第十章气体动理论[I]上一章讨论了气体的平衡态性质。如果气体处在非平衡态，就会发生各种不可逆过程。系统中存在温度梯度，就有热量（能量）的传递，发生热传导过程；有浓度梯度存在，就有物质的传递，发生扩散过程：有速度梯度存在，就有动量的传递，称黏滞现象：导体中存在电位梯度，就有电荷的传递。这些过程称为输运过程，是分子间发生碰撞（广义讲谓散射）而引起的。这里仅用“平均自由程”的概念讨论输运过程，虽然仅能得到半定量的结果，但物理图像清晰，简单明了，它是输运过程的一个初级理论。有关更高级的理论将在统计物理中讨论。$10.1平均自由程气体分子具有一个有限尺寸，其直径为d。它们在热运动中不断互相碰撞，在两个碰撞之间匀速直线运动一段距离，称其自由程入。自由程入在气体中是长短不一的，定义平均自由程元为分子在无碰撞条件下所通过的平均距离。当压强P和温度T给定时，它是气体分子的整体特征。8kT两个粒子碰撞与两个粒子的相对运动有关。如果用上面分子的平均速率（=Ym代表各自速度的大小，而以两速度方向之夹角给出相对方向，这两个分子的相对速度0v,=2sin，两个分子的相向碰撞=180°",=2v；两个分子的同向碰撞Q=0,v,=0；2由于分子速度遵从麦克斯韦分布，相对速度V，也遵从麦克斯韦分布。从力学中知,质量为m,和m, 的两个粒子的相对运动等效于折合质量为m'==mm的m,+m2m单粒子运动。对均匀气体，m等于m，所以m'=。故理想气体中分子的相对速度分布2为:myDn2m为yre4%e2kF(v2)=(10.1)=(2元kT4元kT可得分子的平均相对速度：,=[v,F(v,)4md0m%-4k.4mzdv4元k78kTV2= V2v(10.2)m
第十章 气体动理论[Ⅱ] 上一章讨论了气体的平衡态性质。如果气体处在非平衡态，就会发生各种不可逆过程。系 统中存在温度梯度，就有热量（能量）的传递，发生热传导过程；有浓度梯度存在，就有物 质的传递，发生扩散过程；有速度梯度存在，就有动量的传递，称黏滞现象；导体中存在电 位梯度，就有电荷的传递。这些过程称为输运过程，是分子间发生碰撞（广义讲谓散射）而 引起的。这里仅用“平均自由程”的概念讨论输运过程，虽然仅能得到半定量的结果，但物 理图像清晰，简单明了,它是输运过程的一个初级理论。有关更高级的理论将在统计物理中 讨论。 §10.1 平均自由程 气体分子具有一个有限尺寸，其直径为 d。它们在热运动中不断互相碰撞，在两个碰撞之 间匀速直线运动一段距离，称其自由程 。自由程 在气体中是长短不一的，定义平均自由 程 为分子在无碰撞条件下所通过的平均距离。当压强 p 和温度 T 给定时，它是气体分子 的整体特征。 两个粒子碰撞与两个粒子的相对运动有关。如果用上面分子的平均速率 v （ m kT v 8 = ） 代表各自速度的大小，而以两速度方向之夹角给出相对方向，这两个分子的相对速度 2 2 sin v v r = ，两个分子的相向碰撞 v v =180 , r = 2 ；两个分子的同向碰撞 = 0,vr = 0 ； 由于分子速度遵从麦克斯韦分布，相对速度 r v 也遵从麦克斯韦分布。 从力学中知，质量为 m1 和 m2 的两个粒子的相对运动等效于折合质量为 1 2 1 2 m m m m m + = 的 单粒子运动。对均匀气体， m1 等于 m2 ，所以 2 m m = 。故理想气体中分子的相对速度分布 为： kT mv kT m v r r r e k T m e k T m F v 2 4 3 2 2 3 2 2 2 ) 4 ) ( 2 ( ) ( − − = = ， (10.1) 可得分子的平均相对速度： r r r r dvr v v F v v = 0 2 2 ( )4 r r kT mv r e v dv kT m v r 2 4 2 3 0 ) 4 4 ( 2 = − v m kT 2 8 = 2 = (10.2)
为了求平均自由程，要先求出平均碰撞频率，即单位时间内，每一个分子所经受的平均碰撞次数三，它与平均自由程元和分子的平均速率的关系为：-_(10.3)ZTZ为求三，采用刚球模型，令分子的直径为d，两分子的质心接近至距离d时，就发生碰撞，把α=元d?称为碰撞截面（广义上讲称散射截面）。这样我们可把上述的碰撞作如下等价描述：把考虑的分子，如称A分子，看成直径为d的球向前运动，把其它分子看成不动的质点，那末A分子向前运动的速度应是平均相对速度立，。跟踪A分子，在时间1内，与它相撞的分子数为（见图10.1）：-----Odvtt=tt=0Vr.图10.1用刚球模型计算碰撞分子数xy,txn=rd"n,tn这里n为单位体积内的分子数，则平均碰撞频率为：Z=d,tn/t=dn(10.4)那么平均自由程为：1-1(10.5)三元d,n2元dn2ng如果用p=nkT代入上式的n，则可给出元与压强p成反比（当T一定）。当气体的体积固定时，按上述刚球模型，元与温度T无关，但实验上发现，温度升高，元略有增加。这是因为实际的分子并不是刚球。从势能曲线可看出，当温度升高时，分子的动能增加，两分子相撞的有效直径d将减小，故元增加。上面导出的是平均自由程元，实际上分子的自由程是不一样长的，也存在一个分布，称自由程分布律。令N(x)为走了x的路程还未发生碰撞的分子数，如果再走dx的路程，会d，则N个分子在&的路程发生多少次碰撞。一个分子在的路程上的碰撞数为：2
为了求平均自由程，要先求出平均碰撞频率，即单位时间内，每一个分子所经受的平均 碰撞次数 z ，它与平均自由程 和分子的平均速率 v 的关系为： z v z t v t = = (10.3) 为求 z ，采用刚球模型，令分子的直径为 d，两分子的质心接近至距离 d 时，就发生碰 撞，把 2 = d 称为碰撞截面（广义上讲称散射截面）。这样我们可把上述的碰撞作如下等 价描述：把考虑的分子，如称 A 分子，看成直径为 d 的球向前运动，把其它分子看成不动 的质点，那末 A 分子向前运动的速度应是平均相对速度 r v 。跟踪 A 分子，在时间 t 内，与 它相撞的分子数为（见图 10.1）： 图 10.1 用刚球模型计算碰撞分子数 vr t n d vr tn 2 = 这里 n 为单位体积内的分子数，则平均碰撞频率为： z d vr tn t d vrn 2 2 = / = (10.4) 那么平均自由程为： d v n d n n v z v r 2 1 2 1 2 2 = = = = 。 (10.5) 如果用 p = nkT 代入上式的 n，则可给出 与压强 p 成反比（当 T 一定）。当气体的体 积固定时，按上述刚球模型， 与温度 T 无关，但实验上发现，温度升高， 略有增加。 这是因为实际的分子并不是刚球。从势能曲线可看出，当温度升高时，分子的动能增加， 两分子相撞的有效直径 d 将减小，故 增加。 上面导出的是平均自由程 ，实际上分子的自由程是不一样长的，也存在一个分布， 称自由程分布律。令 N(x)为走了 x 的路程还未发生碰撞的分子数，如果再走 dx 的路程，会 发生多少次碰撞。一个分子在 dx 的路程上的碰撞数为： dx v z ，则 N 个分子在 dx 的路程
-N二dx。也就是说，走了x的路程还未发生碰撞的分子数是N(x)，走了上的碰撞数为：iZx+dx路程还未发生碰撞的分子数应减少dN个，所以可得到：：-dN=N=dx或写1成：dN=-Ned，dN-_dx二）。积分可得：（这里用了N=三VN=Ne(10.6)式中N代表N。个分子中自由程比x大的分子数。还可以换一种写法：d=Ned-dN=N=dx=(10.7)元一dN是在x→x+dx内发生碰撞的分子数（负号表示分子数减少），或自由程介于x>x+dx内的分子数。以上两式(10.6)、（10.7)称自由程分布律。$10.2扩散扩散现象从广义上讲是指两种邻接的气体、液体和固体的粒子自发相互渗透及混合。这里讨论气体中发生的扩散现象。在实验上遵守斐克定律：M=-Dde(10.8)dx式中M是在单位时间内通过垂直于物质输运方向上（x方向）的单位面积的质量，P是气dp为密度梯度，式中负号代表物质输运朝着密度减小的方向进行，D称扩散系体的密度，dx数（m2·s-）。以上公式还可以用分子数密度来表示，设n为单位体积中的分子数（即分子数密度），m为一个分子的质量，则p=nm，把它代入上式得：M--Ddn(10.9)j. =mdxMJ. =一称分子流密度（单位时间内通过x方向上的单位面积的分子数）。m（1）自扩散自扩散指单组元气体由于内部密度不均匀，引起分子的运动而趋于均匀。从分子动理论可导出D与分子热运动的微观量之平均值的关系：D=Iv(10.10)3
上的碰撞数为： dx v z N 。也就是说，走了 x 的路程还未发生碰撞的分子数是 N(x)，走了 x + dx 路程还未发生碰撞的分子数应减少 dN 个，所以可得到： dx v z − dN = N 或写 成： dx v z dN = −N ， dx N dN = − （这里用了 z v = ）。积分可得： x N N e − = 0 (10.6) 式中 N 代表 N0 个分子中自由程比 x 大的分子数。还可以换一种写法： e dx N dx v z dN N x − − = = 0 (10.7) − dN 是在 x → x + dx 内发生碰撞的分子数（负号表示分子数减少），或自由程介于 x → x + dx 内的分子数。以上两式(10.6)、(10.7)称自由程分布律。 §10.2 扩散 扩散现象从广义上讲是指两种邻接的气体、液体和固体的粒子自发相互渗透及混合。这 里讨论气体中发生的扩散现象。在实验上遵守斐克定律： dx d M D = − (10.8) 式中 M 是在单位时间内通过垂直于物质输运方向上（x 方向）的单位面积的质量， 是气 体的密度， dx d 为密度梯度，式中负号代表物质输运朝着密度减小的方向进行，D 称扩散系 数（ 2 −1 m s ）。以上公式还可以用分子数密度来表示，设 n 为单位体积中的分子数（即分子 数密度），m 为一个分子的质量，则 = nm ，把它代入上式得： dx dn D m M j n = = − (10.9) m M j n = 称分子流密度（单位时间内通过 x 方向上的单位面积的分子数）。 （1）自扩散 自扩散指单组元气体由于内部密度不均匀，引起分子的运动而趋于均匀。从分子动理论 可导出 D 与分子热运动的微观量之平均值的关系： D v 3 1 = (10.10)
xx0-xo+元X=Xo图10.2，自扩散现象下面从一个简单模型导出此公式。如图10.2所示，A平面（处在x=x。）的左边分子数密度为n，右边为n2，且n,>n2，n,和n,均不随时间变化。左边分子在xo-元处经受碰撞后通过A进入右边，成为右边的分子，融入密度为n，的右边气体，而右边的分子亦然。所以x=x。处的密度梯度可写成：dn1(10.11)2元[10-±-nz2dx在单位时间内通过A处单位面积的分子数为：1.16"20+n----j.=N,-N, 6.=-1.dn(10.12)[n,-- n2, + 322dx3由于分子热运动是无规的，在空间的六个方向机会均等，而上面仅考虑一个方向（+x方向），所以出现系数。与(10.9）式比较得自扩散系数为：6=。D=(10.13)3（2）互扩散互扩散指两种或两种以上不同的分子组成的混合气体，由于各自的密度不均匀而引起的扩散。设由两种分子标为1和2组成的混合气体，它们的密度、平均速度、平均自由程分别为n和nz、和z、和元。若在图10.2中，左边代表1，右边代表2。n和n，不均匀（是坐标的函数），但混合气体的压强p和密度n=n,+n,是均匀的。左边分子通过A面向右扩散，而右边分子通过A面向左扩散。单位时间内通过单位面积扩散传输的分子数分别为：.J"=(10.14)3"dx
图 10.2，自扩散现象 下面从一个简单模型导出此公式。如图 10.2 所示，A 平面（处在 0 x = x ）的左边分子数 密度为 1 n ，右边为 2 n ，且 n1 n2 ， 1 n 和 2 n 均不随时间变化。左边分子在 x0 − 处经受碰 撞后通过 A 进入右边，成为右边的分子，融入密度为 2 n 的右边气体，而右边的分子亦然。 所以 0 x = x 处的密度梯度可写成： = − + = − − 0 0 0 1, 2, 2 1 ( ) x x x x n n dx dn (10.11) 在单位时间内通过 A 处单位面积的分子数为： j N N n v n v n x x = − = − 1 2 1, 0 − 2, 0 + 6 1 6 1 dx dn v n n v x x = − = − − + 3 1 2 1 3 1 0 0 1, 2, ， (10.12) 由于分子热运动是无规的，在空间的六个方向机会均等，而上面仅考虑一个方向（+x 方向）， 所以出现系数 6 1 。与(10.9) 式比较得自扩散系数为： D v 3 1 = 。 （10.13） （2）互扩散 互扩散指两种或两种以上不同的分子组成的混合气体，由于各自的密度不均匀而引起的扩 散。设由两种分子标为 1 和 2 组成的混合气体，它们的密度、平均速度、平均自由程分别为 1 n 和 2 n 、 1 v 和 2 v 、1 和 2 。若在图 10.2 中，左边代表 1，右边代表 2。 1 n 和 2 n 不均匀（是 坐标的函数），但混合气体的压强 p 和密度 n = n1 + n2 是均匀的。左边分子通过 A 面向右扩 散，而右边分子通过 A 面向左扩散。单位时间内通过单位面积扩散传输的分子数分别为： dx dn j v n 1 1 1 1 3 1 = − （10.14）
z.dn(10.15)jn2 =3dxdn =- dn,2。为了保持压强p和n均匀的条件，以及稳定态的条由于n=n+nz，则dxdx件，+=0，则要求=。如果，则和n均匀的条件与J+J2=0就不能满足，则要求整个气体以速度u运动，Jm+J2=0要改写成：Jm + Jn2 +nu= 01-dnz安得：-m=dx(-)1-nu=3dx1dn(10.16)u=3dxnn这样真正通过A扩散传输的分子数（单位时间内通过单位面积）应分别为：dn,1(+）jn=jn+nu=3ndfn(+）Jn2 = -Jn1 = 3ndxn上两式中密度梯度前的系数相同，令：1(+）=+D2 =(10.17)3nn3(n, +n,)=D，此时互上式的D，称两种气体的互扩散系数。假如n,很小，nz~n，则Di2扩散系数就等于自扩散系数。10.3热传导前面已讲过，传递热量有三种方式：传导传热、对流传热和辐射传热。传导传热通过介质传递热量，可在气体、液体和固体中发生，对流传热发生在气体和液体中，辐射传热则无需通过介质。本节仅讨论气体中的传导传热。气体中存在温度梯度时，就会发生热量的传递，热量从高温端传至低温端。实验上发现在单位时间内通过单位面积传递的热量与温度梯度成正比，称傅里叶（Fourier）定律：
dx dn j v n 2 2 2 2 3 1 = − （10.15） 由于 n = n1 + n2 ，则 dx dn dx dn1 2 = − 。为了保持压强 p 和 n 均匀的条件，以及稳定态的条 件， j n 1 + j n 2 = 0 ，则要求 11 22 v = v 。如果 11 22 v v ，则 p 和 n 均匀的条件与 j n 1 + j n 2 = 0 就不能满足，则要求整个气体以速度 u 运动， j n 1 + j n 2 = 0 要改写成： j n 1 + j n 2 + nu = 0 得： dx dn v dx dn nu v 2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 − = − − dx dn nu v v 1 2 2 1 1 ( ) 3 1 − = − dx dn n v n v u 2 2 1 1 1 ( ) 3 1 = − − （10.16） 这样真正通过 A 扩散传输的分子数（单位时间内通过单位面积）应分别为： dx dn v n n v n n j n j n n u 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ( ) 3 1 = + = − + dx dn v n n v n n j n 2 2 2 1 1 1 2 2 n1 ( ) 3 1 = -j = − + 上两式中密度梯度前的系数相同，令： 3( ) ( ) 3 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 12 n n n v n v v n n v n n D + + = + = （10.17） 上式的 D12 称两种气体的互扩散系数。假如 1 n 很小， n2 n ，则 D12 = v1 1 = D 3 1 ，此时互 扩散系数就等于自扩散系数。 §10.3 热传导 前面已讲过，传递热量有三种方式：传导传热、对流传热和辐射传热。传导传热通过介 质传递热量，可在气体、液体和固体中发生，对流传热发生在气体和液体中，辐射传热则无 需通过介质。 本节仅讨论气体中的传导传热。气体中存在温度梯度时，就会发生热量的传递，热量从 高温端传至低温端。实验上发现在单位时间内通过单位面积传递的热量与温度梯度成正比， 称傅里叶（Fourier）定律：