74达朗贝尔公式定解问题 行波法 波动方程的达朗贝尔公式 A.坐标变换 )(x,t)=0 at 将。和。看作如同数一样的算子,可以进行加减乘除: )(x,t)=0 a=1,相当于沿ⅹ和t求导,变成沿对角线 x-at x+at 求导。当a不为一,则求导的线进行相应的 角度变化。 变换:x=(5+n)和t=(5-n) 显然 x+at 7=x-a a at a ax a 1 a +a as a5 at a5 ax 2a at 2 ax 2a atax a at a ax a an an at an 2a at a
7.4 达朗贝尔公式 定解问题 （一）波动方程的达朗贝尔公式 ( ) ( , ) 0 2 2 2 2 2 = − u x t x a t 将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： t x ( )( ) ( , ) = 0 − + u x t x a x t a t 当 a=1 ，相当于沿 x 和 t 求导，变成沿对角线 求导。当 a 不为一，则求导的线进行相应的 角度变化。 变换： ( ) 2 1 x = + 和 ( ) 2 1 = − a t 显然， = x + at = x−at x x t t + = x x t t + = x t x −at x + at a t x + = 2 1 2 1 ( ) 2 1 x a a t + = a t x + = − 2 1 2 1 ( ) 2 1 x a a t − = − A.坐标变换 行波法
)(-a-)(x,D)=一 o句ns,m)=0 即 l(,)=0 B通解 对7积分 l(x,D)=f(2) 积分常数依赖于5 再积分: n/(M+f()=f(5)+f(n) 或 f(x+at)+f2(x-ar 为两个待定函数的和 作坐标变换:xt→X,T x-at T=t 新坐标的时间与旧坐标同,新坐标的原点X=0在旧坐标中有坐标x=a,即在 旧坐标中以速度d运动,而函数2(Xat)保持形状不变,以速度d运动沿x轴 正方向运动。 f1(x+at)保持形状不变,以速度d运动沿x轴反方向运动
( )( ) ( , ) 4 ( , ) 0 2 2 = = − − + u x t a u x a x t a t ( , ) 0 2 = u 即 B.通解 对 积分： ( , ) () u x t = f 积分常数依赖于 再积分： ( ) ( ) ( ) ( ) u = f d + f 2 = f 1 + f 2 或 ( ) ( ) = f 1 x + at + f 2 x −at 为两个待定函数的和。 = = − T t X x at 作坐标变换： x,t → X ,T 新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中有坐标 ，即在 旧坐标中以速度 d 运动，而函数 f2 (x-at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴 正方向运动。 x = at f1 (x+at) 保持形状不变，以速度 d 运动沿 x 轴反方向运动
C定解达朗贝尔公式 确定待定函数的形式 无限长,即无边界条件 设初始条件为41=0=0(x)和ul=0=v(x) -0<x<∞) f(x)+f(x)=(x) f(x)-f2(x) (5)d5+f1(x0)-f2(x0) aff'(x)-af2'(x)=(x) 0)=9+wM+1(x)(x)()=0(w(M2-2U(x)( f(x+a)=(x+a)+v(5)45+,U(x)-(x 4(r-a=lo(x-a)-Ij vl()ds-1U,(26 )-52(x)I f1(x+a)+f2(x-a) (x,1)=[(x+an)+(x-am)+|v(5)d5 2a x-at
C.定解 达朗贝尔公式 确定待定函数的形式 无限长，即无边界条件。 设初始条件为 ( ) 0 u x t= = 和 ( ) 0 u x x t= = (− x ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f x + f x = x '( ) '( ) ( ) 1 2 af x −af x = x ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 2 1 0 2 0 0 d f x f x a f x f x x x − = + − [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 2 0 0 d f x f x a f x x x x = + + − [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 2 0 0 d f x f x a f x x x x = − − − d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , ) + − = + + − + [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 0 2 0 0 d f x f x a f x at x at x x − = − − − − ( ) ( ) u = f 1 x +at + f 2 x −at [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 1 1 0 2 0 0 d f x f x a f x at x at x x + = + + + −
例 X-x Sx≤x+x2 x1+x2 00(x 2 v(x)=0 lo 2 u(x, t) x<x, or,x>x2 p(x) x 2 u(x, t=L(x+at)+o(x-at )1
例 + − − + − − = 1 2 2 1 2 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 0 0 , , 2 2 , 2 2 , ( ) x x or x x x x x x x x x x u x x x x x x x x u x (x) = 0 (x) x 1 x 2 x 2 1 2 x + x 0 u x u0 ( ) 2 1 x x u(x,t) 1 x 2 x x [ ( ) ( )] 2 1 u(x,t) = x + at + x − at
例 x1≤x≤x2 y(x) q(x)=0 0 解 (x,D)=v(5d w(5X5- y(5 2 Iv(sds y(ss Ods 0 <x<x 平(x)= 2aJ(55= d5+voIds]=y 2a x>x2 p(x) (M=[5+vJw5+」 y( 2a 2
例 = x x x x x x x x 1 2 0 1 2 0 , ( ) ( x ) = 0 解 ： d a d a d a u x t x at x at x at x at −− +− +− = = − ( ) 21 ( ) 21 ( ) 21 ( , ) d a x x− = ( ) 21 ( ) 1 x x d a d a x x x − − = = 0 21 ( ) 21 ( ) 1 2 x x x 2 x x [ 0 1 ] 21 ( ) 21 ( ) 1 1 d 0 d a d a x xx x x = = + − − [ 0 1 0 ] 21 ( ) 21 ( ) 2 21 1 d 0 d d a d a x xx xx x x = = + + − − 1 x 2 x x (x) 0 = 0 ( ) 2 1 0 x x a = − ( ) 2 2 1 0 x x a = −