《数学物理方程》课程PPT教学课件（讲稿）复习第三章

7.数学物理方程度定解问题 泛定方程度提岀、边界条件、初始条件、衔接条件。 波动方程 l..-c tt 0 um-afu=f(r,t) 扩散方程L-a2u=0l41-a2ln=f(x,) L,-a2△=0l4-a2△=f(7,D 拉普拉斯方程△=0 泊松方程=f(,t)

7. 数学物理方程度定解问题 泛定方程度提出、边界条件、初始条件、衔接条件。 0 2 波动方程 utt − a uxx = ( , ) 2 u a u f x t tt − xx = 2 0 t xx 扩散方程 u a u − = 2 ( , ) t xx u a u f x t − = 拉普拉斯方程  = u 0 2 0 t u a u −  = 2 ( , ) t u a u f r t −  = 泊松方程  = u f r t ( , )

初始条件 初始“位移”(xy,=,1)==0(xy,z) 初始“速度 ,(x2y,2,=0=y/(x,y,z) 边界条件 第一类边界条件(x)-0=0(x1)x/=0 第二类边界条件速度确定。 l(x1)=0v2(x,D)x==0 第三类边界条件位移和速度的组合 (+hx)x=7(-h)x=T

初始条件 ( , , , ) ( , , ) 0 u x y z t x y z 初始“位移” t= = 初始“速度” ( , , , ) ( , , ) 0 u x y z t x y z t t= = 第一类边界条件 边界条件 u(x,t) x=0 = 0 u(x,t) x=l = 0 第二类边界条件 速度确定。 ux (x,t) x=l = 0 ux (x,t) x=l = 0 第三类边界条件 位移和速度的组合 (u + Hux ) x=l =T (u − Hux ) x=l =T

衔接条件物理性质急剧变化的点一跃变点 (x0-0)=l(x+0)F()-Tsna1-Tsna2=0 达朗贝尔公式(92222)(x,)=0 Ot 初始条件为t-0=0(x)和ul-o=v(x)(-0<x<∞) l(x,1)=[(x+a)+0(x-∥k、1xm y(2)d5

衔接条件 达朗贝尔公式 ( ) ( , ) 0 2 2 2 2 2 =   −   u x t x a t 初始条件为 ( ) 0 u x t= = 和 ( ) 0 u x x t= = (−  x  )     d a u x t x at x at x at x at ( ) 2 1 [ ( ) ( )] 2 1 ( , )  + − = + + − + 物理性质急剧变化的点－跃变点 ( 0) ( 0) u x0 − = u x0 + F(t)−T sin1 −T sin2 = 0

8.分离变量 tt 00(x,)x0=0v(x,1)=0 l=0=(x)u4=0=v(x) 波腹 l(x,)=X(x)T(1) 0.5 波节 7.5 T=0:X+X=0 X(0)=0 X()=0

8. 分离变量 0 2 utt − a uxx = ( ) 0 u x t= = ( ). 0 u x t t= = u(x,t) x=0 = 0 u(x,t) x=l = 0 波腹 波节 2.5 5 7.5 10 12.5 15 -1 -0.5 0.5 1 u(x,t) = X (x)T(t) '' 0; 2 T +a T = X ''+X = 0; X (0) = 0 X (l) = 0

Ⅹ"+aX=0 X(0)=0X()=0 本征值方程 本征值和本征函数由边界条件决定 X(x)=C2 sin Ti+nT a2 n元Ct nat T=0 T(t)=AcoS l+Bsin naat naat n7 COS +B s Sin 初值确定叠加系数:2 P( ds 2 ssi

X ''+X = 0; X (0) = 0 X (l) = 0. 本征值方程 本征值和本征函数由边界条件决定 2 2 2 l n   = l n x X x C  ( ) = 2 sin '' 0; 2 2 2 2 + T = l n a T  ( ) cos sin , l n at B l n at T t A   = + ( , ) ( cos sin )sin . l n x l n at B l n at un x t An n    = + 初值确定叠加系数： ( )sin ; 2 0      d l n l A l n  = ( )sin . 2 0       d l n n a B l n  =