复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第十二章 球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions

Chapter 12 Separation of variables in Chapter12球坐标系下的分离变量法 Legendre多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace算术的表示 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数(例如, Legendre函数、连带 Legendre函数和球谐函数等) 函数空间概念(复习) 3D:基:(}(=12,3):正交:,=0表示:=x十十x, 这是3 D Euclid space,直观、简单、符合常识。 (3+1)D:是加t,还是加i,如何去加?时空观的变革:相对运动,不但有 了相对时空位置,还有了 scaling(标尺)、不变性和时空弯曲等概念 nD:基矢是{q(x)(=12,3…n),带权p(x)的正交归一性如下 「(x)q(x)q(x)dx=→D: ilbert space基矢亦是函数,并且 straight scaling→ curve scaling.j: quantum numbers.抽象、复杂、冲破常识! 对于任意函数f(x)只要其定义域与{(x)的相同,总有f(x)=2c9(x 其中∫dxp(x)9(x)f(x)=∑cJ(x)o(x)n(x)dr= m is a representation 当f(x)已知时,c是上式;当f(x)是on(x)的线性组合时,cn是其系数 1.nD向量空间:有nD向量的集合 1)表述:n个独立的单位矢量司,2…可排成基向量,选{}为正交归一基 矢,即=5,则分°和x=x(在上的坐标值一表示 )内积:x,y=(xy=∑x 3)模方:(x)=∑xx-=∑|= 4)基矢的完备性:nD空间有1D矢量系{a}(=12…m),若不能在此空间

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 1 Chapter 12 球坐标系下的分离变量法 Legendre 多项式和球谐函数 Abstracts 正交曲线坐标系及在此坐标系下 Laplace 算术的表示； 球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如， Legendre 函数、连带 Legendre 函数和球谐函数等）。 函数空间概念(复习) 3D：基矢： ej  j 1,2,3 ；正交： i j ij e e   ；表示： 1 1 2 2 3 3 x x e x e x e    , 这是 3D Euclid space，直观、简单、符合常识。 (3+1)D：是加 t ，还是加 4 ite ， 如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有 了相对时空位置，还有了 scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。 n D：基矢是  j ( ) x   j n   1,2,3, , ，带权   x 的正交归一性如下：       * d i j ij     x x x x    D：Hilbert space. 基矢亦是函数，并且 straight scaling  curve scaling.j：quantum numbers. 抽象、复杂、冲破常识！ 对于任意函数 f x( ), 只要其定义域与  j ( ) x  的相同，总有     1 , n n n f x c x     其中             * * 1 m n m n m n x x x f x c x x x x c          d d    is a representation! 当 f x( ) 已知时， n c 是上式；当 f x( ) 是 ( ) n  x 的线性组合时， n c 是其系数。 1．n D 向量空间: 有 n D 向量的集合. 1) 表述： n 个独立的单位矢量 1 2, , , , n e e e  排成基向量，选 ej 为正交归一基 矢，即 i j ij e e   ，则 1 n j j j x x e    和 j j x x e   （在 j e 上的坐标值—表示）。 2) 内积：   * 1 , . n j j j x y x y x y     3) 模方：   2 2 * 1 1 , . n n j j j j j x x x x x x        4) 基矢的完备性： n D 空间有 1D 矢量系 ej  j n   1,2, ,  ，若不能在此空间

找出一个简单向量f,使与(}正交,则称为完备系,=∑x 2.函数空间( Hilbert space):在域x{ab]上分段连续、平方可积的函数 g(x)[p(x)o(x)o(x)x有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space 1)正交函数系:如①x0小内的{sn"2x}和{cos"x ②x[月内的1sxsm("x}均为完备基 一般带权正交函数系的定义:设q(x)2(x)…;qn(x)…,在x[ab]上有 (om(x),, (x)=p(x)om(x)% (x)dr=N2 sm 则称{q(x)}是在x{ab]上的带权[p(x)>0]正交函数系。把 (q(x,02(x)=p(x)(x)(x)x=n(x)i=N2称为模之平方,若 N2=1(对于所有的n)称为{q(x)}为正交归一函数系 N 2)广义 Fourier展开( expansion):若(x)是x{ab]上的正交完备系,则 x[a6上任意分段连续(平方可积)的函数f(x)均可表示为 f(x)=∑(x),其中。」。f(x)9(x)(x)x ∫q(x)o(x)(xx 一、正交曲线坐标系 1.从直角坐标系到正交曲线坐标系 球坐标系(,,9)关系:{y= rsin esin g x=pcos p, 柱坐标系(9=)关系:{y= sing

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 2 找出一个简单向量 f ，使 f 与 ej 正交，则称为完备系， 1 n j j j x x e    . 2．函数空间（Hilbert space）：在域 x a b  ,  上分段连续、平方可积的函数   x [ * ( ) ( ) ( )d b a    x x x x  有限]的集合所排成的空间称为 Hilbert space. 1) 正交函数系：如① x l 0,  内的 sin n x l              和 cos , n x l              ② x l l  ,  内的 1,cos ,sin n n x x l l                     均为完备基。 一般带权正交函数系的定义：设    1 2  x x x , , , ,     n   ,在 x a b  ,  上有            * 2 , b m n m n n mn a       x x x x x x N    d ， 则 称 n  x 是 在 x a b  ,  上 的 带 权 [   x  0 ] 正交函数系 。 把              2 * 2 , b n n n n n n a       x x x x x x x N     d 称为模之平方，若 2 1 Nn  （对于所有的 n ）称为  j  x 为正交归一函数系 n   n x N        (A set of orthogonal complete normalized function bases). 2) 广义 Fourier 展开(expansion)：若 n  x 是 x a b  ,  上的正交完备系，则 x a b  ,  上任意分段连续（平方可积）的函数 f x  均可表示为     1 , n n n f x c x     其中         * * ( ) . ( ) b n a n b n n a f x x x x c x x x x         d d 一、 正交曲线坐标系 1．从直角坐标系到正交曲线坐标系 球坐标系 (r,,) 关系: sin cos , sin sin , cos . x r y r z r              柱坐标系 (,,z) 关系: cos , sin , . x y z z            

Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa? x=x(q,4243 般曲线坐标系(q,9291)关系:{y=y(91,92q) =2(q1,2,q3) 满足Jo行列式c(x,y.)x/aa/a2axag =o/qnoy/a2ay/cq3|≠0(变换条件) (q1,q2,q3) 如果三族坐标线是处处相互正交的,则称这种坐标系为正交曲线坐标系 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系?可以通过计算弧元长度 (ds)2=(dx)2+(dy)+(d)2 ax 43 45,中q dqn +dq2 +dq ∑g,dgdq, i,j=1,2,3 其中,gn=8n axax ayay az az 如果gn=81,则称此坐标系 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴q的弧元长度为d,=hd,而h=√8 称为坐标曲线q的度规因子;(ds)2=h2(dq1)2+h12(dq2)2+l2(dg)2.如果 824nd,=(hd),即各个坐标曲线的相互投影为零,则它们之间相互正交。 例如,对于球坐标系, (ds)2=(dx)+(dy)2+(d) (sin Ocosodr+rcos 0 cos od0-rsin O sin dp) +(sin esinodr+rcos Osin de+rsin 8 cos odo +(cos edr-rsin ede) (d)2+r2(d0)2+r2sin3(dl) 球坐标系是正交曲线坐标系,h=√1=1,h=√82=,h=√g3=rsn0

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 3 一般曲线坐标系 ( , , ) q1 q2 q3 关系: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), x x q q q y y q q q z z q q q         满足 Jacobi 行列式 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 / / / ( , , ) / / / 0 ( ). ( , , ) / / / x q x q x q x y z y q y q y q q q q z q z q z q                       变换条件 如果三族坐标线是处处相互正交的，则称这种坐标系为正交曲线坐标系。 如何判断一个坐标系是否为正交坐标系？可以通过计算弧元长度:         2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 , 1,2,3 d d d d d d d d d d d d d d d , ij i j i j s x y z x x x q q q q q q y y y q q q q q q z z z q q q q q q g q q                                                    其中， i j i j i j i j j i q z q z q y q y q x q x g g                 . 如果 gij  gii ij ，则称此坐标系 为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴 i q 的弧元长度为 d d i i i s h q  ，而 hi  gii 称为坐标曲线 i q 的度规因子； 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 (d ) (d ) (d ) (d ) . s h q h q h q    如果 2 d d ( d ) , ij i j i i ij g q q h q   即各个坐标曲线的相互投影为零，则它们之间相互正交。 例如，对于球坐标系，                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d sin cos d cos cos d sin sin d sin sin d cos sin d sin cos d cos d sin d d d sin d . s x y z r r r r r r r r r r r                                     球坐标系是正交曲线坐标系， hr  g11 1，h  g  r  22 ，h  g33  rsin 

对于柱坐标系, (cospdp-psin odp)+(sinop+ pcos pdp)+(d= (dp)2+p2(d)2+(d)2 →柱坐标系也是正交曲线坐标系,且 h h δ函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中,(-F)=o(x-x)6(y-y)6(-2) 设P点对应于直角坐标系(x,y,二)的新坐标为(qn2g2,q),即 y=y(41g9),并设f(x,y2)在点(xy,=)附近为连续的任意函数 z'=(q1,q2q3) 按δ函数的定义,有 「(xy=)5(x-x)8(y-y10(-)ddd=/(x,y,=) 左边的积分可以作变量代换,而右边的函数作上述变量代换,有 [x(g29)y14:9=(9929)x-x26(y-y6(=- axy.=)ddd=/[x,9=(9,小 a(q142,q3) 另一方面,由δ函数的定义,又有 「x(924)y(q1914=(4,929)2(91-9)6(9-9509-) x, dq2 dqs=f[(ai, 42, 95), y(qi, 2, 43), =(q1,q2, 43) 比较上面两式,由于∫是任意函数,得到 6(x-x)6(y-y)6(-) a(x,y)=6(4-9)(92-q)6(q-g a(q1,q2,q3) 即在一般正交曲线坐标系中,δ函数的表达式为 δ(x-x)6(y-y)o(二-2) 6(q1-q1)o(q2-q2)6(q3-q3) (q1,q243) 在正交曲线坐标系中,由六个面q1,q1+dq1q2,q2+dq2q3,q3+dqn3所构

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 4 对于柱坐标系，                     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d cos d sin d sin d cos d d d d d . s x y z z z                          柱坐标系也是正交曲线坐标系，且 h  g11 1， 22 h g    ，hz  g33 1. 2． 函数在正交曲线坐标系中的表达式 在直角坐标系中， (r  r )  (x  x )(y  y )(z  z )   . 设 r   点对应于直角坐标系 x  , y  ,z  的新坐标为   1 2 3 q  , q  , q  ，即                     ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 z z q q q y y q q q x x q q q ，并设 f (x, y,z) 在点 x  , y  ,z  附近为连续的任意函数， 按  函数的定义，有 f x y z x x y y z z x y z f x y z ( , , ) ( ) ( ) ( )d d d ( , , ).               左边的积分可以作变量代换，而右边的函数作上述变量代换，有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . ( , , ) f x q q q y q q q z q q q x x y y z z x y z q q q f x q q q y q q q z q q q q q q                        另一方面，由  函数的定义，又有     1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( ) ( ) ( ) d d d ( , , ), ( , , ), ( , , ) . f x q q q y q q q z q q q q q q q q q q q q f x q q q y q q q z q q q                      比较上面两式，由于 f 是任意函数，得到 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , , ) x y z x x y y z z q q q q q q q q q                      即在一般正交曲线坐标系中，  函数的表达式为 1 1 2 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( , , ) ( , , ) q q q q q q x x y y z z x y z q q q                      在正交曲线坐标系中，由六个面 1 1 1 2 2 2 3 3 d 3 q , q  dq , q , q  dq , q , q  q 所构

Chapter 12 Separation of variables in 成的体积元为dr=a(xy2)ddd=dd a(q1,2,3) 因此,δ(x-x)6(y-y1)6( 6(q1-qh)o(q2-q2)6(q3-g) h,h,h 球坐标系中,h=1,h=F,b= rsin 6, (x-x)b(y-y)6(-) 6(r-r)b(0-6)6(g-q) r+sin e 柱坐标系中,b=1,h=p,h=1, 6(x-x)6(y-y)6(z (p-p)o(q-q)b(二-2’) 平面极坐标系中,h=1,h=P, (x-x)6(-y)=(-p)6(g-g 由体积元dr= h,h,h, dq, dq, dq知道,球坐标系中体积元为r2 drain dede,权重 函数分别为(2,sina,1)柱坐标系中体积元为 pdpd,权重函数分别为(p1,1) 3.场量的梯度( grade:Vu),散度( divergence:V·A),旋度( otation:V×A)和 Laplace算符ⅴ2等在正交曲线坐标系中的表达式 (1)标量u(q,q2,q3)的梯度v是一个矢量,在直角坐标系中的表达式是 k, ay 其中i,,k分别是3D实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中,Vu的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 ,如以(=12,3)分别表示点(q1,q2q3)沿三条坐标线的单位矢量,就有 aS, al h dg e.(Note: ds, =hdq)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 12 Separation of variables in sphere coordinates, Legendre polynomials and harmonic functions YLMa@Phys.FDU 5 成的体积元为 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ) d d d d d d d . ( , , ) x y z q q q h h h q q q q q q      因此， 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h q q q q q q x x y y z z                    . 球坐标系中， hr 1，h  r  ，h  rsin  ,            sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 r r r x x y y z z              . 柱坐标系中，  1  h ，h   ，hz 1,            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x x y y z z              . 平面极坐标系中，  1  h ，h   ,          ( ) ( ) ( ) ( )     x  x  y  y   . 由体积元 1 2 3 1 2 3 d d d d   h h h q q q 知道，球坐标系中体积元为 2 r rd sin d d ,  权重 函数分别为 2 ( ,sin ,1). r  柱坐标系中体积元为  d d d ,z 权重函数分别为 ( ,1,1).  3．场量的梯度(grade: u )，散度(divergence:  A )，旋度(rotation:  A )和 Laplace 算符 2  等在正交曲线坐标系中的表达式 （1）标量   1 2 3 u q , q , q 的梯度 u 是一个矢量，在直角坐标系中的表达式是 k z u j y u i x u u ˆ ˆ ˆ           ， 其中 i j k ˆ , ˆ , ˆ 分别是 3D 实空间中三个坐标轴的单位矢量。 在一般正交曲线坐标系中， u 的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率 i s u   ，如以 i e ˆ i 1,2,3 分别表示点 ( , , ) q1 q2 q3 沿三条坐标线的单位矢量，就有            3 1 3 1 ˆ 1 ˆ i i i i i i i e q u h e s u u . (Note: d d ) i i i s h q 