复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第六章 Laplace变换

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function LMa@ Phys. FDU 解]由e",而sm=1(2"-e-),所以 sm【 +,Rep>0) 例4求snon的象函数。 解一]由snt分 当>0时 (Rep>0) P [解二] p(p)=o sin @tepd=,STe-tprieol -e-tprioa ]dr 2iLp-iop+io」pi p> 例5求cost, cOs ot的象函数。 [解]由于 所以 cost=(snt)分p sin( o (Rep>0) +1 +1 同样,由 sin ot← p2+,(ReP>lmc),所以 cos at=-(sin at)>-p > @L p +o P+o2 例6求r(n=0,1,2,…)的象函数 解]由H()(Rep>0)和积分定理得 6

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 6 [解] 由 p a e at −  1 ，而 ( ) it it e e i t − = − 2 1 sin ，所以 1 1 1 1 2 1 sin 2 + =        + − −  i p i p i p t , (Re p  0). 例 4 求 sint 的象函数。 [解一] 由 1 1 sin 2 +  p t ， 当   0 时， 2 2 2 1 1 1 sin      + =  +       p p t , (Re p  0). [解二] ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 2 2 1 ( ) sin d d 2 1 d d 2 1 1 1 , Re Im 2 pt p i t p i t p i t p i t p te t e e t i e t e t i p i p i p i p              − − − − +   − − − − = = −       = −       = − =      − + +     2 2 sin    +  p t , (Re p  Im ). 例 5 求 cost ，cost 的象函数。 [解] 由于 1 1 sin 2 +  p t ，所以， ( ) 1 sin( 0) 1 1 cos sin 2 2 + − = + =   p p p t t p ，(Re p  0). 同样，由 2 2 sin    +  p t , (Re p  Im ) ，所以， ( ) 2 2 2 2 1 1 cos sin ' sin( 0) , p t t p p p           =  −  =     + + (Re p  Im ). 例 6 求 t (n = 0,1,2, ) n 的象函数。 [解] 由 p H t 1 ( )  (Re p  0) 和积分定理得

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU =o2 P 或者t4te-pd tde-pt=0+-e-p'dr t-dt4 或t2 p =,所以 或r3(Rep>0) pp 3 般地有 或 P e">he"e"dr 例7 (n=0,1,2,…) 例7求(Rea>-1)的象函数。 解页)=red=mm r(a+1) TedT ,(Rep>0) 所以 r(a+1) 例8求H(t-)的象函数 [解]由H()-(Rep>0),所以,根据延迟定理,有 H(t-r)=H(D)·H(t-r) p> 例9求sno(-r)H(-r),sno(t-r)H()的象函数。 [解]由snon p +o

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 7 2 0 1 1 ( )d p p p t H t t t =  =  , (Re p  0), 或者 2 0 0 0 1 1 1 d d 0 d , pt pt pt t t t te t t e e t p p p    − − − = =  = − = + =    (Re p  0). 2 2 3 0 1 1 d 2! t t p t t p p =   =  , 或 3 2 2! p t  , (Re p  0). 3 3 2 4 0 2! 2! d 3 t t p t t p p =   =  , 所以， 4 3 1 3! p t  ，或 4 3 3! p t  (Re p  0). 一般地有 1 1 !  n+ n n p t , 或 1 !  n+ n p n t (Re p  0). 例 7 0 1 1 d , ! ,( 0,1,2, ). ( ) t t pt n t n e e e t p n t e n p       − +  = −   = −  例 7' 求 (Re  −1)  t 的象函数。 [解] 1 1 0 0 1 ( 1) ( ) d d pt pt p t e t e p p             = − − + +  + = = =   , (Re p  0). 所以 1 ( 1) +  +     p t , (Re p  0). 例 8 求 H (t − ) 的象函数。 [解]由 p H t 1 ( )  (Re p  0) ，所以，根据延迟定理，有 1 ( ) ( ) ( ) p p e H t H t H t e p p     − − − =  −   = ，(Re p  0). 例 9 求 sin (t − )H(t − )，sin (t − )H(t) 的象函数。 [解]由 2 2 sin    +  p t

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU 应用延迟定理,有sno(-r)H(-r) p+aeP.(t≥r) sino(t-t)H((=(sin ot cos @T-cos ot sinor)H(O) =sin tH(Ocos @T-cos otH(Osin@r → (ocosor-psin or)(t20) 注意:*…t∈[O,∞]或约定()=0(<0)∴上述所有q(1)应理解为o()H(), 即q(1)H(1)+>(p) **在容易引起混淆的情况下,要特别标明阶梯函数! ***∴1一,【)一∴t-1< (t>0) t-TE I>T (2)周期函数的象函数 设o()是周期为T的函数,即g(+7)=q(1).由定义有 列(p)=[g(edn p(nedi 作代换r=t-nT,上式成为 (p)=∑c(z De d (3)作幂级数展开 例10求a()=sn√h的象函数。 解]=simv=∑ 而 2m+1 +1) 2 SVT(2m+ .于是

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 8 应用延迟定理，有 ( ) ( )       p e p t H t − + − −  2 2 sin .（ t  ） ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sin ( ) sin cos cos sin ( ) sin ( )cos cos ( )sin cos sin 1 cos sin ( 0). t H t t t H t tH t tH t p p p p t p                    − = − = −  − + + = −  + 注意：* t   [0, ] 或约定 ( ) 0( 0) t t =   上述所有 ()t 应理解为 ( ) ( ), t H t 即   ( ) ( ) ( ). t H t p −  **在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数！ *** 1 1 p  ， 2 1 t p  2 1 1 t t 1 ( 0). p p  −  −  又 2 1 ( ). p t t p    − −   （2）周期函数的象函数 设 (t) 是周期为 T 的函数，即   ( ) ( ). t T t + = 由定义有    = + −  − = = 0 ( 1) 0 ( ) ( ) d ( ) d n n T nT pt pt  p  t e t  t e t ， 作代换  = t − nT ，上式成为 ( ) 0 0 0 0 0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d . 1 T p T T p nT p npT pT n n e p nT e e e e              −   − + − − − = = = + =  = −      （3）作幂级数展开 例 10 求 (t) = sin t 的象函数。 [解] ( ) ( )   = + + − = = 0 2 2 1 2 1 ! 1 ( ) sin m m m t m  t t ，而 ( ) 2 3 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 !! 1) 2 2 1 ( + + + + + + = + +   m m m m p m p m t  ，于是

Methods of Mathematical Physics(2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@ Phys. FDU m+1)!! (p)=2:(2 2m+1) 2 6(2m+1)2mp m=6m!(4p)2p2 所以,sin√4Ye 其中用到了r(a+1)=a(a),以及()= 二、 Laplace变换的反演问题与 梅林反演公式( Mellin inversion formule) 1反演问题[习惯于正问题,换种思维问反问题(有时候特别管用);正问题有 必然结果,反问题不一定,存在性?唯一性?] i.位移定理:如果列(p)(),λ是复常数,则 列(p+2)4(t) 证明:ok「k-1kd=o+m)d=列(p+) ⅱ象函数求导定理:如果(p)纱(),则可(p)>(-)o() 般地,对自然数n,有一般地,对自然数n,有 列(p)+>(-1)g(0). 证明: 可(p) dp o( Je"d=Lo()e"]dr (-1)()ed(-1)() ⅲ象函数积分定理:如果页(P)分,而且∫o()d=(Rep>s)收敛, 则「@()d [说明]这里的积分是复变积分,其上限应理解为Rep→∞,并且因 其积分路径在φ(p)的解析区域,所以与积分路径无关(沿正 实轴积分)

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 0 0 1 2 2 1 4 3 3 0 2 2 1 2 1 !! 1 2 1 !! ( ) 2 1 ! 2 1 ! 2 2 2 1 . ! 4 2 2 m m m m m m m m m p m m m m p m m p p p e m p p p        + = = +  − = − + − + = = + + − = =    所以， 1 4 3 2 sin , 2 p t e p  −  其中用到了 ( +1) = () ，以及  ) =  2 1 ( . 二、Laplace 变换的反演问题与 梅林反演公式 (Mellin inversion formule) 1.反演问题 [习惯于正问题，换种思维问反问题(有时候特别管用)；正问题有 必然结果，反问题不一定，存在性？唯一性？]： i. 位移定理：如果  ( p)  (t) ，是复常数，则 ( ) . ( ) t p t e     − +  证明： ( )  ( )  ( ) ( ) d d ( ) 0 0          = = +    − +  − − − t e t e e t t e t p t t pt p t . ii. 象函数求导定理：如果  ( p)  (t) ，则 (p)  (−t)(t). 一般地，对自然数 n，有一般地，对自然数 n，有 ( ) p t (t) n n  ( )  (− )  . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 d d d d ( ) d ( ) . pt pt pt p t e t t e t p p t t e t t t        − −  −   = =      = −  −    iii. 象函数积分定理：如果  ( p)  (t) ，而且   p  (z)dz ( ) Re 0 p  s 收敛， 则 ( ) ( )d . p t z z t      [说明]这里的积分是复变积分，其上限应理解为 Re p →  ，并且因 其积分路径在  ( p) 的解析区域，所以与积分路径无关（沿正 实轴积分）

Methods of Mathematical Physi ) Chapter 6 Laplace transform and delta function LMa@ Phys. FDU 证明 ∫o)ooe=m 补充说明上式中如果令2→0,则有(=0d 可以用来计算「①d形的积分,例如 osint dt dp ⅳ.卷积定理:如果a(p)分1(1,2(p)2(),则 (p)(p)q(厘2(t-r=q(-)() 证明 q(r)2(t-rdz分 p(r)o2(t-rdr e"'dr 这个先积τ、后积t的二次积分, 其积分区域如图所示,改变积分次序, 上式成为 p(rp(t-rdr<1o(r) p2(t-r)e"dt dr 作变量代换u=t-τ,且t=τ时u=0(即位移常量r) (p)(p do=(t-1) 2丌 平面波e的FT为d函数,其定义为 f(oS(r-t)dt=f(t) f(o)= f(e dr f()= f(oe do iii Consider f(=O(OH(Oe, FT

Methods of Mathematical Physics (2016.10) Chapter 6 Laplace transform and delta function YLMa@Phys.FDU 10 证明： ( ) 0 0 0 ( )d ( ) d d ( ) d d ( ) d . zt zt p p p pt z z t e t z t e z t t t e t t t           − −  −     = =         =        [补充说明]上式中如果令 p → 0 ，则有     = 0 0 d ( ) ( )d t t t z z   ， 可以用来计算   0 d ( ) t t f t 形的积分，例如： 2 0 0 sin 1 d d . 1 2 t t p t p    = = +   iv. 卷积定理：如果 ( ) ( ), ( ) ( ) 1 1 2 2  p  t  p  t ，则 1 2 1 2 1 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d . t t             p p t t  − = −   证明：     −     − −  0 0 1 2 0 1 2 ( ) ( )d d ( ) ( )d t e t t pt t t           这个先积、后积 t 的二次积分， 其积分区域如图所示，改变积分次序， 上式成为 1 2 1 2 0 0 ( ) ( )d ( ) ( ) d d . t pt t t e t                − −  −        作变量代换 u = t − ，且 t = 时 u = 0 （即位移常量  ） ( ) ( ) 1 2 1 2 0 0 0 1 2 ( ) ( ) d d ( ) d ( ) d . pt p pu t e t e u e u p p                    − − − − =      =     ⅰ. 1 ( ')d ( ') 2 ( ) ( ')d ( '). i t t e t t f t t t t f t      + − − + −   = −    − =     平面波 i t e  的 FT 为  函数，其定义为 ⅱ. 1 ( ) ( ) d , 2 1 ( ) ( ) d . 2 i t i t f f t e t f t f e        − + − − + − −   =    =     ⅲ. Consider ( ) ( ) ( ) st f t t H t e  − = ，其 FT：