习题5 1.设∫(x0)>0,∫(x0)<0,证明x0是f(x)的极小值点。 2.( Darboux定理)设∫(x)在(a,b)上可导,x,x2∈(a,b)。如果∫(x1)f'(x2)<0 证明在x1和x2之间至少存在一点ξ,使得f'()=0 3.举例说明 Lagrange中值定理的任何一个条件不满足时,定理结论就有可能不成立 4.设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可微。利用辅助函数 x f(x) b f(b)1 证明 Lagrange中值定理,并说明v(x)的几何意义 5.设函数∫(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明(a,b)内存在一点ξ 使得 f(a)f(b) f(a)f(5) g(a)g(b) 6.设非线性函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则在(a,b)上至少存在一点n, 满足 lf'(n)|> ∫(b)-f(a) 并说明它的几何意义 7.求极限limn2 arctan=- arctan 其中a≠0为常数 8.用 Lagrange公式证明不等式: (1)sin x-sin y<x-y; (2)my(x-y)<x-yn<nx"(x-y)(n>1,x>y>0) In (b>a>0) b (4) 1+x(x>0) 9.设f(x)在[a,b]上定义,且对任何实数x1和x2,满足 f(x1)-f(x2)|(x1-x2)2, 证明f(x)在[a,b]上恒为常数。 10.证明恒等式 (1) arcsin x+ arccosx= 2’x∈0,1 (2)3 arccos x- arccos(3x-4x3)=兀,x∈ (3) 2 arc tan x+arcsin =丌,x∈l,+o 1l.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导。证明:若(a,b)中除至多有限个点 有∫(x)=0之外,都有∫(x)>0,则f(x)在[a,b]上严格单调增加;同时举例说 明,其逆命题不成立 12.证明不等式
习 题 5.1 ⒈ 设 f x + ′( ) 0 > 0， f x − ′( ) 0 < 0，证明 x0 是 f (x)的极小值点。 2．（Darboux 定理）设 f (x)在( , a b)上可导，x1 , x2 ∈ ( , a b)。如果 f x ′( ) 1 ⋅ f x ′( 2 ) < 0 ， 证明在 x1 和 x2 之间至少存在一点ξ ，使得 f ′( ) ξ = 0 。 3． 举例说明 Lagrange 中值定理的任何一个条件不满足时，定理结论就有可能不成立。 4. 设函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可微。利用辅助函数 ψ( ) ( ) ( ) ( ) x x f x a f a b f b = 1 1 1 证明 Lagrange 中值定理，并说明 ψ(x) 的几何意义。 5． 设函数 和 在[ , 上连续，在( , 上可导, 证明( , 内存在一点ξ ， 使得 f (x) g x( ) a b ] a b) a b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ ξ g a g f a f b a g a g b f a f b ′ ′ = − 。 6．设非线性函数 f (x)在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，则在( , a b)上至少存在一点 η ， 满足 | ( ) | | ( ) ( ) ′ > | − − f f b f a b a η ， 并说明它的几何意义。 7．求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − →∞ 1 lim arctan arctan 2 n a n a n n ，其中 a ≠ 0 为常数。 8． 用 Lagrange 公式证明不等式： ⑴ |sin x y − ≤ sin | | x − y | ; ⑵ ( ) ( ) ( 1, 0); 1 1 − < − < − > > > − − ny x y x y nx x y n x y n n n n ⑶ ln ( > > 0) − < < − b a a b a a b b b a ; ⑷ e > 1+ x (x > 0). x 9． 设 f x( )在[ , a b ]上定义，且对任何实数 x1和 x2 ，满足 | ( f x ) f x( ) | (x x ) 1 2 1 2 − ≤ − 2 ， 证明 f x( )在[ , a b ]上恒为常数。 10． 证明恒等式 ⑴ arcsin x x + = arccos π 2 ， x ∈[ , 0 1]； ⑵ 3 3 4 3 arccos x x − arccos( − x ) = π ， ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∈ − 2 1 , 2 1 x ； ⑶ = π + + 2 1 2 2arc tan arcsin x x x ， x ∈[ , 1 +∞). 11．设函数 在[ , 上连续，在( , 上可导。证明：若( , 中除至多有限个点 有 之外，都有 ，则 在[ , 上严格单调增加；同时举例说 明，其逆命题不成立。 f (x) a b ] a b) a b) f x ′( ) = 0 f x ′( ) > 0 f (x) a b ] 12． 证明不等式： 1
2 (1)-x<sinx<x,x∈(0,); (2)3 1: (3)x-<In(1+x)<x,x>0 ()tanx+2sinx>3x,x∈0 62^≤xP+(1-x)≤1,x∈[0.1l(p>1) tanx x 13.证明:在(O,1)上成立 1)(1+x)ln2(1+x) 14.对于每个正整数n(n≥2),证明方程 xn+x-1+…+x2+x=1 在(0,1)内必有唯一的实根x,并求极限lmxn。 15.设函数f(x)在[0,1上连续,在(O,1)上可导,且f(0)=f(1)=0, 1。证明: 1)存在5∈,1,使得f(5)=5; 2)对于任意实数,必存在∈(0,5),使得 f(m)-f(7)-7]=1。 (提示:考虑函数e[f(x)-x]。) 16.设函数∫(x)和g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且g(x)≠0(x∈(a,b)。 分别利用辅助函数 q(x)=(x)-r(a)-b)-/a g(b)-g(a) (x)-g(a) 和 g(x)f(x) v(x)=g(a) f(a) g(b)f(b) 证明 Cauchy中值定理,并说明o(x)和v(x)的几何意义 17.设∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,证明存在5∈(a,b),使得 2f(b)-f(a)]=(b2-a2)f(5) 18.设a,b>0,证明存在5∈(a,b),使得 19.设∫(x)在[a,b]上连续(ab>0),在(a,b)上可导,证明存在5∈(a,b),使得 b b-af(a) f(b) =f()-f(2) 20.设∫(x)在[+∞)上连续,在(1,+∞)上可导,已知函数ef(x)在(1,+∞)上有界, 证明函数ef(x)在(1+∞)上也有界 21.设∫(x)在(0,上连续,且存在有限极限lim√xf(x),证明f(x)在(0,a]上
⑴ 2 0 π 2 π x x < < sin x , x ∈( , ); ⑵ 3 1 − < 2 1 > x x , x ; ⑶ ln(1 ) , 0; 2 2 − < + x < x x > x x ⑷ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > ∈ 2 tan 2sin 3 , 0, π x x x x ; ⑸ 1 2 1 1 1 p 1 p p x x x p − ≤ + ( ) − ≤ , ∈[0, ], ( > 1)； ⑹ x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x . 13．证明：在(0,1) 上成立 1） ； 2 2 (1+ x)ln (1+ x) < x 2） 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 − < + − < x x 。 14． 对于每个正整数 n （ n ≥ 2），证明方程 1 1 2 + + + + = − x x x x n n " 在(0,1) 内必有唯一的实根 xn ，并求极限 n 。 n x →∞ lim 15．设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1) 上可导，且 f (0) = f (1) = 0， 1 2 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ f 。证明： 1）存在 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ ,1 2 1 ξ ，使得 f (ξ ) = ξ ； 2）对于任意实数λ ，必存在η ∈ (0,ξ ) ，使得 f ′(η) − λ[ f (η) −η] = 1。 （提示：考虑函数e [ f (x) x] 。） x − −λ 16． 设函数 f (x)和 g x( )在[ , a b ]上连续，在( , a b)上可导，且 g′(x) ≠ 0 (x ∈ (a,b)) 。 分别利用辅助函数 ϕ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x f a [ ( ) ( )] f b f a g b g a = − − g x g a − − − 和 ψ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g a f a g b f b = 1 1 1 , 证明 Cauchy 中值定理，并说明ϕ(x)和 ψ(x) 的几何意义。 17． 设 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 ξ f b − f a = b − a f ′ ξ 。 18． 设a,b > 0 ，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ae be (1 )e (a b) b a − = − − ξ ξ 。 19． 设 f (x) 在[a,b]上连续（ ab > 0），在(a,b)上可导，证明存在ξ ∈ (a,b) ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ξf ξ f ξ f a f b a b b a = ′ − − 。 20．设 f (x) 在[1,+∞) 上连续，在(1,+∞) 上可导，已知函数 在 上有界， 证明函数 在 上也有界。 e f (x) x ′ − (1,+∞) e f (x) −x (1,+∞) 21． 设 f '(x) 在(0, a]上连续，且存在有限极限 lim ( ) 0 x f x x ′ → + ，证明 f (x) 在(0, a]上一 2
致连续。 (提示:考虑 f(x1)-f(x2) x1-√x2 2.设f(x)在x=0的某邻域内有n阶导数,且f(0)=f(0)=…=fm(0)=0,用 Cauchy中值定理证明 (0<6<1) 23.证明不等式 ex+e 2)xy>0n>1; x≠ 24.( Jensen不等式)设∫(x)为[a,b上的连续下凸函数,证明对于任意x2∈[a,b]和 ∑λ=1,成立 x|≤∑4f(x 25.利用上题结论证明:对于正数a,b,c成立 (abc)3≤a°b°c 26.设f(x)在(a+)上可导,并且limf(x)=0,证明m2(x) x→+X 27.设∫(x)在[a,b]连续,在(a,b)二阶可导,证明存在n∈(a,b),成立 f(b)+/(a)-2+b 2)(7) (提示:在区间/a+b b b|上考虑函数g(x)=f(x)-f(x-=n2)。) 习题5.2 1.对于 lim f∫'(x) =+∞或 x→a+ 的情况证明 L'Hospital法则 2.求下列极限 (1)lim m sIn x In(sin x) n二m (4 lim (5)lim In(tan 7x) (6)lim tan 3x I-0+ In(tan 2x
致连续。 （提示： 考虑 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x − − 。） 22． 设 f (x)在 x = 0 的某邻域内有 阶导数，且 ，用 Cauchy 中值定理证明 n f f f n ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 = ′ = = = " − 0 (0 1) ! ( ) ( ) ( ) = < θ < θ n f x x f x n n . 23． 证明不等式： ⑴ , , 0, 1 2 2 ⎟ > > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ + x y n x y x y n n n ; ⑵ e e e , x y x y x y + > ≠ + 2 2 . 24． （Jensen 不等式）设 f (x) 为[a,b]上的连续下凸函数，证明对于任意 xi ∈[a,b]和 λi > 0 （i = 1,2,", n ）， 1，成立 1 ∑ = = n i λi ∑ ∑ = = ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n i i i n i i i f x f x 1 1 λ λ ( ) 。 25． 利用上题结论证明：对于正数 a,b, c 成立 a b c a b c abc ≤ a b c + + 3 ( ) 。 26． 设 f (x)在( , a + ∞) 上可导，并且 lim ( ) x f x →+∞ ′ = 0 ，证明 lim ( ) x f x →+∞ x = 0。 27．设 f (x) 在[a,b]连续，在(a,b)二阶可导，证明存在η ∈ (a,b) ，成立 "( ) 2 ) 2 ( ) ( ) 2 ( 2 f η a b b a f b f a f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + + − 。 （提示：在区间 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + b a b , 2 上考虑函数 ) 2 ( ) ( ) ( b a g x f x f x − = − − 。） 习 题 5.2 ⒈ 对于 lim ( ) x a ( ) f x → + g x ′ ′ = +∞ 或 − ∞ 的情况证明 L'Hospital 法则。 ⒉ 求下列极限： ⑴ lim e e x sin x x → x − − 0 ; ⑵ x x x tan 5 sin 3 lim →π ; ⑶ lim ln(sin ) ( ) x x →π π − x 2 2 2 ; ⑷ lim x a m m n n x a → x a − − ; ⑸ ln(tan 2 ) ln(tan7 ) lim 0 x x x→ + ; ⑹ x x x tan tan 3 lim 2 π → ; 3
ln(1+x2) 外In x tanx-sin-x lim x cot 2x (4 lim x2 05lim(丌-x)tan x 3.说明不能用 L'Hospital法则求下列极限 x+ sinx (1)lim (2)x→#x-Slnx x→0Slnx Sln亏x 其中g(0)=0,g(0)=0,g"(0)=10。求∫(0) 5.讨论函数 (1+x)x < 在x=0处的连续性。 6.设函数f(x)满足f(0)=0,且f(0)存在,证明limx1(x)=1
⑺ x x x arccot ln(1 ) lim 1 + →+∞ ; ⑻ lim ln( ) x sec cos x → x x + 0 − 2 1 ; ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 1 1 ln 1 limx 1 x x ; ⑽ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x 1 sin 1 lim 0 ; ⑾ lim x ln x → x − 1 1 ; ⑿ 2 4 0 tan sin limx x x x → x − ; ⒀ x x x lim cot 2 →0 ; ⒁ lim e x x x →0 2 1 2 ; ⒂ 2 lim( )tan x x x − → π π ; ⒃ x x x⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ arc tan 2 lim π ; ⒄ x x x tan 0 1 lim ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒅ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − → e 1 1 1 lim 0 x x x ; ⒆ x x x sin 0 1 lim ln ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → + ; ⒇ limx x x → − 1 1 1 . ⒊ 说明不能用 L'Hospital 法则求下列极限： ⑴ lim sin x sin x x →0 x 2 1 ; ⑵ lim sin x sin x x →+∞ x x + − ; ⑶ lim ( )sin x ln( sin ) x x → x + 1 + 2 2 1 1 π ; ⑷ lim sin e x x x → x + 1 2 π 2 . ⒋ 设 f x g x x x x ( ) ( ) , , , = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 0 0 0 其中 g( ) 0 0 = ， g′( ) 0 0 = ， g′′( ) 0 = 10。求 f ′(0)。 ⒌ 讨论函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ > ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = − e , 0, , 0, e (1 ) ( ) 2 1 1 1 x x x f x x x 在 x = 0 处的连续性。 6．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 ，且 f ′(0) 存在, 证明 lim 1。 ( ) 0 = → + f x x x 4
7.设函数f(x)在(a,+∞)上可导,且lm[f(x)+∫(x)=k,证明limf(x)=k。 习题5.3 1.由 Lagrange中值定理知 +x)=一 0<6(x)<1 证明:im6(x)=1/2 2.设f(x+h)=f(x)+f(x)h+∫"(xh2+…+m(x+h),(0<0<1), 且f((x)≠0,证明:lim6 3.设f(x)=Vx,取结点为x=1、1728、2744,求f(x)的二次插值多项式P2(x)及 其余项的表达式,并计算P2(2)(V2=12599210- 4.设f(x)=2x,取结点为x=-1、0、1,求f(x)的二次插值多项式P2(x)及其余项 的表达式,并计算P2|。请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。 5.设∫(x)在若干个测量点处的函数值如下: 14|17 f(x)65584436 试求f(28)的近似值。 6.若h是小量,问如何选取常数a、b、c,才能使得qf(x+h)+bf(x)+cf(x-h)与 f"(x)近似的阶最高? 7.将n+1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值,即pn(x)满足 i=0,1,2,…, 的插值多项式称为 Hermite插值多项式,在微分方程数值求解等研究领域中具有重 要作用。它可以取为
7．设函数 f (x) 在(a,+∞) 上可导，且 f x f x k x + ′ = →+∞ lim[ ( ) ( )] ，证明 f x k 。 x = →+∞ lim ( ) 习 题 5.3 1．由 Lagrange 中值定理知 x x x x 1 ( ) ln(1 ) +θ + = ，0 < θ (x) < 1， 证明：lim ( ) 1/ 2 0 = → x x θ 。 2 ． 设 ( ) ! 1 "( ) 2! 1 ( ) ( ) '( ) 2 ( ) f x h n f x h f x f x h f x h n + = + + +"+ +θ ， (0 < θ < 1) ， 且 ( ) 0 ，证明： ( 1) ≠ + f x n 1 1 lim 0 + = h→ n θ 。 3．设 f x( ) = x 3 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及 其余项的表达式，并计算 （ x = 1、 、 1.728 2.744 f x( ) p x 2 ( ) p2 (2) 2 12599210 3 = . "）。 4． 设 ，取结点为 ，求 的二次插值多项式 及其余项 的表达式，并计算 f x x ( ) = 2 x = −1 0 、 、1 f (x) p x 2 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 1 p2 。请与上题的计算结果相比较并分析产生差异的原因。 5． 设 f x( )在若干个测量点处的函数值如下： x 1.4 1.7 2.3 3.1 f x( ) 65 58 44 36 试求 f ( . 2 8)的近似值。 6． 若h 是小量，问如何选取常数a、 、b c ，才能使得af ( ) x + h + bf (x) + cf (x − h)与 f ′′(x)近似的阶最高？ 7． 将 n + 1个插值条件取为所有结点上的函数值和一阶导数值，即 pn (x) 满足 ， p x f x p x f x n i i n i i ( ) ( ) ( ) ( ) = ′ = ′ ⎧ ⎨ ⎩ i n = − 012 1 2 , , ,", 的插值多项式称为 Hermite 插值多项式，在微分方程数值求解等研究领域中具有重 要作用。它可以取为 5