习题12.1 1.求下列函数的偏导数 (1)z=x3-6x (2)z=xln(x2+y2) (3)z=xy+一 (4)==sin(xy)+cos(xy) (5):=e(cos y+xsin y): (6)2= tan (7)==Sin -.cos -: (8)z=(1+x)y (9)==ln(x+ny) (10)==arctan (11)=e x2+y2+2) (12)t=x (13)l= (14)l=x; (15)=∑a,x1(a为常数) (16) a xiy 2.设∫(x,y)=x+y +y2,求f(34)及f(34)。 3 验证2 0。 x-十 4.曲线 4在点(24,5)处的切线与x轴的正向所夹的角度是多少 4 5.求下列函数在指定点的全微分: (1)f(x,y)=3x2y 在点(1,2) (2)f(x,y)=ln(1+x2+y2),在点(2,4) Inx 在点(01)和,2 6.求下列函数的全微分: (1)z=y2 (2)==xye x十 (3)z= (4)z= (5)l=√x2+y2 (6) 7.求函数z=xe在点P(1,0)处的沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)方向的方向导数。 8.设z=x2-xy+y2,求它在点(1)处的沿方向v=(cosa,sina)的方向导数,并指 (1)沿哪个方向的方向导数最大? (2)沿哪个方向的方向导数最小? (3)沿哪个方向的方向导数为零? 9.如果可微函数∫(x,y)在点(2)处的从点(1,2)到点(2,2)方向的方向导数为2,从点 (1,2)到点(1,1)方向的方向导数为2。求
习 题 12.1 1． 求下列函数的偏导数： （1） ； （2） ； 5 4 2 6 z = x − 6x y + y ln( ) 2 2 2 z = x x + y （3） y x z = xy + ； （4） sin( ) cos ( ) ； 2 z = xy + xy （5） z e (cos y xsin y) ； （6） x = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x z 2 tan ； （7） x y y x z = sin ⋅ cos ； （8） ； y z = (1+ xy) （9） z = ln(x + ln y) ； （10） xy x y z − + = 1 arctan ； （11） ； （12） ( ) 2 2 2 ex x y z u + + = z y u = x (13) 2 2 2 1 x y z u + + = ； （14） ； z y u = x （15） ∑ （ 为常数）； （16） 且为常数。 = = n i i i u a x 1 ai ij ji n i j ij i j u = ∑a x y a = a = , , 1 2． 设 2 2 f (x, y) = x + y − x + y ，求 f x (3,4)及 f y (3,4) 。 3． 设 2 e y x z = ，验证 2 = 0 ∂ ∂ + ∂ ∂ y z y x z x 。 4． 曲线 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 , 4 2 2 y x y z 在点(2,4,5)处的切线与 x 轴的正向所夹的角度是多少？ 5． 求下列函数在指定点的全微分： （1） ，在点 ； 2 2 f (x, y) = 3x y − xy (1,2) （2） ( , ) ln(1 ) ，在点 ； 2 2 f x y = + x + y (2,4) （3） 2 sin ( , ) y x f x y = ，在点(0,1) 和 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ,2 4 π 。 6． 求下列函数的全微分： （1） ； （2） ； x z = y xy z = xy e （3） x y x y z − + = ； （4） 2 2 x y y z + = ； （5） 2 2 2 u = x + y + z ； （6） ln( ) 。 2 2 2 u = x + y + z 7． 求函数 z = x e2 y 在点 P(1,0) 处的沿从点 P(1,0) 到点Q(2,−1)方向的方向导数。 8． 设 ，求它在点 处的沿方向 2 2 z = x − xy + y (1,1) v = (cosα,sinα) 的方向导数，并指 出： （1）沿哪个方向的方向导数最大？ （2）沿哪个方向的方向导数最小？ （3）沿哪个方向的方向导数为零？ 9．如果可微函数 在点 处的从点 到点 方向的方向导数为 2，从点 到点 方向的方向导数为-2。求 f (x, y) (1,2) (1,2) (2,2) (1,2) (1,1) 1
(1)这个函数在点(1,2)处的梯 (2)点(1,2)处的从点(1,2)到点(46)方向的方向导数。 10.求下列函数的梯度 (1)==x+y sin(xy) (2)z=1--+ l=x2+2y2 y-5,在点(1 1l.对于函数∫(x,y)=xy,在第I象限(包括边界)的每一点,指出函数值增加最快 的方向。 12.验证函数 f(x,y)=vx 在原点(00)连续且可偏导,但除方向e和-e;(i=1,2)外,在原点的沿其它 方向的方向导数都不存在 13.验证函数 0 y2=0 在原点(0,0)连续且可偏导,但它在该点不可微。 14.验证函数 f(x, y) y 的偏导函数f1(x,y),Jy(x,y)在原点(00)不连续,但它在该点可微。 15.证明函数 +y2≠0, 0. 0 在原点(0,0)处沿各个方向的方向导数都存在,但它在该点不连续,因而不可微 16.计算下列函数的高阶导数 (1)z= arctan y,求 a-z a-2a ax croy av (2)2=xsin(x+y+ycos(x+y),kozO Ox- andy (3)z=xe”,求03za3 au a4 (4)u=In(ax + by +cr),r-, (5)z=(x-a)"(y-b)”,求 axon (6)tl 17.计算下列函数的高阶微分:
（1）这个函数在点(1,2) 处的梯度； （2）点(1,2) 处的从点(1,2) 到点(4,6) 方向的方向导数。 10. 求下列函数的梯度： （1） sin( ) ； （2） 2 2 z = x + y xy ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − + 2 2 2 2 1 b y a x z ； （3）u x 2y 3z 3xy 4yz 6x 2y 5z ，在点 。 2 2 2 = + + + + + − − (1,1,1) 11. 对于函数 ，在第Ι象限（包括边界）的每一点，指出函数值增加最快 的方向。 f (x, y) = xy 12． 验证函数 3 f (x, y) = xy 在原点(0,0) 连续且可偏导，但除方向ei 和 i − e （i = 1,2 ）外，在原点的沿其它 方向的方向导数都不存在。 13. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在原点(0,0) 连续且可偏导，但它在该点不可微。 14. 验证函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ + + = 0, 0 , 0, 1 ( )sin ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的偏导函数 f x (x, y), f y (x, y) 在原点(0,0) 不连续，但它在该点可微。 15. 证明函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, 2 ( , ) 2 2 2 2 2 4 2 x y x y x y xy f x y 在原点(0,0) 处沿各个方向的方向导数都存在，但它在该点不连续，因而不可微。 16．计算下列函数的高阶导数： （1） x y z = arctan ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （2） z = x sin(x + y) + y cos(x + y) ，求 2 2 2 2 2 , , y z x y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （3） z = x exy ，求 2 3 2 3 , x y z x y z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （4）u = ln(ax + by + cz) ，求 2 2 4 4 4 , x y z x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （5） ，求 p q z = (x − a) ( y − b) p q p q x y z ∂ ∂ ∂ + ； （6） ，求 x y z u xyz + + = e p q r p q r x y z u ∂ ∂ ∂ ∂ + + 。 17．计算下列函数的高阶微分： 2
n(xy),求d (2):=sin(ax +by), d':: I=((( 求dk 18.函数z=f(x,y)满足 =-SIny+ 及f(0,y)=2siny+y ax 求f(x,y)的表达式 9.验证: (1)=c-.smmy)满足热传导方程=k0: (2)= =arctan-满足 Laplace方程,a2u,a2u=0; 20.设∫(r,1)=r"e艹,确定α使得∫满足方程 a-1a(raf 21.求下列向量值函数在指定点的导数 (1)f(x)=( a cos x, bsin x,cx)2,在x=点 (2)∫(x,y)=(3x+e"cot,x+ y- tan=),在1,2.x)点 4 (3)g(u,v)=( u COS 1, u SIn v,v),在(1,)点 2.设∫:R3→R3为向量值函数 (1)如果坐标分量函数f(x,y,)=x,f2(x,y,)=y,f3(x,y,z)=,证明∫的 导数是单位阵; (2)写出坐标分量函数的一般形式,使∫的导数是单位阵; (3)如果已知∫的导数是对角阵dag(p(x),q(y),r(二),那么坐标分量函数应该 具有什么样的形式? 习题12.2 1.利用链式规则求偏导数 d= tan(3t (2)z=e x=Sint,y=t,求 (3) e a2+1,y=asin x, ==cosx, dw (4)==u2Inv x
（1） z = x ln(xy) ，求d2 z ； （2） sin ( ) ，求 ； 2 z = ax + by z 3 d （3） e ( ) ，求 ；； 2 2 2 u x y z x y z = + + + + u3 d （4） z y ，求 。 x = e sin z k d 18．函数 z = f (x, y) 满足 xy y x z − = − + ∂ ∂ 1 1 sin ，及 。 3 f (0, y) = 2sin y + y 求 f (x, y) 的表达式。 19．验证： （1） e sin( ) 满足热传导方程 2 z ny −kn x = 2 2 y z k x z ∂ ∂ = ∂ ∂ ； （2） y x u = z arctan 满足 Laplace 方程 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u ； 20．设 t r f r t t 4 2 ( , ) e − = α ，确定α 使得 f 满足方程 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ r f r t r r f 2 2 1 。 21．求下列向量值函数在指定点的导数： （1） ，在 T f (x) = (a cos x,bsin x,cx) 4 π x = 点； （2） ，在 3 2 T (x, y,z) (3x e cot z, x y tan z) y f = + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 1, 2, π 点； （3） ，在 T g(u,v) = (u cos v,u sin v,v) (1,π ) 点。 22．设 为向量值函数。 3 3 f : R → R （1）如果坐标分量函数 f (x, y,z) = x, f (x, y,z) = y, f (x, y,z) = z 1 2 3 ，证明 的 导数是单位阵； f （2）写出坐标分量函数的一般形式，使 f 的导数是单位阵； （3）如果已知 f 的导数是对角阵diag( p(x),q( y),r(z))，那么坐标分量函数应该 具有什么样的形式？ 习 题 12.2 1．利用链式规则求偏导数： （1） y t t z = t + x − y x = , = 1 tan(3 2 ), 2 2 ，求 t z d d ； （2） ，求 2 3 z e , x sin t, y t x y = = = − 2 2 d d t z ； （3） 1 ( ) 2 + − = a e y z w ax ， y = a sin x ， z = cos x ，求 x w d d ； （4） v x y y x z u ln v, u , 3 2 2 = = = − ，求 y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , ； 3
二= y sinx,求 (6)w=(x+y+z)sin(x+y+2),x=te, y=e, i=e+,*R (7)==x+y+cos(x+y), x=u+v, y=arcsin, *R 以下假设∫具有二阶连续偏导数。 (8)t= a-ua-u ay andy ay (9)u=f(+y +22) s Ou au Ou au au ax ay a= 0x2'axoy (10)W=f(x,y,2),x=+,y=-,==m,求y 2.设f(x,y具有连续偏导数,且f(x,x2)=1,f(x,x2)=x,求f(x,x2) 3.设∫(x,y)具有连续偏导数,且f(1,1)=1,J(l,1)=2,f,(1,1)=3。如果 qp(x)=f(x,f(x,x),求φ'(1)。 2 其中∫()具有连续导数,且∫()≠0,求 I az 1 az 5.设z= arctan-,x=l1+,y=l-v,验证 l-1 6.设φ和v具有二阶连续导数,验证 (1)=1y0(x2-y)满足y2+x (2)l=(x-a)+(x+a)满足波动方程a202n a-u 022q 7.设z=∫(x,y)具有二阶连续偏导数,写出 在坐标变换 u=x-y =2 下的表达式。 8.设(x)=「e,求x-21+2f y ax andy x ay 9.如果函数∫(x,y)满足:对于任意的实数t及x,y,成立 f(ox, ty)=t"fo 那么∫称为n次齐次函数。 (1)证明n次齐次函数∫满足方程
（5） ， ，求 2 2 2 x y z u e + + = z y sin x 2 = y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （6） ( )sin( ) ， ， ， ，求 2 2 2 w = x + y + z x + y + z s x = te t y = e s t z e + = t w s w ∂ ∂ ∂ ∂ , ； （7） cos( ) ， 2 2 z = x + y + x + y x = u + v ， y = arcsin v ，求 v u z u z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , ； 以下假设 f 具有二阶连续偏导数。 （8） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x u f xy, ，求 2 2 2 , , , y u x y u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ； （9） ( ) ，求 2 2 2 u = f x + y + z x y u x u z u y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 , , , , ； （10） w = f (x, y,z) ， x = u + v ， y = u − v ， z = uv ，求 u v w v w u w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 , , 。 2．设 f (x, y) 具有连续偏导数，且 ( , ) 1， ，求 。 2 f x x = f x x x x ( , ) = 2 ( , ) 2 f x x y 3 ． 设 f (x, y) 具 有 连续偏 导 数，且 f (1,1) = 1 ， f x (1,1) = 2 ， f y (1,1) = 3 。如果 ϕ(x) = f (x, f (x, x))，求ϕ′(1) 。 4．设 ( ) 2 2 f x y y z − = ，其中 f (t) 具有连续导数，且 f (t) ≠ 0 ，求 y z x y z x ∂ ∂ + ∂ 1 ∂ 1 。 5．设 y x z = arctan ， x = u + v ， y = u − v ，验证 2 2 u v u v v z u z + − = ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 6．设ϕ 和ψ 具有二阶连续导数，验证 （1） ( )满足 2 2 u = yϕ x − y u y x y u x x u y = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； （2）u = ϕ(x − at) +ψ (x + at) 满足波动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ 。 7．设 z = f (x, y) 具有二阶连续偏导数，写出 2 2 2 2 y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 在坐标变换 ⎩ ⎨ ⎧ = = − v xy u x y 2 , 2 2 下的表达式。 8．设 = ∫ − ，求 xy t f x y e dt 0 2 ( , ) 2 2 2 2 2 2 y f x y x y f x f y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ 。 9．如果函数 f (x, y) 满足：对于任意的实数t 及 x, y ，成立 f (tx,ty) t f (x, y) n = ， 那么 f 称为 n 次齐次函数。 （1） 证明 n 次齐次函数 f 满足方程 nf y f y x f x = ∂ ∂ + ∂ ∂ ； 4
az (2)利用上述性质,对于二=√x2+y2求出x)a +g|,其中∫具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求 a-z 设 andy 11.设向量值函数∫:R2→R的坐标分量函数为 x=l-+1 向量值函数g:R2→R2的坐标分量函数为 u=cost 求复合函数∫°g的导数 12.设=f(x1),=g(x,),y=0x,y),求ao,m,cn ax ay az In x2+y ctan2,求d 设 2=(x-+ 求dz 15.求下列函数的全微分: (1)=f(ax2+by2+cx2) (2)a=f(x+y,xy); (3)l=/mx2+y2+x2),e"-) 16.设f()具有任意阶连续导数,而u=f(ax+by+c)。对任意正整数k,求d4u。 17.设函数二=f(x,y)在全平面上有定义,具有连续的偏导数,且满足方程 xf(x, y)+yf, (x,y)=0 证明:f(x,y)为常数 l8.设n元函数∫在R”上具有连续偏导数,证明对于任意的x=(x1,x2,…,xn y=(y1,y2,…yn)∈R",成立下述 Hadamard公式 f()-f(x)=∑(y-x)(x+1(y-x) 习题123 1.对函数∫(x,y)= Sin x cos y应用中值定理证明:存在θ∈(0,1),使得 3丌 0丌 -cOs-COS 433 6636 2.写出函数f(x,y)=3x3+y3-2x2y-2xy2-6x-8y+9在点(1,2)的 Taylor展开式 3.求函数f(x,y)= sin x In(+y)在(0,0)点的 Taylor展开式(展开到三阶导数为止) 4.求函数f(x,y)=e*’在(0,0)点的n阶 Taylor展开式,并写出余项。 5.设f(x,y) cos)
（2） 利用上述性质，对于 2 2 z = x + y 求出 y z y x z x ∂ ∂ + ∂ ∂ 。 10．设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = y x g y x z f xy, ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 11．设向量值函数 f ： 2 R → 3 R 的坐标分量函数为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = + . , , 2 2 2 2 z uv y u v x u v 向量值函数 g ： 2 R → 2 R 的坐标分量函数为 ⎩ ⎨ ⎧ = = sin . cos , θ θ v r u r 求复合函数 f D g 的导数。 12．设 w = f (x,u, v) ，u = g( y,z) ，v = h(x, y) ，求 z w y w x w ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , 。 13．设 z = uv ， 2 2 u = ln x + y ， x y v = arctan ，求 dz 。 14．设 x y z x y e arctan 2 2 ( ) − = + ，求 dz 和 x y z ∂ ∂ ∂ 2 。 15．求下列函数的全微分： （1） ( ) ； 2 2 2 u = f ax + by + cz （2）u = f (x + y, xy) ； （3） ( ) x y z u f x y z e + + = ln(1+ + + ), 2 2 2 。 16．设 f (t) 具有任意阶连续导数，而u = f (ax + by + cz) 。对任意正整数k ，求dk u 。 17. 设函数 z = f (x, y)在全平面上有定义，具有连续的偏导数，且满足方程 xf x (x, y) + yf y (x, y) = 0 , 证明： f (x, y) 为常数。 18．设n 元函数 f 在 n R 上具有连续偏导数，证明对于任意的 x = ( , , , ) 1 2 n x x " x ， ( , , , ) 1 2 n y = y y " y n ∈ R ，成立下述 Hadamard 公式： ∑∫ = + − ∂ ∂ − = − n i i i i t dt x f f f y x 1 1 0 (y) (x) ( ) (x (y x)) 。 习 题 12.3 1．对函数 f (x, y) = sin x cos y 应用中值定理证明：存在θ ∈ (0, 1) ，使得 6 sin 3 sin 6 6 cos 3 cos 4 3 3 π πθ πθ π πθ πθ = − 。 2．写出函数 ( , ) 3 2 2 6 8 9在点 的 Taylor 展开式。 3 3 2 2 f x y = x + y − x y − xy − x − y + (1,2) 3．求函数 f (x, y) = sin x ln(1+ y) 在(0,0) 点的 Taylor 展开式（展开到三阶导数为止）。 4．求函数 在 点的 阶 Taylor 展开式，并写出余项。 x y f x y + ( , ) = e (0,0) n 5．设 , 0 cos ( , ) = x > x y f x y . 5