变换
Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 12 具有有限的增长指数。 在区域 Re 0 p s 中，作闭曲线如图 6.1 所示，由于 ( p) 在此区域 是解析的，因此，由 Cauchy 定理， ( ) d 0 C = p e p pt ， 固定 1 2 s ,s ，而让 → ，则由已知条件(2)， lim ( ) d 0 2 1 = − → − s i s i pt p e p ， 1 2 lim ( ) d 0. s i pt s i p e p + → + = 因此， + − + − = s i s i pt s i s i pt p e p p e p 2 2 1 1 ( ) d ( ) d ， 由于 1 2 s ,s 是任意的，说明 + − s i s i pt p e p i ( ) d 2 1 与 s 无关，它只是变量 t 的函数。再根据已知条件(3)，有 st s i s i st s i s i pt s i s i pt e M p e p e p p e p i 2 ( )d 2 ( ) d 2 1 ( ) d 2 1 + − + − + − = 故 (t) 具有有限的增长指数，收敛横标就是 0 s 。从上面的不等式， 同时也可证积分是一致收敛的。 2/ 证明当 t 0，( ) 0. t 这时可选取图 6.2 中的闭合路径 C ，其 中 CR 是以原点为圆心， R 为半径的圆 弧。由 Cauchy 定理得， C ( ) d 0. pt p e p = 当 t 0 时，可以证明，在 R → 时，沿 CR 的积分趋于 0 （作变量代换 p = iz ， 这相当于将 p 平面上的圆弧 CR 变为 z 平 面上的下半平面内的圆弧 CR ，则由 Jordan 引理，可证）。那么， ( ) d = − ( ) d = 0 ( 0) − + + − p e p p e p t s i s i pt s i s i pt ，即 1 ( ) ( ) d 0 ( 0). 2 s i pt s i t p e p t i + − = 3/ 证明这个积分定义 (t) 的 Laplace 变换 图 6.2