第五章傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 51傅里叶级数 2周期 周期函数的傅里叶展开; 奇函数和偶函数的傅里叶展开 有限区间中的函数的的傅里叶展开; 复数形式的的傅里叶展开 1.周期函数的傅里叶展开 周期为2的函数x)满足f(x+2)=f(x) 的函数形式与周期是任意的,说道周期与形式是固定的。要通 过三角函数表示f(x),则必须a.改变三角函数的周期为2。b 组合各种周期的三角函数来表现f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族 2 kax COS COS 2I kIx SIn Sl 2…Sn
第五章 傅里叶变换 利用三角级数的周期性来展开周期函数 5.1 傅里叶级数 • 周期函数的傅里叶展开； • 奇函数和偶函数的傅里叶展开； • 有限区间中的函数的的傅里叶展开； • 复数形式的的傅里叶展开；。 1. 周期函数的傅里叶展开 周期为 2l 的函数 f(x) 满足 f (x + 2l) = f (x) 2 周期 的函数形式与周期是任意的，说道周期与形式是固定的。要通 过三角函数表示 f(x)，则必须a. 改变三角函数的周期为 2l。b. 组合各种周期的三角函数来表现 f(x)。这就是傅里叶级数。 三角函数族： , ,sin , 2 sin ,sin , ,cos , 2 1,cos ,cos l k x l x l x l k x l x l x
a.2/周期性 k丌(x+2/) k kz k元 COS COSI /<ln ka+2k兀) sIn 同样 b.按三角函数族展开 f(x)=a+∑{ knax knax a, cos +b, sin (5.1.3) k=1 此为傅里叶级数展开 不同的函数形式由不同的组的a和b表示。 三角函数组具有正交性 1·coS=dx=0(k≠ ddd k dx=0. (5.1 krx COS cos",dx=0(k≠n) k nZN sIn Sin dx=0(k≠m knx cOS dx=0
l k x k l k x l lk l k x l k x l ) cos( 2 ) cos 2 cos( ( 2 ) cos = + = + = + a. 2l 周期性 b. 按三角函数族展开 ( ) { cos sin }. 1 0 l k x b l k x f x a a k k k = = + + 不同的函数形式由不同的组的 ak 和 bk 表示。 l kx sin 同样 三角函数组具有正交性 − − − − − = = = = = l l l l l l l l l l dx l n x l k x dx k n l n x l k x dx k n l n x l k x dx l k x dx k l k x cos sin 0. sin sin 0 ( ), cos cos 0 ( ), 1 sin 0, 1 cos 0 ( 0), (5.1.4) (5.1.3) 此为傅里叶级数展开
因此 d小(0的 其中 (5.15) kts dE 1(k≠0) f(ssin 此为傅里叶系数 此外,三角函数族还有完备性,即这个函数族足够展开任何周期函数。 狄里希利定理 函数和级数并不完全是一个东西,例如幂级数就有收 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 若函数f(z)满足条件(1)处处连续,或在每个周期内只有有限个 第一类间断点;(2)在每个周期内只有有限个极值点,则三角级数 (5.13)收敛,且 f(), (在连续点x) (5.1.3)= f(x+0)+f(x-0)}.(在间断点x)
因此 = = − − ( )sin . 1 ( ) cos , 1 d l k f l b d l k f l a l l k l l k k 其中 = = 1 ( 0) 2 ( 0) k k (5.1.5) k 此为傅里叶系数 此外，三角函数族还有完备性，即这个函数族足够展开任何周期函数。 函数和级数并不完全是一个东西，例如幂级数就有收 狄里希利定理 敛域的问题。故必须讨论它们在什么条件下完全一致 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个 第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数 (5.1.3) 收敛，且 + + − = { ( 0) ( 0)}. ( ) 2 1 ( ), ( ) (5.1.3) f x f x x f x x 在间断点 在连续点
例交流电压E(O)= Eo sin at经过半波整流后的傅立叶级数 2丌 解周期为 E(1)= Eo sin at E(=ao+lak cos kat+b sin kot LU Odt+5 Eo sin otd =o Eo sin odt= Do 2 a,=L[ Eo Sin ot cos kott= Bo[ [sin(1+k)ot +sin(1-k)ordt al eoe sin 2otdt= Eo cos 2ot 0 4 Eno crle sin( 1+k)ot +sin(1-k)otdr 2 Eor cos(1+k)ot cos(1-k)ot rlo Eor(1)*1 (1)- 0 k=2n+1 2E0 2 1+k k 2丌1+k1+k1-k k=2n [1-(2n)]x
例 交流电压 E(t) = E0 sin t 经过半波整流后的傅立叶级数。 解 周期为 2 − = sin [0, ] 0 [ ,0] ( ) 0 E t E t ( ) { cos sin }. 1 0 E t a a k t b k t k k k = = + + , 2 sin 2 [ 0 sin ] 2 1 0 / 0 0 0 / / 0 0 0 E a = dt + E tdt = E tdt = − = = + + − / 0 0 / 0 0 [sin(1 ) sin(1 ) 2 sin cos 1 k t k tdt E a E t k tdt k cos 2 0, 4 sin 2 2 / 0 0 / 0 0 1 = = − = t E tdt E a = − = + = − + − − − + + + − = − − − − + + − = + + − + − 2 . [1 (2 ) ] 2 0 2 1 ] 1 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) [ 2 ] 1 cos(1 ) 1 cos(1 ) [ 2 [sin(1 ) sin(1 ) 2 2 0 1 1 / 0 0 0 / 0 0 k n n E k n k k k k E k k t k E k t k t k tdt E a k k k -10 -5 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1
E b 和b=0 2 EE 2E E(t) —snOt ∑ cos 2not (2n) 频谱E 各个频率分量的幅度 幅度 Eo Eo E 3 15丌 35 频率 通常,函数f(t)表示某系统的按时间变 化的性质,叫在时域中的表示的性质。 而频谱表示这种性质在频域中的表示。 因此,傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换
, 2 0 1 E b = 和 = 0 k b cos 2 . 1 (2 ) 2 1 sin 2 ( ) 1 2 0 0 0 = − = + + n n t n E t E E E t 频谱 0 2 4 6 频率 0 2E 幅度 2 E0 3 2E0 35 2E0 15 2E0 各个频率分量的幅度 通常，函数 f(t) 表示某系统的按时间变 化的性质，叫在时域中的表示的性质。 而频谱表示这种性质在频域中的表示。 因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换