习题2. 1.(1)证明√6不是有理数 (2)√3+√2是不是有理数? 2.求下列数集的最大数、最小数,或证明它们不存在: A={x|x≥0}; 2丌 B=sin x0<x< C={"mn∈N并且n<m 3.A,B是两个有界集,证明 (1)AUB是有界集 (2)S={x+ylx∈A,y∈B}也是有界集 4.设数集S有上界,则数集T={x|-x∈S}有下界,且supS=-infr 5.证明有界数集的上、下确界唯 6.对任何非空数集S,必有supS≥infS。当supS=infS时,数集S有什么特点? 7.证明有下界的数集必有下确界。 8.设S={xx∈Q并且x2<3},证明 (1)S没有最大数与最小数 (2)S在Q内没有上确界与下确界。 习题2.2 1.按定义证明下列数列是无穷小量: 0)m2+1 (2){(-1)”(0.99)”}; 1+2+3+…+n n
习 题 2.1 1. (1) 证明 6 不是有理数； (2) 3 + 2 是不是有理数? 2. 求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在： A x = { | x ≥ 0}； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = < < 3 2 sin | 0 π B x x ； ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ∈ < + m n n m m n C , N 并且 。 3. A, B 是两个有界集，证明： (1) A∪ B 是有界集； (2) S x = + { | y x ∈ A, y ∈ B}也是有界集。 4. 设数集 S 有上界，则数集T x = { | − x ∈S}有下界，且supS = -inf T 。 5. 证明有界数集的上、下确界唯一。 6. 对任何非空数集 S ，必有sup S ≥ inf S 。当sup S = inf S 时，数集 S 有什么特点? 7. 证明有下界的数集必有下确界。 8. 设 S { | 3} 2 = x x ∈Q并且x < ，证明： (1) S 没有最大数与最小数； (2) S 在Q 内没有上确界与下确界。 习 题 2.2 1. 按定义证明下列数列是无穷小量： ⑴ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 1 1 2 n n ； ⑵ { ( ) −1 0( .99) }； n n ⑶ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + −n n 5 1 ； ⑷ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + 3 1 2 3 n " n ； ⑸ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n 3 2 ； ⑹ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ! 3 n n ； 1
2.按定义证明下述极限: (1)im3n2+2 (2)1im n+n (3)lim(n2+n-n)=7 ()lim33n+2=1 n (5) lim x=1,其中 ,n是偶数 1-10-,n是奇数, 3.举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的 (1)对任意给定的E>0,存在N,使当n>N时成立xn<E; (2)对任意给定的E>0,存在无穷多个xn,使|xn1<E 4.设k是一正整数,证明: lim x=a的充分必要条件是lmxn+k=a。 5.设lmx2n=limx2n1=a,证明: lim x=a 6设xn≥0,且 lim x=a20证明:lim√xn=a。 7.{xn}是无穷小量,{yn}是有界数列,证明{xnyn}也是无穷小量。 8利用夹逼法计算极限: (1)lim 1 (2)lim n+ (3)Im>1 (4)lim 1.3:5…(2n-1).提示应用不等式2k>√2k-12k+1)) 2.4·6……(2n) 9.求下列数列的极限 n3+2n2-3n+1 (1 lim (2)lim H3-n+3
⑺ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n n! ； ⑻ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − + − + + + − n n n n n 2 1 ( 1) 2 1 1 1 1 " 。 2. 按定义证明下述极限： ⑴ lim n→∞ 2 1 3 2 2 3 2 2 n n − + = ； ⑵ lim n→∞ n n n 2 1 + = ； ⑶ lim n→∞ ( ) n n n 2 1 2 + − = ； ⑷ lim n→∞ 3 2 n n + = 1； ⑸ lim n→∞ xn =1,其中 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + = − ， ， 是奇数 是偶数 n n n n n x n n 1 10 , , 。 3. 举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的： (1) 对任意给定的ε > 0 ，存在 N ，使当n > N 时成立 xn < ε ； (2) 对任意给定的ε > 0 ，存在无穷多个 xn ,使｜ xn ｜＜ε。 4. 设 k 是一正整数，证明： lim n→∞ xn = a 的充分必要条件是 lim n→∞ xn k + = a 。 5. 设 lim = ，证明： n→∞ x2n lim n→∞ x2 1 n+ = a lim n→∞ xn = a 。 6. 设 xn ≥ 0，且 lim ,证明： n→∞ xn = a ≥ 0 lim n→∞ xn = a 。 7. { xn }是无穷小量，{ yn }是有界数列，证明{ xn yn }也是无穷小量。 8. 利用夹逼法计算极限： (1) lim n→∞ n n 1 1 3 1 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + +"+ ； (2) lim n→∞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 n + 1 n + 2 + … + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ n + n 1 ； (3) lim n→∞ ∑ + = 2 2 ( 1) 1 n k n k ； (4) lim n→∞ 135 2 1 246 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ " " ( ) ( ) n n 。 (提示：应用不等式2 2 k k > − ( )1 ( ) 2k + 1 )。 9. 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ 3 4 1 2 2 n n n + − + 1 ; ⑵ lim n→∞ n n n n n 3 2 3 2 3 2 3 + − + − + 1 ; 2
3n+n3 (3)lim onl (4) im(√n2+1-1)s 3”+(n+1) (5)lim√n(n+1-√n); (7)lim ( 8)lim -=2)()-2n (9)lim VnInn 3 0lim+-,+…+ 22 10.证明:若an>0(n=1,2,…),且lim=n=1>1,则 lim a=0 11.证明:若an>0(n=12.…),且 lim an+=a,则 lime/a=a 设lim(a1+a2+…+an)存在,证明: (1)lim=(a1+2a2+…+an)=0 (2)lim(na1a2…an)”=0(a1>0,i=1,2,…n) 提示:设a1+a2+…+an=Sn,则∑k4=nSn-∑S4) 13.已知 lim a=a, lim b=b,证明: b+a,b a b 14.设数列{an}满足lm1+a2+…+an a(-∞<a<+∞)。证明: lim 习题2. 1.按定义证明下述数列为无穷大量 (2)log
⑶ lim n→∞ 3 3 1 3 1 3 n n n n + + + + ( ) ; ⑷ lim n→∞ ( ) n si n n 2 1 1 2 + − π n ; ⑸ lim n→∞ n n ( + − 1 n) ; ⑹ lim n→∞ n n ( ) n 4 2 + −1 1 + ; ⑺ lim n→∞ 1 n n ! ; ⑻ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 1 1 … ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 1 n ； ⑼ lim n→∞ n n ln n ; ⑽ lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + n n 2 2 1 2 3 2 1 2 " 。 10. 证明：若an > 0（ n = 1,2,"），且 lim 1 1 = > + →∞ l a a n n n ，则 lim = 0 →∞ n n a 。 11．证明：若 an > 0（ n = 1,2,"），且 a a a n n n = + →∞ 1 lim ，则 n a a n n = →∞ lim 。 12. 设 lim ( n→∞ a a 1 2 + +"+an )存在，证明： (1) lim n→∞ 1 2 1 2 n a a nan ( ) + +"+ = 0； (2) lim n→∞ ( ! n a a a ) n n ⋅ 1 2 1 " = 0 ( ai > 0 , i = 1,2,…,n)。 (提示：设a a 1 2 + +"+an = Sn ，则 )。 b kak nS S k n n k k n = = − ∑ ∑ = − 1 1 1 13. 已知 lim ， ，证明： n→∞ an = a lim n→∞ bn = lim n→∞ a b a b a b n ab 1 2 n n + 1+ + n 1 = − " 。 14. 设数列{ an }满足 lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = a (−∞ ＜a ＜ + ∞) 。证明： lim n→∞ a n n = 0。 习 题 2.3 1. 按定义证明下述数列为无穷大量： (1) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + 2 1 1 2 n n ； (2) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ n a 1 log ； 3
(3)(n-arc tan n j 2.(1)设 lim a=+∞(或-∞)按定义证明 a, ta +o(或-∞) (2)设an>0, lim a=0,利用(1)证明: 3.证明 (1)设{xn}是无穷大量,|y,|≥δ>0,则{xny}是无穷大量 (2)设{x}是无穷大量,1myn=b≠0,则{xnyn}与{一}都是无穷大量。 4(1)利用 Stolz定理,证明: lim 12+32+52+…+(2n+1)24 12+32+52+…+(2n+1)24 (2)求极限lm 利用Stoz定理,证明: (1)lim =0(a>1); (2)man=0(a>1,k是正整数)。 6.(1)在 Stolz定理中,若lm 能否得出Iim 的结论?(考虑例子 n→yn-yn-1 xn=(-1)”n,yn=n); (2)在Sol定理中,若1nxn一X不存在,能否得出lim二不存在的结论? (考虑例子:xn=1-2+3-4+…+(-1)n,yn=n2) 7.设0<λ<1,lima,=a,证明
(3) { n − arc tan n }； (4) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + + + n + n 2n 1 2 1 1 1 " 。 2. (1) 设 lim n→∞ an = +∞ (或 − ∞ ),按定义证明： lim n→∞ a a a n 1 2 + +"+ n = +∞ (或 − ∞ ); (2) 设a ＞0， = 0 ，利用（1）证明： n lim n→∞ an lim n→∞ ( ) a a an n 1 2 1 " = 0。 3. 证明： (1) 设{ xn }是无穷大量，｜ yn ｜≥ > δ 0 ，则{ xn yn }是无穷大量； (2) 设{ xn }是无穷大量， lim n→∞ yn = b≠0，则{ xn yn }与 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ n n y x 都是无穷大量。 4. (1) 利用 Stolz 定理，证明： lim n→∞ 1 3 5 2 1 4 3 2 2 2 2 3 + + + + + = " ( ) n n ； (2) 求极限 lim n→∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + + 3 1 3 5 (2 1) 4 3 2 2 2 2 n n n " 。 5. 利用 Stolz 定理，证明： (1) lim n→∞ loga n n = 0 ( a > 1)； (2) lim n→∞ n a k n = 0 ( a > 1， k 是正整数)。 6. (1) 在 Stolz 定理中，若 lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 = ∞ ，能否得出 lim n→∞ x y n n = ∞ 的结论?(考虑例子： xn n , )； n = −( )1 yn = n (2) 在 Stolz 定理中，若 lim n→∞ x x y y n n n n − − − − 1 1 不存在，能否得出 lim n→∞ x y n n 不存在的结论? (考虑例子： x n n , )。 n = − + − + + − − 1 2 3 4 1 " 1 ( ) yn = n 2 7. 设 0＜λ ＜1， lim ，证明 n→∞ an = a 4
入 8设An=∑a,当n→∞时有极限。{Pn}为单调递增的正数数列,且pn→+ (n→∞)。证明 lim P1 a,+ P2zfPmum=0 Pn (提示:先作代换ak=Ak-A-1,再应用Solz定理。) 习题2. 利用lim|1+ e求下列数列的极限 (2)lim1+ n (3)lim 1 (4)lim 1 (5)Iim1+ 2.利用单调有界数列必定收敛的性质,证明下述数列收敛,并求出极限: 1,2,3, n=1,2,3, (4)x1=1,x 1,2,3, (6)0<x1<1,xn+1=xn(2-xn)n=1,23 3.利用递推公式与单调有界数列的性质,证明:
lim n→∞ ( a a a a ) n n n n + + λ λ − − 1 + +λ 2 2 0 " = − a 1 λ 。 8. 设 ,当 时有极限。{ }为单调递增的正数数列，且 ( n ）。证明： A a n k k n = = ∑ 1 n → ∞ pn pn → +∞ → ∞ lim n→∞ p a p a p a p n n n 1 1 2 2 0 + + + = " 。 (提示：先作代换a ，再应用 Stolz 定理。) k = − Ak Ak −1 习 题 2.4 1． 利用 lim n→∞ e n n ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 求下列数列的极限： ⑴ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 ; ⑵ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 1 1 1 ; ⑶ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; ⑷ lim n→∞ n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 ; (5) lim n→∞ n n n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 1 1 1 。 2. 利用单调有界数列必定收敛的性质，证明下述数列收敛，并求出极限： (1) x = 1 2 , x = n+1 2 + xn , n = 1 2, ,3,"； (2) x = 1 2 , x = n+1 2xn , n = 1 2, ,3,"； (3) x = 1 2 , x = n+1 − + 1 2 xn , n = 1 2, ,3,"； (4) x = 1, = 1 xn+1 4 3 + xn , n = 1 2, ,3,"； (5) 0＜ x ＜1, = 1 1 xn+1 n − 1− x , n = 1 2, ,3,"； (6) 0＜ x ＜1, = x (2 ), 1 xn+1 n n − x n = 1 2, ,3,"。 3. 利用递推公式与单调有界数列的性质，证明： (1) lim n→∞ 2 3 3 5 4 7 1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 + + " = n n ； 5