第四章留数定理 4.1留数定理 回忆柯西定理:如果f(z)是复闭通 区域上的解析函数,则 5(=)+∑乐(=)=0 这样的积分不为零,必定包含奇点。因此, 研究奇点是求积分的第一要务
第 四 章 留 数 定 理 4.1 留数定理 0 z 回忆柯西定理：如果 f(z) 是复闭通 区域上的解析函数，则 ( ) ( ) 0. 1 + = = l n i l i f z dz f z dz 这样的积分不为零，必定包含奇点。因此， 研究奇点是求积分的第一要务
又: 1cdz「0,l不包围a 2ni 包围 (z-0)"dz=0.n≠-1 2ri 1.定理 设函数f(z)在回路所围区域B是除有限个孤 立奇点b,b2…b,,外解析,在闭区域B 上除点b1,b2…,b,外连续,则 5r(e=2n∑Rsy(b)
1. 定理 设函数 f(z) 在回路 l 所围区域 B 是除有限个孤 立奇点 ，外解析，在闭区域 上除点 外连续，则 ( ) 2 Re ( ). 1 = = l n j bj f z dz i sf b b bn , , , 1 2 b b bn , , , 1 2 B − = − = − l n l z dz n i l l z dz i ( ) 0. 1 2 1 1. 0, 2 1 包围 又： 不包围
证明如图,当区域中含有一个孤立奇点时在其 收敛环可写 f(=)=∑ak(=-=0) 个孤立奇点 5/()=∑a15(=-)=2m 当区域中有n个孤立奇点时 柯西定理 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和
证明 如图，当区域中含有一个孤立奇点时在其 收敛环可写 =− = − k k k f (z) a (z z ) 0 0 2 1 ( ) ( ) 1 − =− = − = f z dz a z z dz ia l l k k k l 1 l 2 l 3 l 1 b 2 b 3 b 当区域中有 n 个孤立奇点时 # 柯西定理 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向的积分 等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的和。 一个孤立奇点
当区域中有n个孤立奇点时 5f()=2乐()=2m∑Resx((h) # i=1 b b
l 1 l 2 l 3 l 1 b 2 b 3 b 当区域中有 n 个孤立奇点时 ( ) ( ) 2 Re ( ( )). 1 1 = = = = n i i l n i l f z dz f z dz i s f b i #
2留数的计算 A.单极点的情况: ∫(=)=-1+a0+a1(z-=0)+a2(=-=0)2+ (2-)/()=a1+a(-=0)+a(2-20)2+a2(2-=0)+ imn(x-20)f(z)=41a1作为幂零项 B.m阶极点的情况 f(z)= +an+a1(2-20)+a2(z-2)2+… 2 × z-2
2. 留数的计算 A. 单极点的情况： + + − + − + − = − 2 0 1 0 2 0 0 1 ( ) a a (z z ) a (z z ) z z a f z − = − + − + − + − + 3 2 0 2 0 1 0 0 1 0 (z z ) f (z) a a (z z ) a (z z ) a (z z ) lim ( ) ( ) . 0 1 0 → − = a− z z f z z z a−1 作为幂零项 B. m 阶极点的情况 + + − + − + − + + − + − = − − − 2 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a z z a z z z z a z z a z z a f z m m m m