《热学热力学与统计物理》课程教学资源（教材讲义，上）习题参考答案（1-4）

9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为：nR1 :aα=K =pVVp其中n,R和a都是常数。试求此气体的物态方程。1Sap3（答案：pV=nRT-1 (avavnRnR=QV=解：Vα=V(aTaTpVpolD --V--(++)+aIar令物态方程为：V=V(T,p)，它的全微分为：(av)avVnRdV=dTdT-+adpdp=(aToppCpF两边乘以p，pdV= nRdT -Vdp-apdp,pdV+Vdp=nRdT-apdp,d(pV)=dnRT-apApV=nRT-ap2210，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为：R1β=α=TpV求该物质的物态方程。（答案：p(V-b)=RT)编: α=(%),β=;(%),，aTo1dp= (αv)-"dV +(βp)dp= PdV +dTdydpavopRP/pRRTRTRTdv=-dT.dp+CRPppO

9，某一气体的定压膨胀系数和等温压缩系数各为： pV nR  = ， V a p = + 1  其中 n, R 和 a 都是常数。试求此气体的物态方程。 （答案： 2 2 1 pV = nRT − ap ） 解： T p V V         = 1  ， p nR V pV nR V T V p  = =  =         ， T p V V           = − 1  ，         = − +         = − = − +           a p V V a p V V p V T 1  ， 令物态方程为： V =V(T, p)， 它的全微分为： a dp p V dT p nR dp p V dT T V dV p T         = − +            +        = ， 两边乘以 p ， pdV = nRdT −Vdp − apdp ， pdV +Vdp = nRdT − apdp ，       = − 2 2 1 d( pV ) d nRT ap ， 2 2 1 pV = nRT − ap 。 10，已知一摩尔物质的定压膨胀系数和定容压力系数分别为： pV R  = ， T 1  = ， 求该物质的物态方程。 （答案： p(V −b) = RT ） 解： T p V V         = 1  ， T V p p         = 1  ( ) ( ) dp p T dV R p dp V dV p dp p T dV V T dT p V = + = +            +        = −1 −1   ，         = − = p RT dp d p RT dT p R dV 2 ， C p RT V = +

limV=C，即不可压缩之体积（1mole）所以C=b，得：p(V-b)=RT。11，简单固体和液体的体胀系数α和压缩系数x的数值都很小，在一定的温度范围内可以把α和K看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为：V(T, p)= V(T,O)[1 +α(T - T.)-xp]dvav解：ddTdp=αVdT-xVdp,αdT-xdpVaTar从状态(T,Vo,po）至状态(T,V,p)积分：V=α(T-T.)-x(p- po), V=V(To,po)ea(T-T-)r(p-P),inV.因α和很小，在一定温度范围内，α(T-T)-(p-p）也很小，可用指数展开，er=1+x,V(T,p)=V(T,Po)(1+α(T-T。)-x(p-Po)，令固体、液体初始压力 pP。=0,则: V(T, p)=V,(T,0)[1+α(T-T.)-Kp] 。12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：=α(p+a)(V+b)+C,其中θ为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度，α、b、c、α均是常数。0=0,00=0)（提示：先证明av?op2a'0V定压温标为：V=V。(1+βe)，6A==0-1解：av?βla0I(P-10=定容温标为：p=po(1+α),=0ap?α(poa'0=C(p)+C2, 0由=0,得：=C;(p)(V +b)+C2,av2av

V C p = → lim ，即不可压缩之体积（1mole）， 所以 C = b， 得： p(V −b) = RT 。 11，简单固体和液体的体胀系数  和压缩系数  的数值都很小，在一定的温度范围内可以把  和  看成常数。试证明简单固体和液体的物态方程可以表示为： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 解： dp VdT Vdp p V dT T V dV p T =  −            +        = ， dT dp V dV =  − ， 从状态 ( ) 0 0 0 T ,V , p 至状态 (T,V, p) 积分： ( ) ( ) 0 0 0 ln T T p p V V = − − − ， ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , T T p p V V T p e − − − =   ， 因  和  很小，在一定温度范围内， ( ) ( )  T −T0 − p − p0 也很小， 可用指数展开， e x x = 1+ ， ( ) ( )( ( ) ( )) 0 0 0 1 0 0 V T, p =V T , p + T −T − p − p ，令固体、液体初始压力 p0 = 0 ， 则： V(T p) =V (T ) +(T −T )−p ， 0 0，0 1 0 。 12，假如某一物质的定压温标和定容温标相等，证明这一物质的物态方程为：  =(p + a)(V + b)+C， 其中  为这一物质的定压温度计和定容温度计所测得的共同温度， a 、b 、c 、 均是常 数。 （提示：先证明 0 2 2 =   p  ， 0 2 2 =   V  ） 解： 定压温标为： V = V (1+ ) 0 ，         = −1 1 V0 V   ， 0 2 2 =   V  ， 定容温标为： p = p (1+) 0 ，         = −1 1 p0 p   ， 0 2 2 =   p  ， 由 0 2 2 =   V  ， 得： ( ) C1 p C2 V = +   ， ( )( )  = C1 p V +b +C2

a0 =(V +b)(2),得：电=0Op?apap"0=(V+b)c(p) =0, 0"℃(p)=0, oC(p)=C,opOp2Op2dpC(p)=C,(p+a)+C4, =α(p+a)(V+b)+C。13，实验发现橡皮带有：(%) - 7|() ](%) -4[-()aL式中t为张力，L.为无张力时的带长，A为常数。（a）计算，并讨论其意义；（b）OT求物态方程。L; 物态方程: 1=4[-(岁)])（答案：元/=-71+2()解：(a）计算aT() (%)(%) -- (%) (高),用等式：4i-(2)atAL 1-()aT11atatarrl+()1+2()aLalat它是张力t不变时，带长L随温度的变化率。t= t(T,L)（b）求物态方程，()+(),-()++()dt=C

由 0 2 2 =   p  ， 得： ( ) ( ) p C p V b p   = +   1 ， ( ) ( ) 0 2 1 2 2 2 =   = +   p C p V b p  ， ( ) 0 2 1 2 =   p C p ， ( ) 3 1 C p C p =   ( ) ( ) C1 p = C3 p + a +C4，  =(p + a)(V + b)+C。 13，实验发现橡皮带有：                = +        3 0 1 2 L L AT L t T ；                = −        3 0 1 L L AL T t L 式中 t 为张力， L0 为无张力时的带长， A 为常数。（a）计算 T t L         ，并讨论其意义；（b） 求物态方程。 （答案：               +               −  = −        3 0 3 0 1 2 1 L L T L L L T L t ；物态方程：               =  − 2 0 0 L L L L t A T ） 解： （a）计算 T t L         ， 用等式：  = −1                        T t L t T T L L t ， L L t T T t          =        1 ，               +               − = −               +               − = −                 = −                  = −        3 0 3 0 3 0 3 0 1 2 1 1 2 1 1 L L T L L L L L AT L L AL L t T t t T L T t L T L T L t ， 它是张力 t 不变时，带长 L 随温度的变化率。 （b）求物态方程 ， t = t(T,L) dL L L dT AT L L dL AL L t dT T t dt L T               + +                = −         +        = 3 0 3 0 1 1 2

+C(TT=AT1L对L积分：(%) -4-()]- 2.上式对T偏微商，dC(T) = 0, C(T)= const. = B ,ot(%), = 4[-(2)比较得：9与已知条件：dT-4[-等]+。 由L-,时 1-0. B=-0.所以：1- [-()])14，已知：RRT2aopopV-b"(v-b)av)TaT式中a和b是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。2aRTdp)-解：由T不变时，对V积分：V3(v-b)avRTa+C(T),由此式对T求偏微商：D=2V-bRR+ dc(T)pop因：dTV-baTV-baT所以 dc(T)0.C(T)= const. = C,dTRTa由+C，当V→，p→0，故C=0（为理想气体），p=V2V-b得：-b)=RT，即范氏方程。p+

对 L 积分： C(T ) L L t AT L  +      = − 2 3 0 上式对 T 偏微商， ( ) dT dC T L L AL T t L +                = −        3 0 1 ， 与已知条件：                = −        3 0 1 L L AL T t L 比较得： ( ) = 0 dT dC T ，C(T)= const. = B ， 所以： B L L t AT L  +      = − 2 3 0 ， 由 L = L0 时， t = 0 , 得： B = 0 ，               =  − 2 0 0 L L L L t A T 。 14，已知： V b R −  =        T V p ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p 式中 a 和 b 是常数，证明该物态方程是范德瓦尔斯方程。 解： 由 ( ) 3 2 V b RT V 2a −  = −        V T p ， T 不变时，对 V 积分： C(T ) V b RT V a p + − = − +2 ， 由此式对 T 求偏微商： ( ) dT dC T T p V ＝ ＋ V b R −         ，因： V b R −  =        T V p ， 所以 ( ) = 0 dT dC T ，C(T)= const. =C ， 由 C V b RT V a p + − = − +2 ，当 V →  ， p → 0 ，故 C = 0 （为理想气体）， 得： (V b) RT V a p  − =      + 2 ，即范氏方程

第二章热力学第一定律1，理想气体的初始状态为：P,=1.0×10°Pa，T=300K，V,=1.0m2，求下列过程中气体所作的功：（a）等压膨胀到体积V，=2.0m（b）等温膨胀到体积V,=2.0m2(c）等容加压到压强p，=2.0×10°Pa。（答案：（a）1.0×105J；（b）n2×105J；（c）0）解：气体对外界作功：W=pdV等压膨胀到体积V,=2.0m2，W=[pdV=p(Vf-V)=1.0×105J;(a)等温膨胀到体积V,=2.0m2，(b)Vfw- a-r nL=n2×105J;V(c）等容加压到压强Pf=2.0x10°Pa，△V=0，W=0。2,1mole的某种实际气体遵守以下状态方程：p(V-b)=RT，其中b为分子体积的修正，0<b<V。导出该气体从初态的体积V,准静态地等温膨胀到终态的体积V,时，外界对气体所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？V,-b（答案：外界对实际气体所作的功为：－RTIn；比外界对理想气体所作的功少。）V,-b解：外界对气体作功：Vr-b= RTIn-bW=-J pdV=-RT_dV=-RT InJvv-bV,-bV,-bVVi理想气体，外界对气体所作的功：W理=RTIn-RTInAVi

第二章 热力学第一定律 1，理想气体的初始状态为： pi Pa 5 = 1.010 ，Ti = 300K ， 3 Vi = 1.0m ，求下列过程中 气体所作的功： （a）等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （b）等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 。 （答案：（a） J 5 1.010 ；（b） J 5 ln 210 ；（c）0） 解：气体对外界作功： W =  pdV （a） 等压膨胀到体积 3 Vf = 2.0m ，W pdV p(V V ) J f i 5 =  = − =1.010 ； （b） 等温膨胀到体积 3 Vf = 2.0m ， J V V p V V dV W pdV RT i f i i V i V f i 5 =  =  = ln = ln 210 ； （c）等容加压到压强 pf Pa 5 = 2.010 ， V = 0，W = 0。 2，1 mole 的某种实际气体遵守以下状态方程： p(V −b) = RT ，其中 b 为分子体积的修正， 0＜ b ＜ V 。导出该气体从初态的体积 Vi 准静态地等温膨胀到终态的体积 Vf 时，外界对 气体所作的功；并与理想气体作比较，外界对气体所作的功是多了还是少了？ （答案：外界对实际气体所作的功为： V b V b RT i f − − − ln ；比外界对理想气体所作的功少。） 解：外界对气体作功： V b V b RT V b V b RT V b dV W pdV RT i f f V i V f i − − = − − − = − = − = −  ln ln ， 理想气体，外界对气体所作的功： i f f i V V RT V V W理 = RT ln = − ln