北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第10章 无穷级数 第2节 常数项级数的审敛法

例10.2.3 的敛散性，其中常数p>0 解：当p≤1，因为对一切n∈N+, 又调和级数 发散，由比较审敛法可知p级数 发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例10.2.3 讨论 p -级数 1 1 1 1 1 234 p p p p n       的敛散性，其中常数 p > 0. 解: 当 p 1, 因为对一切 又调和级数   1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1  发散 . 发散

当p>1,因为当n-1≤x≤n时， 故 y] in n>o∞ 故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故    n n p p x n 1 n d 1 1    n n p x 1 x d 1           1 1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数              1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n              1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n  故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1     p n 1 当                          1 1 1 1 1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 

例10.2.4判定级数 n(n+1) 的敛散性 解：因为 m(nD(+ n+1 (n=1,2,…） 含 dp 而级数 发散 2 根据比较审敛法可知，所给级数发散 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 判定级数 的敛散性. 解: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1   n n  n 而级数     2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散 . 例10.2.4

定理3（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 ∑，∑n满足limn=,则有 n=1 n=1 n->oo Vn (1)当0≤1<+o,且∑yn收敛时， n=l ∑un也收敛； n=1 (2)当7=+∞且∑yn发散时，∑4n也发散. n=1 n=l 证：(1)由极限定义，对e=1,存在N∈N+,当n>N时， a<1+1,即un<(+1vn BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页 返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n   则有 (2) 当 l = +∞ 证: (1)由极限定义,对 设两正项级数 满足 (1) 当 0 ≤ l < +∞