习题15.1 1.求下列极限: (1)lim (2) lim 2.设∫(x,y)当y固定时,关于x在{ab]上连续,且当y→y0-时,它关于y单 调增加地趋于连续函数叭(x),证明 lim f(x, y)dr=p(r)dr 3.利用交换积分顺序的方法计算下列积分 (1) dx(b>a>0); Inx (2)|2ln 1+ asin dx (1>a>0) asinx sinx 4.求下列函数的导数 (1)(y)= dx y- cos ry (2)(y)= dx (3)F(=dx sin( 5.设(y)=(x+y)(x,其中为可微函数,求rU) 6.设F(y)=(x1y=xd(a<b),其中fx)为可微函数,求F(y 7.设函数f(x)具有二阶导数,F(x)是可导的,证明函数 u(, )=2V(x-an)+/(x+a ]+2ar-aF(v) 满足弦振动方程 a-u au Ot 以及初始条件(x,0)=f(x),(x0)=F(x)。 ot 8.利用积分号下求导法计算下列积分: (a'-sin x)dx (a>1) In(1-2a cos x+a dx (ak1); (3)2 In(a2sin'x+b2 cos2 x)dx 9.证明:第二类椭圆积分
习 题 15.1 1． 求下列极限： （1） ∫ + → + + α α α 1 0 2 2 0 1 lim x dx ； （2） ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + →∞ 1 0 1 1 lim n n n x dx 。 2． 设 f (x, y) 当 y 固定时，关于 x在[a,b]上连续，且当 y → y0 − 时，它关于 单 调增加地趋于连续函数 y φ(x) ，证明 ∫ = ∫ → − b a b a y y lim f (x, y)dx (x)dx 0 φ 。 3． 利用交换积分顺序的方法计算下列积分： （1） ( 0) ln 1 sin ln 1 0 > > − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ dx b a x x x x b a ； （2） (1 0) 1 sin sin 1 sin ln 2 0 > > − + ∫ a x dx a x a x π 。 4． 求下列函数的导数： （1） = ∫ − ； 2 2 ( ) y y x y I y e dx （2） ∫ = 2 cos ( ) y y dx x xy I y ； （3） ∫ ∫ 。 + − = + − x t x t t F(t) dx sin(x y t )dy 2 2 2 0 2 5． 设 = ∫ + ，其中 为可微函数，求 y I y x y f x dx 0 ( ) ( ) ( ) f I′′( y)。 6． 设 F( y) f (x) | y x | dx (a b) ，其中 为可微函数，求 。 b a = − < ∫ f (x) F′′( y) 7． 设函数 f (x) 具有二阶导数， F(x)是可导的，证明函数 [ ] ∫ + − = − + + + x at x at F y dy a u x t f x at f x at ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( , ) 满足弦振动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 以及初始条件 ( ,0) ( ), (x,0) F(x) t u u x f x = ∂ ∂ = 。 8．利用积分号下求导法计算下列积分： （1） ln( sin ) ( 1) 2 0 2 2 − > ∫ a x dx a π ； （2） ln(1 2 cos ) (| | 1) ； 0 2 − + < ∫ α α α π x dx （3）∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx 。 9．证明：第二类椭圆积分 1
e(k (0<k<1) 满足微分方程 E"(k)+,E'(k)+ E()=0 10.设函数f(u,v)在R2上具有二阶连续偏导数。证明:函数 W(x,y,=)=[f(x+:coso, y+:sinp)do 满足偏微分方程 22wa2 1l.设f(x)在[O,上连续,且f(x)>0。研究函数 xf(x) x +y 的连续性 习题1 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛: cos,dx,y≥a>0; (2) SIn 2x (1) eax,0≤a≤ao; x+a (3) xsin x4 cos aadx,a≤a≤b。 2.说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛: (1) xsIn aa dx,0<a<+0 (2)sind,0<a<2 3.设(在1>0上连续,反常积分/(当=a与L=b时都收敛,证明 ∫。13/()h关于在ab上一致收敛。 4.讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性: (1) +n coSx dx,在y≥y0>0 (2)」ck,在()a<a<b;:(m)-<a<+ (3)「x1n2xdr,在()p≥p>0;(I)p>0 (4)「 e- sin xdx,在(I)a≥ao>0;(I)a>0 5.证明函数F(ax)=「"xa在(0+∞)上连续。 6.确定函数F(y)=「x,的连续范围。 7.设∫。(x)存在。证明(x)的 Laplace变换F()=。e(x)在0+∞)
( ) 1 sin (0 1) 2 0 2 2 = − < < ∫ E k k tdt k π 满足微分方程 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 = − ′′ + ′ + k E k E k k E k 。 10．设函数 f (u, v) 在 2 R 上具有二阶连续偏导数。证明：函数 ∫ = + + π ϕ ϕ ϕ 2 0 w(x, y,z) f (x z cos , y zsin )d 满足偏微分方程 z w z w y w x w z ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 。 11．设 f (x) 在[0,1]上连续，且 f (x) > 0。研究函数 ∫ + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x I y 的连续性。 习 题 15.2 1． 证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛： （1）∫ +∞ 0 +2 2 cos dx x y xy ， y ≥ a > 0； （2）∫ +∞ − 0 + sin 2 e dx x x αx α ，0 ≤ α ≤ α 0 ； （3） ∫ ， +∞ 0 4 x sin x cosαxdx a ≤α ≤ b 。 2．说明下列含参变量反常积分在指定区间上非一致收敛： （1）∫ +∞ 0 + 2 (1 ) sin dx x x x α α ，0 <α < +∞ ； （2）∫ 1 0 1 sin 1 dx x x α ，0 <α < 2。 3．设 f (t)在t > 0上连续，反常积分∫ 当 +∞ 0 t f (t)dt λ λ = a与λ = b 时都收敛，证明 ∫ +∞ 0 t f (t)dt λ 关于λ 在[a,b]上一致收敛。 4．讨论下列含参变量反常积分的一致收敛性： （1）∫ +∞ 0 cos dx x xy ，在 y ≥ y0 > 0； （2）∫ ，在（I） +∞ −∞ − − e dx x 2 ( α ) a <α < b ；（II）− ∞ < α < +∞ ； （3）∫ − ，在（I） ；（II） ； 1 0 1 2 x ln xdx p p ≥ p0 > 0 p > 0 （4）∫ ，在（I） +∞ − 0 e sin xdx αx α ≥ α 0 > 0；（II）α > 0； 5．证明函数 ∫ +∞ = 1 cos ( ) dx x x F α α 在(0,+∞)上连续。 6．确定函数 ∫ − − = π 0 π 2 ( ) sin ( ) dx x x x F y y y 的连续范围。 7．设∫ 存在。证明 的 Laplace 变换 在[ +∞ 0 f (x)dx f (x) ∫ +∞ − = 0 F(s) e f (x)dx sx 0, + ∞) 2
上连续 8.证明函数()= cosx-dx在(-,+∞)上可微 1+(x+1)2 9.利用 ebhy,计算 +oo e dx(b>a>0)。 10.利用 sin bx-sin ax = cos xyd,计算∫ o e-p Sin bx-sin dx b>a>0)。 11.利用 (a>0),计算l= (n为正整数)。 计算g(a) 13.设f(x)在[O,+∞)上连续,且limf(x)=0,证明 +a f(ax)-f(bx) ax=f(0)ln-(a,b>0)。 1.(1)利用“e=x推出1()=“e”7b=xe2(c>0) (2)利用积分号下求导的方法引出=-2L,以此推出与(1)同样的结果, 并计算 b>0)。 利用∫ d t 计算J os Bx dx(a>0)。 习题15.3 1.计算下列积分: (2) √3-cosx (3) (n>0); (4) 1+nd(n>m>0); (6)「 sin x cos2xdx (1+x) (7)‖xme-dx( :(8)∫x(1-x)yk(pn>0) 证明∫。c-d (n为正整数),并推出lm「edh 3.证明r(s)在s>0上可导,且r(s)= 进一步证明 > 4.证明limr(s)=+∞
上连续。 8．证明函数 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) cos ( ) dx x t x I t 在(−∞,+∞) 上可微。 9．利用 ∫ − − − = − b a xy ax bx e dy x e e ，计算∫ +∞ − − − 0 dx x e e ax bx （b > a > 0）。 10．利用 ∫ = − b a xydy x bx ax cos sin sin ，计算 ∫ +∞ − − 0 sin sin dx x bx ax e px （ ， ）。 p > 0 b > a > 0 11．利用∫ +∞ = 0 + 2 a x 2 a dx π （a > 0 ），计算 ∫ +∞ + + = 0 2 1 ( ) n n a x dx I （n为正整数）。 12．计算 ∫ +∞ − = 1 2 2 1 arctan ( ) dx x x x g α α 。 13．设 f (x) 在[0,+∞)上连续，且 lim ( ) = 0 →+∞ f x x ，证明 a b dx f x f ax f bx (0)ln ( ) ( ) 0 = − ∫ +∞ （a,b > 0 ）。 14．（1）利用 0 2 2 π = ∫ +∞ − e dy y 推出 y c c y L c e dy e 2 0 2 ( ) 2 2 2 − +∞ − − = = ∫ π （c > 0）； （2）利用积分号下求导的方法引出 L dc dL = −2 ，以此推出与（1）同样的结果， 并计算∫ +∞ − − 0 2 2 e dy y b ay （a > 0, b > 0 ）。 15．利用 2 2 0 ( 2 2 ) 1 x e dt t x + = ∫ +∞ − + α α ，计算 ∫ +∞ + = 0 2 2 cos dx x x J α β （α > 0）。 习 题 15.3 1． 计算下列积分： （1） ∫ − 1 0 2 x x dx； （2）∫ − π 0 3 cos x dx ； （3） ∫ − 1 0 1n n x dx （n > 0）； （4） ∫ +∞ − 0 + 1 1 dx x x n m （n > m > 0）； （5） dx x x ∫ +∞ 0 + 2 4 (1 ) ； （6）∫ 2 0 2 1 7 sin cos π x xdx ； （7） ∫ （ ）； （8） （ ）。 +∞ − 0 x e dx n m x m, n > 0 ∫ − − − 1 0 1 1 x (1 x ) dx p n q p, q, n > 0 2． 证明 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ ∫ +∞ − n n e dx n x 1 1 0 （n为正整数），并推出lim 1。 0 = ∫ +∞ − →∞ e dx n x n 3． 证 明 在 上可导，且 。进一步证明 （ ）。 Γ(s) s > 0 ∫ +∞ − − Γ′ = 0 1 (s) x e ln xdx s x ( ) ∫ +∞ − − Γ = 0 ( ) 1 (s) x e ln x dx n s x n n ≥ 1 4． 证明 Γ = +∞ →+∞ lim (s) s 。 3
5.计算[nr(x)hx 6.设Ω={(x,y,x)|x2+y2+z2≤l}。确定正数p,使得反常重积分 dxdvdz 收敛。并在收敛时,计算/的值 7.设9={x,y,)x≥0,y20,二≥0}。确定正数a,By,使得反常重积分 dady 收敛。并在收敛时,计算Ⅰ的值 8.计算 1=xml( -x-y)p-drdy 其中D是由三条直线x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域,m,n,p均为 大于0的正数 证明「 tanxdx 10.证明 11+k (0<a<2.0<k<1)。 0s@ k oS SIn--7 11.设0≤h<1,正整数n≥3。证明 J-r)de ti
5． 计算∫ Γ 。 1 0 ln (x)dx 6．设Ω = {(x, y,z) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1}。确定正数 p ，使得反常重积分 ( ) ∫∫∫ Ω − − − = p x y z dxdydz I 2 2 2 1 收敛。并在收敛时，计算 I 的值。 7．设Ω = {(x, y,z) | x ≥ 0, y ≥ 0,z ≥ 0}。确定正数α, β ,γ ，使得反常重积分 ∫∫∫ Ω + + + = α β γ x y z dxdydz I 1 收敛。并在收敛时，计算 I 的值。 8．计算 ∫∫ − − − = − − D m n p I x y x y dxdy 1 1 1 (1 ) ， 其中 D是由三条直线 x = 0， y = 0 及 x + y = 1所围成的闭区域， 均为 大于 0 的正数。 m, n, p 9．证明 2 2cos tan 2 0 απ π π α = ∫ xdx （|α |< 1）。 10．证明 π α π ϕ ϕ ϕ ϕ α π α 2 sin 1 1 1 1 1 cos 1 cos sin 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ − k k k k d （0 < α < 2, 0 < k < 1）。 11．设0 ≤ h < 1，正整数n ≥ 3。证明 ( ) ( ) t dt h n n h n 2 2 1 0 2 3 2 2 (1 ) Γ Γ − ≥ − − ∫ π 。 4
第十五章 第1节 1.(1)x;(2)ln 1+e 2.提示:用反证法证明limf(x,y)=(x)关于x∈[a,b是一致的,即vE>0, 36>0,vy∈(y0-6,y0),x∈ab1:f(x,y)-(x)<6:参考定理1027Dm 定理)的证明方法。 3.(1) arctan(1+b)-arctan1+a);(2) arcsin 4.(1)2ye xex>dx:(2)3cosy'-2 y2 y (3)F(=-210o dxr cos(x+y2-1)dy +25 sin 2xcos2xtdr +22si(t4-t2+y2)d。 5.I"(y)=3f(y)+2yf(y) 6.F"(y)= 2f(y),x∈(a,b (a,b) 8.(1)ln 2:(2)0;(3)zml(|+|bl a+ya 2 显然I(y)在y≠0的点是连续的,因为(0)=0,而limf(y)=f(0), im1(y)=-xf(0),其中f(0)≠0,所以1(y)在y=0点不连续 提示:vs>0,取n>0,使得当0<x<n时,(x)-f(O)<三,则 yf(x) y(0)xk;。对固定的n>0,取>0,使得当04yk6时, k号,于是1a-hk,分别令y→0+与 y→0-,由lm∫0 yf(0) dx=f(o), lim yf(o)dx f(0)和E的任意
第十五章 第 1 节 1．（1） 4 π ；（2） e e 1+ 2 ln 。 2．提示：用反证法证明 lim ( , ) ( ) 0 f x y x y y = φ → − 关于 x ∈[a,b]是一致的，即∀ε > 0， ∃δ > 0， ( , ) 0 0 ∀y ∈ y − δ y ，∀x ∈[a,b]： f (x, y) −φ(x) < ε ；参考定理 10.2.7（Dini 定理）的证明方法。 3．（1）arctan(1+ b) − arctan(1+ a)；（2）π arcsina 。 4．（1） − − − − ∫ − ；（2） 2 5 3 2 2 2 y y y y x y ye e x e dx y y y 3 2 3cos − 2cos （3） = − ∫ ∫ + − + ∫ + − 2 2 0 2 2 2 2 0 ( ) 2 cos( ) 2 sin 2 cos 2 x t t x t t F t t dx x y t dy x xtdx ∫ + − + − + t t t t t t t y dy 2 2 2 sin( ) 4 2 2 。 5． I′′( y) = 3 f ( y) + 2yf ′( y) 。 6． ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ′′ = 0, ( , ). 2 ( ), ( , ), ( ) x a b f y x a b F y 8．（1） 2 1 ln 2 a + a − π ；（2）0；（3） 2 | | | | ln a + b π 。 11．显然 I( y) 在 y ≠ 0的点是连续的，因为 I(0) = 0，而 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = → + ， (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = − → − ，其中 f (0) ≠ 0，所以 I( y) 在 y = 0点不连续. 提示：∀ε > 0，取η > 0 ，使得当0 < x < η 时， π ε f (x) − f (0) < ，则 ∫ + η 0 2 2 ( ) | dx x y yf x 2 | (0) 0 2 2 η ε < + − ∫ dx x y yf 。对固定的η > 0 ，取δ > 0 ，使得当0 <| y |< δ 时， 2 | ( ) | 1 2 2 ε η < + ∫ dx x y yf x ，于是 ∫ + 1 0 2 2 ( ) | dx x y yf x ε η < + − ∫ | (0) 0 2 2 dx x y yf 。分别令 与 ，由 y → 0 + y → 0 − (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = + ∫ → + ， (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = − + ∫ → − 和ε 的任意 1