复旦大学：《数学物理方法 Methods of Mathematical Physics》课程教学资源（讲义）第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数 Series solutions of linear difference equations and some special functions

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU Const 2.Ic 3.2c34.3 (n+2)(n+1)cn 2.l n(n-D)c lc1|-2.2 1C1 +1)y|v+1)co+1)x1(+1c2 1(1+1)c x":2.l2+l(+1)co=0, (-(+1) 3·2c3-2lc1+l(+1)c1=0 得 3·2 x2:4.3c4-2·lc2-2·2c2+l(l+1l2=0,得 4.3 2--+X+3 x2:54c5-3·2c3-23c3+l(1+1)c3=0,得 3-)-)(+2)+4 x":(n+2)(n+Dcnn2-n(n-1)cm-2nc, +1(+1)c=0, recurrence relations (n-(+n+1 cn特别注意:cn+2x(n-)cn 第四步:由递推公式求出偶次幂项的系数c2x与c0之间以及奇次幂项的系数 C21与c1之间的关系式,于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数。 ss(2k-2-)(+2k-1c22 (2k)(2k-1) (2k=2-02k4-(+23(+2k-1 (2k)(2k-1)(2k-2)(2k-3) (2k-2-1)(2k-4-)…(-)(+1)…(+2k-3)(+2k-1)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 6 Const. x 2 x … n x … y  2 1 2  c 3 3 2c 4 4 3c … 2 ( 2)( 1)   n n n c …  x y  2 2 1 2   c … n  n(n 1)c …  2xy  1  2 1c 2 2 2   c …  2nc1 … l(l 1)y 0 l(l 1)c 1 l(l 1)c 2 l(l 1)c … n l(l 1)c … 0 2 0 x c l l c : 2 1 ( 1) 0     ， 得    2 0 2 1 1 c l l c     ; 1 3 1 1 x c c l l c : 3 2 2 1 ( 1) 0       ， 得    3 1 3 2 1 2 c l l c     ; 2 4 2 2 2 x c c c l l c : 4 3 2 1 2 2 ( 1) 0         ，得         0 4 2 4! 2 1 3 4 3 2 3 c l l l l c l l c          3 5 3 3 3 x c c c l l c : 5 4 3 2 2 3 ( 1) 0         ， 得         1 5 3 5! 3 1 2 4 5 4 3 4 c l l l l c l l c          … … 2 : ( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0 n n n n n x n n c n n c nc l l c          ，得 recurrence relations       n n c n n n l l n c 2 1 1 2        . 特别注意： 2   . n n c n l c    第四步：由递推公式求出偶次幂项的系数 k c2 与 0 c 之间以及奇次幂项的系数 2k1 c 与 1 c 之间的关系式，于是便得到偶次幂项级数和奇次幂项级数。                            2 2 2 2 4 0 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 4 2 3 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 4 1 2 3 2 1 . 2 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k                                

Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU (2k-1-1)(l+2k) C 0)(2k-3-)(+2k-2)(+2k) 2k+1)(2k)(2k-1)(2k-2 (2k-1-)2k-3-)-(1-)(+2)(+2k-2)(+2k) 第五步:写出解的最后形式,确定级数的收敛半径 )=coy(x)+cy(x),其中, x=1+已(2-2-0(2=4-0(0(+)(+2-=3(+26=x (2k-1-1)(2k-3-l)…(1-1)(1+2)…(+2k-2)(+2 y 它们在x<1是收敛的,在≥1是发散的 3.发散解的处理一 Legendre polynomials 可以证明,在=1即当x=±1时,y(x)和y(x)是发散的。例如, y(1)=1+ (2k-2-1)(2k-4-)…(-)(+1)(+2k-3)(+2k-1) k)! 2k+1)(2k+2) (2k-)(+2k+1) l+1 2K 因此,由 Gauss判别法可知,它是发散的[ See Chapter3 2)当1收而当31:2立的 物理要求y±)有界!→问题:能否适当选取参数l,使当x取实数值时,y(x)的 特解在区间;≤1上保持有限?答:yes! 在下篇我们将看到, Legendre'seq中宗量x常常是球坐标中的cosO,因为 O∈z],因而x=c0s∈-1+]我们知道,球对称物理量在球坐标系中

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 7                            2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k k l l k c c k k k l k l l k l k c k k k k k l k l l l l k l k c k                                第五步：写出解的最后形式，确定级数的收敛半径 ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 y x  c y x  c y x ，其中，            2 0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 1 , 2 ! k k k l k l l l l k l k y x k                          2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 2 2 2 . 2 1 ! k k k l k l l l l k l k y x x k                 它们在 x 1 是收敛的，在 x 1 是发散的。 3．发散解的处理—Legendre polynomials 可以证明，在 x  1 即当 x  1 时， 0 y x( ) 和 1 y x( ) 是发散的。例如，           0 1 2 2 2 4 1 2 3 2 1 (1) 1 , k 2 ! k l k l l l l k l k y k                  1   2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 ( 2 1) 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 k k u k k k k u k l l k l l k k l l O k k k k k k                                                              因此，由 Gauss 判 别 法 可 知 ， 它 是 发 散 的 [See Chapter 3 P.5: 2 1 1 1 . k k u O u k k            当   1 时，   n1 un 收敛；而当   1 时，   n1 un 发散]。 物理要求 y( 1)  有界！  问题：能否适当选取参数 l , 使当 x 取实数值时， y x( ) 的 特解在区间 x 1 上保持有限？答：yes! 在下篇我们将看到，Legendre’s eq.中宗量 x 常常是球坐标中的 cos ，因为  0, ，因而 x     cos 1, 1 .    我们知道，球对称物理量在球坐标系中

Methods of Mathematical Physics(2016. 11)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@ Phys. FDU 任何方向取值不会是无限大的,这就要求当x=±1时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间-1≤x≤1上有限,我们必须让l为整数 只有这样,无穷级数才被截断上面第三步特别注意:cm2(n-)cn,y或 y1退化为多项式。这些多项式在区间-1≤x≤1都是有限的。 例如,当l=0时,y(x)=1,y(x)发散.当l=1时,y(x)发散, y1(x)=x.当l=2时,y0(x)=1- 3 2’H(x)发散当l=3时,y(x)发散, y(x)=x-x3.一般地,当l=2n时, y(x)=1+ (2k-2-2n)(2k-4-2n)…(-2n)(2n+1)(2n+3)…(2n+2k-1)x 2(2)(ny(2n+2k)x ) (2k)(n+k)(n-k) y(x)发散。令c1=0,则y(x)=coy0(x)有限。当l=2n+1时,y0(x)发散, H(x)=x+(2k-1-1)(2k-3-1)…(1-1)( +2)(1+4)…(1+2k) 2k+1 (2k+1) H!(n+1)! (2n+2k+2) (2n+2)!0(2k+1)(n+k+1)(n-k) 令co=0,则y(x)=cy(x)有限(正是我们要的解) 如果我们选择co和c1使得当x=1时,y(x)=1,则上面的多项式解称 为 Legendre多项式,并记为P(x).即当l=2n时,选co=(-1 当=2n+1时,选c1=(-1) (需要繁琐的运算,请自己验算) (2n) 例如,当l=0时,y(x)=P(x)=1.当l=1时,y(x)=P(x)=x 当/=2时,x)=P()=1(3x2-)当1=3时yx)=16x2-3) (4n-2k) 般地,当1=2n时,y()2=P2(x)=∑(-1)20k(2n-)(2n=2k) 2n-2k 当l=2n+1时

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 8 任何方向取值不会是无限大的，这就要求当 x  1 时方程的解也必须是有 限的。为使方程的解在整个区间1 x 1 上有限，我们必须让 l 为整数。 只有这样，无穷级数才被截断[上面第三步特别注意：c n l c n n 2     ]， 0 y 或 1 y 退化为多项式。这些多项式在区间1 x 1 都是有限的。 例如，当 l  0 时， y0 (x) 1 ， ( ) 1 y x 发散. 当 l  1 时， ( ) 0 y x 发散， y (x)  x 1 . 当 l  2 时， 2 0 2 3 y (x) 1 x ， ( ) 1 y x 发散. 当 l  3 时， ( ) 0 y x 发散， 3 1 3 5 y (x)  x  x . 一般地，当 l  2n 时，                      2 0 1 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 2 1 2 3 2 2 1 ( ) 1 2 ! ! 2 2 ! ( 1) . 2 ! 2 ! !( )! n k k n k k k k n k n n n n n k y x x k n n k x n k n k n k                     ( ) 1 y x 发散。令 c1  0 ，则 ( ) ( ) 0 0 y x  c y x 有限。当 l  2n 1 时， ( ) 0 y x 发散，                        2 1 1 1 2 1 0 2 1 2 3 1 2 4 2 ( ) 2 1 ! !( 1)! 2 2 2 ! 1 . 2 2 ! 2 1 ! 1 ! ! n k k n k k k k l k l l l l l k y x x x k n n n k x n k n k n k                            令 c0  0 ，则 ( ) ( ) 1 1 y x  c y x 有限（正是我们要的解）。 如果我们选择 0 c 和 1 c 使得当 x 1 时， y(x) 1 ，则上面的多项式解称 为 Legendre 多项式，并记为 P ( ). l x 即当 l  2n 时，选     2 !! 2 1 !! 0 1 n n c n    ， 当 l  2n 1 时，选     2 !! 2 1 !! 1 1 n n c n    .（需要繁琐的运算，请自己验算） 例如，当 l  0 时， 0 y x x ( ) P ( ) 1   .当 l  1 时， 1 y x x x ( ) P ( )   . 当 l  2 时，   2 2 1 ( ) P ( ) 3 1 2 y x x x    .当 l  3 时 y x 5x 3x 2 1 ( ) 3   . 一般地，当 l  2n 时，       2 2 2 2 0 4 2 ! ( ) P ( ) ( 1) 2 ! 2 ! 2 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k          . 当 l  2n 1 时

Methods of Mathematical Physics(2016. 1)Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMal@Phys. FDU y(x)=P2n(x)=∑(-) 4n+2-2k)! k=0 2mk(2n+1-k)(2n+1-2k) 说明:1.习惯上l的取值为0和正整数,因为当取负整数时,给出相同的结果: 当--1=1=0,1,2,…时,Ⅳ(+1)=/("+1),和l给出的结果是相同的。 Legendre' s equation具有这种对称性。物理上取l≥0. 2.总之,=0,1,2…,y=P(x)且P()=1和多项式的最高次幂的系数为 2(P()构成正交、完备、封闭和归一集:jP(/2 chapter12).封闭:P(x)及其各种运算均属于此 Hillbert空间。 3.本征值问题:泛定Eq+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值l=0,1,2,…和本征函数P(x) 4.对称性对应守恒量,[2,H=0→12=l(+1)h2,1=0,1,2 EYm(,)=1(1+1)hYm(0.9),[,的=0→L:=mh(m=0,土1,+2…,± L0)=mM(0Y1(92(+r,2+=m 4x(+m)P(os球谐函数 例如:Eq:y(x)+k2y(x)=0,条件:y(0)=co,y(0)=c,众所周知解 (x)= C cos hx+ CL sin kx.级数解亦如此,不过是级数形式而已:解微分方程 y()+o2y()=0,已知初始(t=0)边界(x=0)条件:y(0)=an,y(0)=a1 [解]设此方程有如下形式的解 y=a+41+a2+ap2+…+an+…=∑ar", 逐项微分,有y=4+2a1+312+…+mm+…=∑mr, (82) (83)

Methods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 8 Series solutions of linear difference equations and some special functions YLMa@Phys.FDU 9         2 1 2 2 1 2 1 0 4 2 2 ! ( ) P ( ) 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 ! n k n k n n k n k y x x x k n k n k                . 说明：1. 习惯上 l 的取值为 0 和正整数，因为当 l 取负整数时，给出相同的结果： 当     l l 1 ' 0,1,2, 时 ， l l l l ( 1) '( ' 1),    l ' 和 l 给 出 的 结 果 是 相 同 的 。 Legendre’s equation 具有这种对称性。物理上取 l  0. 2. 总之， l  0,1,2, ， P ( ) l y x  且 P (1) 1 l  和多项式的最高次幂的系数为     2 2 ! . 2 ! l l l P ( ) l x 构成正交、完备、封闭和归一集： 1 ' ' 1 1 P ( )P ( ) 1/ 2 l l ll x x x l       d (see chapter 12). 封闭： P ( ) l x 及其各种运算均属于此 Hillbert 空间。 3. 本征值问题：泛定 Eq.+边界条件、初始条件或者自然条件。可求解出本征 值 l  0,1,2, 和本征函数 P ( ). l x 4. 对 称 性 对 应 守 恒 量 ， 2 2 2 ˆ ˆ [ , ] 0 ( 1) , 0,1,2, . L H L l l l        2 2 ˆ Y ( , ) 1 Y ( , ); L l l lm lm       ˆ ˆ [ , ] 0 ( 0, 1, 2, , ). L H L m m l z z        ˆ Y ( , ) Y ( , ). L m z lm lm      (2 1)( )! Y ( , ) ( 1) P (cos ) 4 ( )! m m im lm l l l m e l m           球谐函数. 例如：Eq.: 2 y x k y x ( ) ( ) 0   ，条件： 0 1 y c y c (0) , (0)    ，众所周知解： 1 0 ( ) cos sin . c y x c kx kx k   级数解亦如此，不过是级数形式而已：解微分方程 2 y t y t ( ) ( ) 0    ，已知初始( t  0 )/边界( x  0 )条件： 0 1 y(0)  a , y (0)  a . [解] 设此方程有如下形式的解 2 3 0 1 2 3 0 n n n n n y a a t a t a t a t a t           ， （8.1） 逐项微分，有 2 1 1 1 2 3 1 2 3 , n n n n n y a a t a t na t na t             （8.2）         2 2 2 3 2 2 0 2 1 3 2 1 1 2 1 . n n n n n n n n y a a t n n a t n n a t n n a t                           （8.3）