《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）习题参考答案（1-4）

V(Vr-b)>Vr(Vi-b)由于V>V,所以-bV,>-bVt,Vr.yr-bV、Vi-b或故W理>W。V"v-b'V,"v,-b3，1mole的范德瓦耳斯气体从体积V等温膨胀到终态的体积V，，求外界对气体所作的功。V,-b（答案：RT InV,-bVsV.RTq解：对1mole的范德瓦耳斯气体：p=12v-bV,-baaW =-[pdV= -RT InOV,-bVfVi4，一个p-V系统作如图的一个循环abca，计算各个过程ab、bc、ca和循环过程abca中，系统对外界作的功。（答案：用p-V图上的面积法求功。Wab=1.35×10-2J，Wb。=-6×10-3J，Wc=0，Wabeg =7.5×10-3J)p (10°Pa)70605040302010V(cm2)11234(70+20)×102×3×10-6=1.35×10-2J解：Wab = Sab52aaWbc= Sbc25b =-20×102×3×10-6=-6×10-3 J ,Wca=0,循环过程abca中，系统对外界作的功为：W=Wab +Wbe +Wca =7.5×10-3 J

由于 Vf Vi ，所以 −bVi  −bVf ， V (V b) V (V b) i f −  f i − ， V b V b V V f i f i − −  ， 或 V b V b V V i f i f − −  ， 故 W理  W 。 3，1 mole 的范德瓦耳斯气体从体积 Vi 等温膨胀到终态的体积 Vf ，求外界对气体所作的功。 （答案： V b V b RT V V a i f f i − − −         − ln 1 1 ） 解：对 1 mole 的范德瓦耳斯气体： 2 v a v b RT p − − = ， V b V b RT V V a V a V a V b V b W pdV RT i f i f i f i f − − −         + − = − − − = − = − ln 1 1 ln 。 4，一个 p −V 系统作如图的一个循环 abca ，计算各个过程 ab 、bc 、ca 和循环过程 abca 中，系统对外界作的功。 （答案：用 p −V 图上的面积法求功。 W J ab 2 1.35 10− =  ，W J bc 3 6 10− = −  ，Wca = 0 ， W J abca 3 7.5 10− =  ） 解： W S ( ) J ab ab a 2 6 2 52 70 20 10 3 10 1.35 10 2 1 − − = = +    =  ， W S J bc bc b 2 6 3 25 20 10 3 10 6 10 − − = = −    = −  ， Wca = 0， 循环过程 abca 中，系统对外界作的功为： W W W W J ab bc ca 3 7.5 10− = + + = 

5，设理想气体系统在图中的p-V图上有五个过程，两个等压过程、两个等容过程和一个ac过程，ac延长线过坐标原点。试在p-T图上和V-T图上画出相应的五个过程。AV解：T6，在0c和latm下，空气的密度为1.29kg/m2，比热C，=9.963×10°J/kg?K），y=Cp/C=1.41。现有27m2的空气，分别进行下列过程，求所需的热量：（a）空气的体积不变，将它从0C加热到20℃：（b）空气的压强不变，将它从0C加热到20°C：（c）若容器有裂逢，外界压力为latm，使空气从0°℃缓慢加热到20℃℃。（答案：（a）9,=4.92×10°J；（b）Q,=6.94×10"J；pVuc,dT(c) 9, = =6.72×105J)RTW=0,解：(a)

5，设理想气体系统在图中的 p −V 图上有五个过程，两个等压过程、两个等容过程和一个 ac 过程， ac 延长线过坐标原点。试在 p − T 图上和 V −T 图上画出相应的五个过程。 解： 6，在 C 0 0 和 1atm 下，空气的密度为 3 1.29kg / m ，比热 9.963 10 /( ) 2 Cp =  J kgK ，  = Cp CV = 1.41 。现有 3 27m 的空气，分别进行下列过程，求所需的热量： （a）空气的体积不变，将它从 C 0 0 加热到 C 0 20 ； （b）空气的压强不变，将它从 C 0 0 加热到 C 0 20 ； （c）若容器有裂逢，外界压力为 1atm ，使空气从 C 0 0 缓慢加热到 C 0 20 。 （答案：（a） Q J 5 1 = 4.9210 ；（b） Q J 5 2 = 6.9410 ； （c） J T dT R pV C Q f i T T p 5 3 = = 6.7210   ） 解： （a） W = 0

福空气吸收的热量：9,=AU=mCyAT=Vp=PATYQj =27×1.29× 9.963×102×20=4.92×105(J)1.41(b)Q2=mC,AT=VpC,AT=27×1.29×9.963×102×20=6.94×105(J)(c）由于p、V恒定，所以随温度升高，空气的密度p=p(T)下降，由状态方程得：m(T)=Vp(T)= PVμp(T)= PμRT'RTpVμCpdQ= m(T)C,dT =-dTRTPVCenTpVuCp[,dTORJT,TRT1.013×105×27×29×10-×9.963×1022932= 6.72 ×105(J)。xIn8.312737，低温下固体的比热由德拜公式给出：C其中A为常数，为德拜温度。若(op)某固体的A=1.94kJ/（mole·K)，9，=300K。试计算500mole的固体等容条件下，从5K加热到10K需吸收多少热量？（答案：84.2J）d()00x194(104_5)=84.2J 解：Q=4034×30038，lmole单原子分子理想气体经历如图所示的循环，其中AB为等温过程。已知V。=31，3V=6l，设气体的摩尔定容热容量CvR，求该循环的效率。2（答案：n=13.4%）

空气吸收的热量： T C Q U mC T V p  V    1 = = =  ， 20 4.92 10 ( ) 1.41 9.963 10 27 1.29 5 2 1 Q  =  J  =   （b） 27 1.29 9.963 10 20 6.94 10 ( ) 2 5 2 Q mC T V C T J = p =  p =     =  （c） 由于 p 、V 恒定，所以随温度升高，空气的密度  = (T) 下降，由状态方 程得： ( ) RT p T   = ， ( ) ( ) RT pV m T V T  =  = ( ) dT RT pV C dQ m T C dT p p  = = ， i p f T T p T T R pV C T dT R pV C Q f i ln   = =  (J ) 5 5 3 2 6.72 10 273 293 ln 8.31 1.013 10 27 29 10 9.963 10  =        = − 。 7，低温下固体的比热由德拜公式给出： 3         = D T C A  ，其中 A 为常数，  D 为德拜温度。若 某固体的 A =1.94kJ /(moleK)， D = 300K 。试计算 500mole 的固体等容条件下， 从 5K 加热到 10K 需吸收多少热量？ （答案： 84.2J ） 解： Q cdT A (T T ) ( ) J f i T T D f i 10 5 84.2 4 300 500 1.94 10 4 1 4 4 3 3 4 4 3 − =    =  = − =    。 8，1mole 单原子分子理想气体经历如图所示的循环，其中 AB 为等温过程。已知 V l C = 3 ， V l B = 6 ，设气体的摩尔定容热容量 CV R 2 3 = ，求该循环的效率。 （答案：  = 13.4% ）

3-V(1)36解：AB等温膨胀，吸热9，对外作功W，9,=W,=RTIn2，BC为等压压缩，外界作功W2，放热Q2，RTW2 =-PB(Vc-VB)- PB/B22333AU2 =号R(Tc -TB)=-RTB=-=RT244153Q2 =-(AU2 -W2)=RT+RT = =RT4 2XAC为等容过程，W3=0，吸热为：TVT=Q =AU3 =Cv(TA-Tc)= C-RT-CV4T2A循环过程ABCA吸热为：3Q=Q1 +Q,=RT In2+=RT4对外作功：RTW=W,+W,=RTIn2-2循环效率：1In2-A2=13.4%n=3QIn2+=4

解： AB 等温膨胀，吸热 Q1 ，对外作功 W1，Q1 =W1 = RT ln2 ， BC 为等压压缩，外界作功 W2 ，放热 Q2， ( ) 2 2 2 p V RT W p V V B B = − B C − B = = ， U R(TC TB ) RTB RT 4 3 4 3 2 3  2 = − = − = − Q ( U W ) RT RT RT 4 5 2 1 4 3 2 = −  2 − 2 = + = AC 为等容过程， W3 = 0 ，吸热为： ( ) C T RT T T Q U C T T C T V A C V A C V 4 3 2 1 3 3 1 = =         =  = − = − 循环过程 ABCA 吸热为： Q Q Q RT RT 4 3 = 1 + 3 = ln 2 + 对外作功： 2 1 2 ln 2 RT W = W +W = RT − 循环效率： 13.4% 4 3 ln 2 2 1 ln 2 = + − = = Q A 

9，理想气体执行一个由两个等压过程和两个绝热过程所组成的循环过程（见图），设气体的定压比热为常数。（a）证明该循环的效率为：n=1-：；（b)设T=27℃,124.69×107J/kgT，=127℃℃，问燃烧50kg汽油可得多少功？汽油的燃烧值为（气体可看作理想气体）（答案：（b）W=5.86×10%J）P2(T2）3(T3)P2 Pi1(T)4 (T4)V解：（a）2—3为等压膨胀过程，气体吸热为：91 =C,(T3 -T2)4-1为等压压缩过程，气体放热为：Q2 =C,(T4 -T)1-2和3-4为绝热过程，得：1-y1-rTT2T2-IY→Pipi有：T4TT4T(P2)(P2)循环12341对外作功W=9-Q,=C,(T+T,-T,-T)WT, +T, -T2 - T4 =1- 2T4-T效率为：1nQ2T; -T2T, - T2T4-1T,T4-TT T7=1_T2T2-T -1T2(b)由上可知热机对外作功为：W =ng

9，理想气体执行一个由两个等压过程和两个绝热过程所组成的循环过程（见图），设气体的 定压比热为常数。（a）证明该循环的效率为： 2 1 1 T T  = − ；（b）设 T C 0 1 = 27 ， T C 0 2 =127 ，问燃烧 50kg 汽油可得多少功？汽油的燃烧值为 4.69 10 J / kg 7  （气体可看作理想气体） （答案：（b） W J 8 = 5.8610 ） 解：（a）2—3 为等压膨胀过程，气体吸热为： ( ) Q1 = Cp T3 −T2 4-1 为等压压缩过程，气体放热为： ( ) Q2 =Cp T4 −T1 1-2 和 3-4 为绝热过程，得：  −         = 1 2 1 1 2 p p T T ，  −         = 1 2 1 4 3 p p T T ，有： 4 3 1 2 T T T T = ， 循环 12341 对外作功 ( ) W = Q1 −Q2 =Cp T1 +T3 −T2 −T4 效率为： 3 2 4 1 3 2 1 3 2 4 2 1 T T T T T T T T T T Q W − − = − − + − −  = = 2 1 2 3 1 4 2 1 3 2 4 1 1 1 T T T T T T T T T T T T = − − = − − ， 2 1 1 T T  = − 。 （b） 由上可知热机对外作功为： 1 2 1 1 1 Q T T W Q         = = −