《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）复习第一章

复习 第一章复变函数z=x+分y o=f(z=u(,y)+iv(,y ZEe 2 a +az+az+.+az E e ee=e(cos y+isin y) In z=h pe=hn p+io e q

第一章 复变函数 z = x + iy 复习  = f (z) = u(x, y)+iv(x, y) zE z z  E n n a + a z + a z ++ a z 2 0 1 2 e e e e e (cos y isin y) z x i y x i y x = = = + +     z e i i ln = ln = ln +   s s is z = e

n△如n(z+△)-f(z) A→>0△ △z→》0 △z dz 可导:对任何方向的△z,极限都存在并唯一。 必要条件柯西一黎曼方程 可导的充分条件:f(=)的存在,连续且满足柯西 黎曼方程。 f(z)在点z0解析,即在这 CX Ov 点可导

z f z z f z z z z  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0  dz df = 可导：对任何方向的 z ，极限都存在并唯一。 必要条件 柯西—黎曼方程 x v y u y v x u   = −     =   可导的充分条件: f (z) 的 y v x v y u x u         , , , 存在，连续且满足柯西— 黎曼方程。 f (z) 在点 解析，即在这 点可导。 0 z

为在区域B中解析函数,即在区域的点点解析 解析函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程 u u O Ox2 已 知V求U 例1已知v=e^( cosy+ysiy) dx+=dv dx OX ax =e (xsin y+sin y+ycos y )dx +e(x cos y +ysin y-cos y)dy

为在区域 B 中解析函数，即在区域的点点解析。 解析函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 =   +   y u x u 0 2 2 2 2 =   +   y v x v 已知 V 求 U 例1 已知 v e (x cos y y sin y) x = + − dy x v dx y v dy y u dx x u du   −   =   +   = e x y y y y dx e x y y y y dy x x = (− sin +sin + cos ) + ( cos + sin −cos ) − −

=dle (xsin y-ycos y)] u=e (xsin y-ycos y)+C 第二章复变函数的积分 2.1积分 Ir(eyd==u(x, y)dx-v(x,y)dy J(c)he=ln∑/c=-)或 k=0 +iv(x,y)dx +u(x, y)dy 计算规则同实函数的积分

d[e (xsin y y cos y)] x = − − u e x y y y C x = − + − ( sin cos ) 第二章 复变函数的积分 2.1 积分 i v x y dx u x y dy f z dz u x y dx v x y dy l l l ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )    + + = − ( ) lim ( )( 1 ). 或 0 − = → =  −  k k n k k l n f z dz f  z z 计算规则同实函数的积分

柯西定理:在某闭区域解析的函数,它沿此区域边界 的积分为零。 ∮f(c)=0 1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零 3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向 的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的 和。 固定起点和终点,积分路径的连续形变不改变积分

柯西定理：在某闭区域解析的函数，它沿此区域边界 的积分为零。  = C f (z)dz 0, 1.闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。 2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方 向的积分和为零。 3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时钟方向 的积分等于沿所有内境界线逆时钟方向的积分的 和。 固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分