例: 长/柔软均质重绳,一端固定在匀速转动的 竖直轴上。由于重力作用,绳的平衡位置应为 竖直线。试推导其相对于竖直线的微小横振动 方程。 解:绳的线密度为p,它在x处受的重力为 x p(l-x)g x+△v 7(x,)相对于竖直线的偏离为a(x,) (0,×)一段在x处受重力p(-x)g;由于 r(x+Ax作用力等于反作用力,(x,X+dx)一段在 x处受(0,x)一段的张力也为p(-x)g 同理,(xx+d×)一段在Ⅺ+dx处受张力为 l-x-dx)g 这一段的惯性离心力为 edxa2lv(x,)
例： 一长 l 柔软均质重绳，一端固定在匀速转动的 竖直轴上。由于重力作用，绳的平衡位置应为 竖直线。试推导其相对于竖直线的微小横振动 方程。 解：绳的线密度为 ρ，它在 x 处受的重力为 (l − x)g 相对于竖直线的偏离为 u(x,t) 。 x x+x 0 T(x,t) T(x + x,t) (0,x) 一段在 x 处受重力 ；由于 作用力等于反作用力，(x,x+dx) 一段在 x 处受(0,x) 一段的张力也为 。 (l − x)g (l − x)g 同理， (x,x+dx) 一段在 x+dx 处受张力为 (l − x − dx)g 这一段的惯性离心力为 dx 2 u(x,t)
P(l-x-dx)gu lxde-p(I-x)gurx pdxou=(pdx u (-x-dxgn xx+dx (l-x)gux x+dou=dx (l-x)g xx+dx (I-x)guxx1/dx+ tt tt g[(-x)u=ou OX
x x dx gux x dx u dx ut t (l x dx)gu (l x) ( ) 2 − − + − − + = x x dx gux x dx u dxut t l − x −dx gu + − l − x + = 2 ( ) ( ) x x dx gux x dx u ut t l − x gu + − l − x + = 2 [( ) ( ) ]/ u u x l x x ut t g 2 [( ) ] = − −
例如图:弦上x=0处固结一质量为M的质点, 导出横振动问题中此点的衔接条件。 T 解:设 (x,t)(x<0) u(x, t) )(x>0) 弦在x=0是连续的: 1(x,1)=a2(x,)( M的加速度由1(x,1)或n(x)描述应相同: Ou(,t du,(x, t)m Ou,(x, t) OX OX
例 如图：弦上 x=0 处固结一质量为 M 的质点， 导出横振动问题中此点的衔接条件。 x = 0 T M T x 解： 设 = ( , ) ( 0). ( , ) ( 0) ( , ) 2 1 u x t x u x t x u x t 弦在 x=0 是连续的： ( , ) ( , ) 1 2 u x t = u x t (1) M 的加速度由 u1 (x,t) 或 u2 (x,t) 描述应相同： x u x t T x u x t T t u x t M t u x t M − = = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 (2)
例:一端固定的细杆,将另一端拉长e而突然放手, 求其定解条件。 e 63设长为l的均匀细直杆的侧面与外界无热交换,开始时,杆上同~截面具同一温度 且一端有一稳恒热流注入,另一端在零度的介质中自由冷却,试推导杆的传热方程及定解条 件 l(,t)
一端固定的细杆，将另一端拉长 e 而突然放手， 求其定解条件。 例： x = 0 x x = l 0 q U u(l,t) e x = 0 x x = l f
边界条件:x=0静止:v(0,1)=0 x=1自由:a1()=0 初始条件:伸长: e l(x,0)=x 静止: (x,0)=0 边界条件:x=0 恒定热流:u2(0,1) x=l 自由冷却:+hn.=U 初始条件: l(x,0)=q(x)
边界条件： u(0,t) = 0, u (l,t) = 0, x x = 0 静止： x = l 自由： 初始条件： x l e 伸长： u(x,0) = 静止： u (x,0) = 0. t * ** 边界条件： x = 0 恒定热流： k q u t x (0, ) = − x = l 自由冷却： u + Hux =U 初始条件： u(x,0) =(x)