《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）各章习题与答案

习题与答案第一章温度物态方程1，华氏温标取水的冰点为32°F，水的沸点为212°F。摄氏温标取水的冰点为0°C，水的沸点为100°C。试导出华氏温标与摄氏温标的换算关系：并计算在什么温度下华氏温标和开氏温标有相同的温度读数。(/F-32); T'=574.59/K=574.59/F)（答案：1/℃=92，定义温标t*与测温物质的性质x之间的关系为：t*= ln(kx)式中k为常数，求：（a）设x为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点为t=273.16°C，试确定温标t*与热力学温标之间的关系。（b）在温标t中，冰点和汽点各为多少度？（c）在温标t*中是否存在零度？（答案：（a）t=273.16-ln273.16+lnT：（b）t*（冰点）～273.16K；*（沸点）～273.47K（c）t=0时，T~0K)3，在容积为V容器中，盛有待测的气体，其压强为Pr，测得重量为G。然后放掉一部分气体，使气体的压强降至p2，再测得重量为G。若放气前后的温度T不变，求该气体的摩尔质量μ；如果气体的压强为p时，气体的密度p为多少？G, -G, RT_AG RT△G P)（答案：=g为重力加速度；p=P-P2Vgp VgVg Ap4，容积为2500cm2的烧瓶内有1.0×1015个氧分子、4.0×10l5个氮分子和3.3×10-7g的氩气。设混合气体的温度为150℃，求混合气体的压强。（答案：p=0.0233Pa）5，一机械泵的转速为の转/分，每分钟能抽出气体c升。设一容器的体积为V升，问要抽多长时间才能使容器内的压强由P。降至10-p？VnPo，注意：%C<<V)（答案：t=0c"p1op6，试求理想气体和范德瓦尔斯气体的定容压力系数β=p(aT)1(1naa/1+1+TB（答案：β1mole;β,nmole)TpV2TIpV27，某液体从0C加热到100C，其压强增加2atm，体积不变。若该液体的等温压缩系数是4.5×10-5atm-l，求体膨胀系数。设等温压缩系数和体膨胀系数均为常数。Ap2=9.0×10-7-)（答案：α=KAT8，假设在压力不太高的情况下，一摩尔实际气体的物态方程可表示为：BpV = RT|1+V)其中B,仅是温度的函数，试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并证明V→o的极限1

1 习题与答案 第一章 温度 物态方程 1，华氏温标取水的冰点为 32 0F，水的沸点为 212 0F。摄氏温标取水的冰点为 0 0C，水的沸点为 100 0C。试导出华氏温标与摄氏温标的换算关系；并计算在什么温度下华氏温标和开氏温标有 相同的温度读数。 （答案： ( / 32) 9 5 / 0 0 t C = t F − ； T K F 0  = 574.59 / = 574.59/ ） 2，定义温标  t 与测温物质的性质 x 之间的关系为： t = ln(kx)  式中 k 为常数，求： （a）设 x 为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点为  t =273.16 0C，试确定温标  t 与热力 学温标之间的关系。 （b）在温标  t 中，冰点和汽点各为多少度？ （c）在温标  t 中是否存在零度？ （答案：（a）  t =273.16-ln273.16+lnT；（b）  t （冰点）≈273.16 K；  t （沸点）≈273.47 K（c）  t =0 时，T≈0 K） 3，在容积为 V 容器中，盛有待测的气体，其压强为 1 p ，测得重量为 G1 。然后放掉一部分气体， 使气体的压强降至 2 p ，再测得重量为 G2 。若放气前后的温度 T 不变，求该气体的摩尔质量  ；如果气体的压强为 p 时，气体的密度  为多少？ （答案： Vg RT p G Vg RT p p G G   = − − = 1 2 1 2  ， g 为重力加速度； p p Vg G    = ） 4，容积为 3 2500cm 的烧瓶内有 15 1.010 个氧分子、 15 4.010 个氮分子和 g 7 3.3 10−  的氩气。设 混合气体的温度为 C 0 150 ，求混合气体的压强。 （答案： p = 0.0233Pa ） 5，一机械泵的转速为  转/分，每分钟能抽出气体 c 升。设一容器的体积为 V 升，问要抽多长 时间才能使容器内的压强由 0 p 降至 0 2 10 p − ？ （答案： p p c V t 0 = ln ，注意：  c << V ） 6，试求理想气体和范德瓦尔斯气体的定容压力系数 T V p p         = 1  。 （答案： T 1  1 = ；         = + 2 2 1 1 pV a T  ，1mole；         = + 2 2 2 1 1 pV n a T  ，n mole） 7，某液体从 C 0 0 加热到 C 0 100 ，其压强增加 2atm ，体积不变。若该液体的等温压缩系数是 5 1 4.5 10− −  atm ，求体膨胀系数。设等温压缩系数和体膨胀系数均为常数。 （答案： 7 1 9.0 10− − =    = K T p   ） 8，假设在压力不太高的情况下，一摩尔实际气体的物态方程可表示为：       = + V B pV RT 1 1 ， 其中 B1 仅是温度的函数，试求此气体的定压膨胀系数和等温压缩系数，并证明 V →  的极限

情况下，它们分别趋于理想气体的相应的系数。B,B,+T dB,1+41+ :11VVVdT（答案：α=V>0,K=80：α=KT+27BB,Tpp+2pNV9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为：nR1aα=K=pVpV其中n,R和a都是常数。试求此气体的物态方程。1ap")（答案：pV=nRT）210，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为：R1β=α=pV'求该物质的物态方程。(答案：p(V-b)=RT)11，简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数K的数值都很小，在一定的温度范围内可以把α和K看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为：V(T, p)=V.(To,O)[1+α(T - T.)-Kpl12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：0=α(p+a)(V +b)+C,其中θ为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度，a、b、c、α均是常数。a0ae=0.（提示：先证明=0)v2op?13，实验发现橡皮带有：at), = A7 1+2((%) 4[-()aL)TaL式中t为张力，L。为无张力时的带长，A为常数。（a）计算，并讨论其意义；（b）0求物态方程。Lo/1(LaL物态方程：t=AT（答案：aTL.1+2S1I14，已知：RRT(p)2aory-bV3(v-b)2aTv)T式中a和b是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。第二章热力学第一定律1，理想气体的初始状态为：P,=1.0×10°Pa，T=300K，V,=1.0m2，求下列过程中气体所作的功：2

2 情况下，它们分别趋于理想气体的相应的系数。 （答案： V B T T dT dB V T V B 1 1 1 2 1 + + +  = ，V → ， T 1  = ； p V V B p p V B 1 2 1 1 1 →  = + +  = ， ， ） 9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为： pV nR  = ， V a p = + 1  其中n, R和a都是常数。试求此气体的物态方程。 （答案： 2 2 1 pV = nRT − ap ） 10，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为： pV R  = ， T 1  = ， 求该物质的物态方程。 （答案： p(V −b) = RT ） 11，简单固体和液体的体胀系数  和压缩系数  的数值都很小，在一定的温度范围内可以把  和  看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：  =(p + a)(V + b)+C， 其中  为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度， a 、b 、c 、 均是常数。 （提示：先证明 0 2 2 =   p  ， 0 2 2 =   V  ） 13，实验发现橡皮带有：                = +        3 0 1 2 L L AT L t T ；                = −        3 0 1 L L AL T t L 式中 t 为张力， L0 为无张力时的带长， A 为常数。（a）计算 T t L         ，并讨论其意义；（b） 求物态方程。 （答案：               +               −  = −        3 0 3 0 1 2 1 L L T L L L T L t ；物态方程：               = − 2 0 0 L L L L t AT 14，已知： V b R −  =        T V p ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p 式中a和b是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。 第二章 热力学第一定律 1，理想气体的初始状态为： pi Pa 5 = 1.010 ，Ti = 300K ， 3 Vi = 1.0m ，求下列过程中气体所 作的功：

（a）等压膨胀到体积V，=2.0m（b）等温膨胀到体积V，=2.0m3（c）等容加压到压强P，=2.0×10°Pa。（答案：（a）1.0×105J：（b）n2×105J：（c）0）2，1mole的某种实际气体遵守以下状态方程：p(V-b)=RT，其中b为分子体积的修正，0<b<V。导出该气体从初态的体积V准静态地等温膨胀到终态的体积V，时，外界对气体所作的功：并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？V,-b（答案：外界对实际气体所作的功为：-RTIn比外界对理想气体所作的功少。）V,-b3，1mole的范德瓦耳斯气体从体积V等温膨胀到终态的体积V，求外界对气体所作的功。(1.1)V,-bRT In（答案：V,-b(v,V)4，一个p-V系统作如图的一个循环abca，计算各个过程ab、bc、ca和循环过程abca中，系统对外界作的功。（答案：用p-V图上的面积法求功。Wab=1.35×10-2J，Wb。=-6×10-3J，Wc=0，Wabea=7.5×10-3J)p (10°Pa)70605040302010 V (cm)023455，设理想气体系统在图中的p-V图上有五个过程，两个等压过程、两个等容过程和一个ac过程，ac延长线过坐标原点。试在p-T图上和V-T图上画出相应的五个过程。pV6，在0C和latm下，空气的密度为1.29kg/m2，比热C，=9.963×102J/(kg·K），=C,/C,=1.41。现有27m2的空气，分别进行下列过程，求所需的热量：（a）空气的体积不变，将它从0℃℃加热到20C；（b）空气的压强不变，将它从0C加热到20℃；（c）若容器有裂逢，外界压力为latm，使空气从0°C缓慢加热到20°C。（答案：（a）9=4.92×10"J：（b）Q,=6.94×10§J；3

3 （a）等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （b）等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 。 （答案：（a） J 5 1.010 ；（b） J 5 ln 210 ；（c）0） 2，1 mole 的某种实际气体遵守以下状态方程： p(V −b) = RT ，其中 b 为分子体积的修正， 0＜ b ＜ V 。导出该气体从初态的体积 Vi 准静态地等温膨胀到终态的体积 Vf 时，外界对气体 所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？ （答案：外界对实际气体所作的功为： V b V b RT i f − − − ln ；比外界对理想气体所作的功少。） 3，1 mole 的范德瓦耳斯气体从体积 Vi 等温膨胀到终态的体积 Vf ，求外界对气体所作的功。 （答案： V b V b RT V V a i f f i − − −         − ln 1 1 ） 4，一个 p −V 系统作如图的一个循环 abca ，计算各个过程 ab 、bc 、ca 和循环过程 abca 中，系统对外界作的功。 （答案：用 p −V 图上的面积法求功。 W J ab 2 1.35 10− =  ，W J bc 3 6 10− = −  ，Wca = 0 ， W J abca 3 7.5 10− =  ） 5，设理想气体系统在图中的 p −V 图上有五个过程，两个等压过程、两个等容过程和一个 ac 过程， ac 延长线过坐标原点。试在 p − T 图上和 V −T 图上画出相应的五个过程。 6，在 C 0 0 和 1atm 下，空气的密度为 3 1.29kg / m ，比热 9.963 10 /( ) 2 Cp =  J kgK ，  = Cp CV = 1.41 。现有 3 27m 的空气，分别进行下列过程，求所需的热量： （a）空气的体积不变，将它从 C 0 0 加热到 C 0 20 ； （b）空气的压强不变，将它从 C 0 0 加热到 C 0 20 ； （c）若容器有裂逢，外界压力为 1atm ，使空气从 C 0 0 缓慢加热到 C 0 20 。 （答案：（a） Q J 5 1 = 4.9210 ；（b） Q J 5 2 = 6.9410 ；

pVucIdTP6.72×105J)(c) O..TRTC其中A为常数，θ，为德拜温度。若某固7，低温下固体的比热由德拜公式给出：CoD体的A=1.94kJ/(mole·K)，9，=300K。试计算500mole的固体等容条件下，从5K加热到10K需吸收多少热量？（答案：84.2J）8，lmole单原子理想气体经历如图所示的循环，其中AB为等温过程。已知Vc=3l，V，=6l，3设气体的摩尔定容热容量C=-R，求该循环的效率。2（答案：n=13.4%）V(1)639，理想气体执行一个由两个等压过程和两个绝热过程所组成的循环过程（见图），设气体的定压T,比热为常数。（a）证明该循环的效率为：n=1-(b）设T=27℃，T,=127℃,T2问燃烧50kg汽油可得多少功？汽油的燃烧值为4.69×107J/kg（气体可看作理想气体）（答案：（b）W=5.86×108J）p2 (T2)3 (T3)P2Pi1(T)4 (T4)10，理想气体执行一个由两个等压过程和两个等温过程所组成的致冷循环（见图），证明该循环的T致冷系数为：6=T,-TpDp.44

4 （c） J T dT R pV C Q f i T T p 5 3 = = 6.7210   ） 7，低温下固体的比热由德拜公式给出： 3         = D T C A  ，其中 A 为常数，  D 为德拜温度。若某固 体的 A =1.94kJ /(moleK)， D = 300K 。试计算 500mole 的固体等容条件下，从 5K 加 热到 10K 需吸收多少热量？ （答案： 84.2J ） 8，1mole 单原子理想气体经历如图所示的循环，其中 AB 为等温过程。已知 V l C = 3 ，V l B = 6 ， 设气体的摩尔定容热容量 CV R 2 3 = ，求该循环的效率。 （答案：  = 13.4% ） 9，理想气体执行一个由两个等压过程和两个绝热过程所组成的循环过程（见图），设气体的定压 比热为常数。（a）证明该循环的效率为： 2 1 1 T T  = − ；（b）设 T C 0 1 = 27 ，T C 0 2 =127 ， 问燃烧 50kg 汽油可得多少功？汽油的燃烧值为 4.69 10 J / kg 7  （气体可看作理想气体） （答案：（b） W J 8 = 5.8610 ） 10，理想气体执行一个由两个等压过程和两个等温过程所组成的致冷循环（见图），证明该循环的 致冷系数为： 2 1 1 T T T −  =

11，奥托循环（Ottocycle），是定容加热循环，它是四冲程火花塞点燃式汽油发动机之循环。它的理想循环由两个绝热过程和两个等容过程组成（见图），求此循环的效率Ⅱ。1V.（答案：?1为压缩比）r-,V,VPVV2Vi12，狄塞尔循环（Dieselcycle），是定压加热循环，它是四冲程压燃式柴油机的工作循环。它的理想循环由两个绝热过程、一个等容过程和一个等压过程组成（见图），求此循环的效率Ⅱ。-)--V、退临/-1/(答案：n=1-2，为压缩,r=p-VV3为定压膨胀比）比，=V2bVV2V3Vi13，1mole理想气体的初始温度为27C，压力为2atm，经A→B→C，如图所示。求：（a）A→B作多少功？，（b）A→B吸收多少热量？，（c）A→B→C内能的变化。p(atm)绝热V(O)20015其中的单位atm为大气压，1为升，气体常数R=0.082atm1/K。（答案：（a）W=547J：（b）Q=935J：（c）△U=-331J）14，一个具有绝热壁的金属容器内盛有n，摩尔高压氢气，其压力为P，此容器通过一活门和一个5

5 11，奥托循环（Otto cycle），是定容加热循环，它是四冲程火花塞点燃式汽油发动机之循环。它 的理想循环由两个绝热过程和两个等容过程组成（见图），求此循环的效率  。 （答案： 1 1 1 2 1 1 1 − − = −         = −    V r V ， 2 1 V V r = ，为压缩比） 12，狄塞尔循环（Diesel cycle），是定压加热循环，它是四冲程压燃式柴油机的工作循环。它的 理想循环由两个绝热过程、一个等容过程和一个等压过程组成（见图），求此循环的效率  。 （答案： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 1 1 2 − − = −           −         −                  = − − −          V r V V V V V ， 2 1 V V r = ，为压缩 比， 2 3 V V  = ，为定压膨胀比） 13， 1 mole 理想气体的初始温度为 27 C 0 ，压力为 2 atm ，经 A→ B →C ，如图所示。求： （a） A→ B 作多少功？，（b） A→ B 吸收多少热量？，（c） A→ B →C 内能的变化。 其中的单位 atm 为大气压，l为升，气体常数 R = 0.082atml /K 。 （答案：（a）W=547 J；（b）Q=935 J；（c） U = −331 J ） 14， 一个具有绝热壁的金属容器内盛有 ni 摩尔高压氦气，其压力为 Pi ，此容器通过一活门和一个