拉普拉斯算子 △ 0x02 006 △ p- d az az (Sn6)+ Or rsin 0 ae 80 rsin 0 a 球坐标 d dr -l(+1)R=0 aY、1a2Y +l(+1)Y=0 sm 688 a0 sn 8 ap (r,0.9)=∑∑(Cr+-1 Am, cos mo+ Bn sin mo)o(O)
2 2 2 2 2 2 x z z + + = ( ) 1 ( ) 1 2 2 2 z z + + = 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 + + = r r r r r r 拉普拉斯算子 ( ) ( 1) 0 2 − l l + R = dr dR r dr d ( 1) 0 sin 1 (sin ) sin 1 2 2 2 + + = + l l Y Y Y ( , , ) ( )( cos sin ) ( ) 1 0 = + + + = A m B m r D u r C r l m m l l l l m 球坐标
0 do de x ah2~2 +(+1)=0 柱座标 c2+A=0 z-E=0 dr 1 dR +(--2)R=0 oao
m = 0 (1 ) 2 ( 1) 0 2 2 2 + + = − − l l dx d x dx d x 柱座标 0 2 2 + = d d Z''−Z = 0 ( ) 0 1 2 2 2 2 + + − R = m d dR d d R
二、本征值问题不加证明 1.如k(x)k(x)q(x)连续或最多以x=a和x=b为一阶极点,则存在无限 多个本征值 A≤≤… 及无限多本征函数 y1(x),y2(x),y3(x)… 2所有本征值A≥0 3.对应于不同的本征值的本征函数带权p(x)正交: Jp(x)y, (x)ym(x)dx=o 本征值与本征函数一一对应: A y, (x) ym,(
二、本征值问题 不加证明 1. 如 连续或最多以 和 为一阶极点，则存在无限 多个本征值： k(x), k'(x), q(x) x = a x = b 1 2 3 及无限多本征函数 y1 (x), y2 (x), y3 (x), 2. 所有本征值 k 0 3. 对应于不同的本征值的 本征函数带权 (x) 正交： 本征值与本征函数一一对应： ( ) ( ) y x y x m m n n ( ) ( ) ( ) = 0 x y x y x dx n m b a
4本征函数族完备f(x)=∑(x) 广义傅立叶级数 由正交性 fr f(x)y (xp(xdx 模 N2a=∫[Dn(x)(x)
4. 本征函数族完备 ( ) ( ) 0 f x f y x n n n = = 广义傅立叶级数 由正交性 = b a m m m f x y x x dx N f ( ) ( ) ( ) 1 2 = b a Nm [ ym (x)] (x)dx 2 2 模
勒让德多项式 (1-x)-P(x) 22! dx P(x)=∑(-1 2l-2k) 1-2k k=0 k2(-k)!(-2k) P(x)= 2 0 dx ()=1P(-1)=(-1yP(x)s1 1(x)P(x)x=0 2 2l+1
勒让德多项式 (1 ) 2 ( 1) 0 2 2 2 + + = − − l l dx d x dx d x l k l l k k l x k l k l k l k P x 2 [ / 2] 0 !2 ( )!( 2 )! (2 2 )! ( ) ( 1) − = − − − = − l l l l l x dx d l P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = − l l l l l x dx d l P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = − P1 (1) =1 l P( 1) ( 1) 1 − = − Pl (x) 1 ( ) ( ) 0 1 1 = − P x P x dx k l 2 1 2 2 + = l Nl