第五章傅里叶变换 51傅里叶级数 利用三角级数的周期性来展开周期函数 周期函数的傅里叶展开; 奇函数和偶函数的傅里叶展开; 有限区间中的函数的的傅里叶展开; 复数形式的的傅里叶展开;
第五章 傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 5.1 傅里叶级数 • 周期函数的傅里叶展开； • 奇函数和偶函数的傅里叶展开； • 有限区间中的函数的的傅里叶展开； • 复数形式的的傅里叶展开；
复变项级数 ∑mk(z)=a1(z)+2(z)+…+Ok(z)+… 幂级数 …+a,(2 k=0 f()=m(x+1)+m(z+2)+…=∑lm(x+k) f()=(xz+1)+ln(2+2)+…=∑m(x+k) k=1
复变项级数 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 1 = + ++ + = z z z z k k k 幂级数 − = + − + − ++ − + = k k k k k a (z z ) a a (z z ) a (z z ) a (z z )0 2 0 1 0 2 0 0 0 1 ( ) ln( 1) ln( 2) ln( ) k f z z z z k = = + + + + = + 2 1 ( ) ln( 1) ln( 2) ln( ) k k f z z z z k = = + + + + = +
的傅里叶展开 周期为2的函数fx)满足f(x+2)=f(x) 的函数形式与周期是任意的,说道周期与形式是 固定的。要通过三角函数表示fx),则必须a.改 变三角函数的周期为2/。b.组合各种周期的三角 函数来表现f(x)。这就是傅里叶级数。 角函数族:1,cos L cos < ar krai …COS a 2/ 大m Sin l’,Sm
的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是 固定的。要通过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改 变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角 函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族： , ,sin , 2 sin ,sin , ,cos , 2 1,cos ,cos l k x l x l x l k x l x l x 1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x + 2l) = f (x)
a.2/周期性 kz(x+2/) kmx2l丌 kTx krx k cOS = cOS( COS( +2kT)=cos SIn 同样 b.按三角函数族展开 f(x)=a+∑o ka k +b sin (5.1.3) 此为傅里叶级数展开 不同的函数形式由不同的组的ak和b表示
l k x k l k x l lk l k x l k x l ) cos( 2 ) cos 2 cos( ( 2 ) cos = + = + = + a. 2l 周期性 b. 按三角函数族展开 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k = = + + 不同的函数形式由不同的组的 ak 和 bk 表示。 l kx sin 同样 (5.1.3) 此为傅里叶级数展开
三角函数组具有正交性 k 1·cos-,ax=0(k≠0) k 1·sndx=0. k COS COS dx=0(k≠n) (5.1.4) k SIn SIn dx=0(k≠n), COS SIn dx=0 因此」a ∫,()cos2a 5.1.5) k f(s)sin kx与
三角函数组具有正交性 − − − − − = = = = = l l l l l l l l l l dx l n x l k x dx k n l n x l k x dx k n l n x l k x dx l k x dx k l k x cos sin 0. sin sin 0 ( ), cos cos 0 ( ), 1 sin 0, 1 cos 0 ( 0), (5.1.4) 因此 = = − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1 d l k f l b d l k f l a l l k l l k k (5.1.5)