第六章拉普拉斯变换 6.2 与傅立叶变换类似的,通过积 分实现的 1.定义对于f()=0.(<0)ReP>0 f(p)=f(enth为从f()到f(p)的拉普拉斯变 换,e"为变换的核,该积分为 拉普拉斯积分。 P0+10 逆变换P=a+i0f() f(p)e 2丌 0-l0 又称∫(1)原函数◇f()像函数
第六章 拉普拉斯变换 6.2 拉普拉斯变换 与傅立叶变换类似的，通过积 分实现的变换。 对于 f (t) = 0. (t 0) − = 0 f ( p) f (t)e dt pt 为从 到 的拉普拉斯变 换， 为变换的核，该积分为 拉普拉斯积分。 f (t) f ( p) pt e − 1. 定义 逆变换 p = +i + − = i i p t f p e dp i f t ( ) . 2 1 ( ) Re P 0 又称 f (t) 原函数 f ( p) 像函数
记为f(P)=Lf()l(=L(p 实际上,原函数当为f(t)H(t) 例(1)求L1L1=1e"M=、1, (2)求L Ll=eh、1r tdl(em)=--[t·em e Pdt P P (3)求Le M[e"=et.ep'dt=(p-s)dt e (P-s)|∞ p-s Re p> re s
例 (1) 求 L[1] . 1 1 [1] 1 0 0 p e p e dt pt pt = = − = − − L (2) 求 L[t] . 1 1 1 [ ] 1 ( ) 1 [ ] 0 0 2 0 0 0 − − − − − = = − = − + = = p e dt p e dt p t e p t d e p t t e dt p t p t p t p t p t L 记为 f ( p) = L[ f (t)], ( ) [ ( )]. 1 f t f p − = L 实际上，原函数当为 f (t)H (t) (3) 求 [ ] st L e . 1 1 [ ] 0 ( ) 0 0 ( ) p s e p s e e e dt e dt s t s t p t p s t p s t − = − = = = − − − − − − L Re P Re s
(4)求Lte [te]=l te e p dt=l te -(p-s)t Re p> re s (P-s) 同理 LIt"e= (P-s) (5)求L()“(p)2r Ctf(tedi D[() dlff(t) L[tf()=(-1 dlff(t]
(4) 求 [ ] st L te . ( ) 1 [ ] 2 0 0 ( ) p s t e t e e dt t e dt s t s t p t p s t − = = = − − − L Re P Re s 同理 . ( ) ! [ ] n n st p s n t e − L = (5) 求 L[tf (t)] − = − 0 ( ) ( ) , ( ) t f t e dt dp df p pt . [ ( )] [ ( )] dp d f t tf t L L = − . [ ( )] [ ( )] ( 1) n n n n dp d f t t f t L L = −
2.性质与傅立叶变换同为积分变换,故有类似性质 (1)线性定理若Lf()=f(p)和L/2()=2(p) 则Lcf()+c2f2(1)=c(p)+c2/2(p) 例(6)求snon -lot L[Sin ot=L[]=Le]-Lle1 Rep>o 2i p-io p+io p*+a LIcos at]
2. 性质 与傅立叶变换同为积分变换，故有类似性质 (1) 线性定理 若 [ ( )] ( ) L f 1 t = f 1 p [ ( )] ( ) 和 L f 2 t = f 2 p [ ( ) ( )] ( ) ( ) 则 L c1 f 1 t + c2 f 2 t = c1 f 1 p + c2 f 2 p 例 (6) 求 L[sin t] . ] 1 1 [ 2 1 { [ ] [ ]} 2 1 ] 2 [sin ] [ 2 2 + = + − − = = − − = − − i p i p i p e e i i e e t i t i t i t i t L L L L Re P 0 . [cos ] 2 2 + = p p L t
(2)导数定理LLf()=pL(t)-f(0) 证明 LIf(切)=f"(.mt=ler()=lemf()0+ √f(t)dl pLl(t]-f(o) 其中 lme pf()=0.ReP>0 t→) 高阶导数的 f(t)=p"Lf()]-p"f(0)-p"2f"( of(o-f (n-1) )积分定理w(d=nLv
(2) 导数定理 L[ f '(t)] = pL[ f (t)]− f (0). 证明 [ ( )] (0). [ '( )] '( ) ( ) [ ( )] ( ) 0 0 0 0 p f t f f t f t e dt e df t e f t p e f t dt p t p t p t p t = − = = = + − − − − L L 其中 lim ( ) = 0. − → e f t pt t Re P 0 高阶导数的 (0) (0) [ ( )] [ ( )] (0) '(0) ( 2) ( 1) ( ) 1 2 − − − − − − = − − − n n n n n n pf f L f t p L f t p f p f (3) 积分定理 [ ( )]. 1 [ ( ) ] 0 t p d t L = L