单位向量及n维向量间的夹角 (1当x=时,称x为单位向量 (2)当x≠0,y≠0时,0= arccos [x,y] 称为m维向量x与y夹角 例求向量a=(1,2,2,3)与B=(31,5,1)的夹角 2 解∵cos日= a·B_18 圳3262 ∴6 之
单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解 cos = 2 2 3 2 6 18 = = . 4 = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( ) x y x y x y , 2 当 0, 0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角
三、标准正交基 1正交的概念 当x,y=0时称向量与正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向 量组为正交向量组
１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 三、标准正交基
3正交向量组的性质 定理1若n维向量a1,a2,…a,是一组两两正交的 非零向量则ax1,a2,…,a线性无关 证明设有λ1,气2…,使 a1+2a2+…+an=0 以a左乘上式两端得1a1a1=0 由a1≠0→a1a1=a12≠0,从而有1=0 同理可得λ2=…=4=0.故a1,a2,…,ax,线性无关 M
0 0, 2 1 1 1 = 1 T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1 2 r线性无关 证明 设有 1 ,2 , ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r 1 2 1 2 1
4向量空间的正交基 若an1,a2,…,a,是向量空间的一个基且an1,a2, ,a,是两两正交的非零向量组,则称a1,a2,…,,是 向量空间的正交基 例1已知三维向量空间中两个向量 2 正交,试求3使ax1,a2,a3构成三维空间的一个正交 基
例1 已知三维向量空间中两个向量 = − = 1 2 1 , 1 1 1 1 2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基. 3 1 2 3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r
解设a3=(x1,x2,x3)≠0,且分别与a1,a2正交 则有|a1,a3]=a2,a3=0 1903 x1+x2+x3=0 即 a2,a3l=x1-2x2+x3=0 解之得x1=-x3,x2=0 若令x3=1则有a3=x2|=0 x3 由上可知1,C2,O3构成三维空间的一个正交基
即 = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x 解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有 − = = 1 0 1 3 2 1 3 x x x 由上可知 1 2 3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3 且分别与1 2正交 T x x x