习题6. 1.求下列不定积分 (1)「(x3+2x2-5yx)dx (2)(sin x+3e")dx (3)J(xa+a")dx (5)(2csc4x-sec x tan x )dx (6)(x2-2)'dx √x+ 2x+ d x dx 3 2 dx (2 cOSx-SInx 1+x 0j(1-x2)x√xd coS 2x dx 2.曲线y=f(x)经过点(e,-1),且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数,求该曲 线的方程 3.已知曲线y=f(x)在任意一点(x,∫(x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少1, (1)求出该曲线方程的所有可能形式,并在直角坐标系中画出示意图 (2)若已知该曲线经过(,1)点,求该曲线的方程。 习题6.2 1.求下列不定积分 dx (1) e ∫(2+32)dt d ()∫ sins xdx; (9) sin 5x cos 3xdx cos- orax
习 题 6.1 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ ( ) x x x d 3 2 ∫ + − 2 5 x x x ; ⑵ (sin x d e ) x ∫ + 3 ; ⑶ ( ) x a d a x ∫ + ; ⑷ ∫(2 + cot x)dx 2 ; ⑸ ∫(2csc x − sec x tan x)dx 2 ; ⑹ ( ) x d 2 3 ∫ − 2 x ; ⑺ ( ) x x ∫ + dx 1 2 ; ⑻ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + dx x x x 1 1 1 1 3 2 ; ⑼ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + dx x x 2 3 1 2 ; ⑽ 2 3 5 2 3 ⋅ − ⋅ ∫ x x x dx ; ⑾ cos cos sin 2x x x dx − ∫ ; ⑿ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + dx x x 2 2 1 3 1 2 ; ⒀ ( ) 1 2 ∫ − x x x dx ; ⒁ cos cos sin 2 2 2 x x x ∫ dx . ⒉ 曲线 经过点(e ，且在任一点处的切线斜率为该点横坐标的倒数，求该曲 线的方程。 y f = (x) ,−1) 3．已知曲线 y f = (x) 在任意一点(x, f (x))处的切线斜率都比该点横坐标的立方根少 1， （1） 求出该曲线方程的所有可能形式，并在直角坐标系中画出示意图； （2） 若已知该曲线经过( , 11) 点，求该曲线的方程。 习 题 6.2 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 3 x − ∫ ; ⑵ dx 1 2x 2 − ∫ ; ⑶ dx x x e e − − ∫ ; ⑷ e3 2 x dx + ∫ ; ⑸ ( ) 2 3 x x 2 ∫ + dx ; ⑹ 1 2 5 2 + ∫ x dx ; ⑺ sin5 ∫ xdx ; ⑻ ∫ x xdx 10 2 tan sec ; ⑼ ∫sin 5x x cos3 dx ; ⑽ cos2 ∫ 5xdx ; 1
0D(2x+4)d in√x x2dx dx sin x (6 (arcsin x √-x2 dx 9「tan√l+x sin x cosx dx 1+sin +x 2.求下列不定积分 (1) (2)f-女 (3)/arc tan N 1+In x(1+x) (x In x) x-(x+ (7) 0) dx d x x+a 00jx2Ⅵ-xd dx √1-
⑾ ( ) ( ) 2 4 4 5 2 2 x dx x x + + + ∫ ; ⑿ sin x x ∫ dx ; ⒀ x dx x 2 4 3 1 2 − ∫ ; ⒁ ∫ − dx 1 sin x 1 ; ⒂ sin cos sin cos x x x x dx + − ∫ 3 ; ⒃ dx (arcsin x x )2 2 1− ∫ ; ⒄ dx x x 2 − 2 2 + ∫ ; ⒅ 1 9 4 2 − − ∫ x x dx ; ⒆ ∫ + + dx x x x 2 2 1 tan 1 ; ⒇ sin cos sin x x x dx 1 4 + ∫ . ⒉ 求下列不定积分： ⑴ dx x 1 2 + ∫ e ; ⑵ dx x x 1 2 + ∫ ; ⑶ ∫ + dx x x x (1 ) arc tan ; ⑷ 1 2 + ∫ ln ( ln ) x x x dx . ⑸ ∫ ( ) x x − + 1 2 ( ) d 20 x ; ⑹ x x dx 2 n ( +1) ∫ ; ⑺ dx x x 4 2 1+ ∫ ; ⑻ x x dx 2 − 9 ∫ ; ⑼ dx ( ) 1 x 2 3 − ∫ ; ⑽ dx ( ) x a 2 2 + ∫ 3 ; ⑾ x a x a dx − + ∫ ; ⑿ x x a x dx 2 − ∫ ; ⒀ dx 1 2 + x ∫ ; ⒁ x x 2 3 ∫ 1− dx ; ⒂ dx x x 2 −1 ∫ ; ⒃ x a x dx 2 2 2 − ∫ ; ⒄ a x x dx 2 2 4 − ∫ ; ⒅ dx 1 1 x 2 + − ∫ ; 2
dx d x 3.求下列不定积分 (2)∫xlmx-1) (5)」xcos2xotx; (6)arcsin x dx (7)arc tan xdx (8)x2arctanxdx csin x (9)x tan xdx Awda (3)e sin 5xdx d x ∫cos(nx)t; a∫( arcsin x)akx; √x 4.已知f(x)的一个原函数为 sInx 1+xsin x 求∫(x)f(x 5.设∫(sin2x)=cos2x+tan2x,求f(x)。 6.设∫(nx)= 求∫f( 7.求不定积分 COS x dx与 sIn x dx sin x+ cos x sin x+ cos x 8.求下列不定积分的递推表达式(n为正整数): Cos x dx d x
⒆ ∫ − dx x x 4 3 15 ( 1) ; ⒇ ∫ + dx x x n ( 1) 1 ; ⒊ 求下列不定积分： ⑴ x dx e2 ∫ x x dx ; ⑵ ∫ x x ln( −1) d ; ⑶ x x 2 ∫ sin 3 ; ⑷ x x dx sin2 ∫ ; ⑸ x x cos d 2 ∫ x ; ⑹ ∫ arcsin x dx ; ⑺ ∫ arc tan xdx ; ⑻ ∫ x arc tan xdx 2 ; ⑼ ∫ x xdx 2 tan ; ⑽ arcsin x x dx 1− ∫ ; ⑾ ln2 ∫ x dx ; ⑿ x x d 2 ∫ ln x ; ⒀ e sin − ∫ x 5xdx ; ⒁ e sin x x dx 2 ∫ ; ⒂ ln3 2 x x ∫ dx ; ⒃ ∫ cos(ln x d) x ; ⒄ (arcsin x) dx 2 ∫ ; ⒅ x dx ∫ e x ; ⒆ e x dx + ∫ 1 ; ⒇ ln(x x + + ) ∫ 1 2 dx . 4． 已知 f (x) 的一个原函数为 x x x 1 sin sin + ，求 ∫ f (x) f ′(x)dx 。 5．设 f x x x ，求 。 2 2 ′(sin ) = cos 2 + tan f (x) 6．设 x x f x ln(1 ) (ln ) + = ，求 ∫ f (x)dx 。 7. 求不定积分 ∫ + dx x x x sin cos cos 与 ∫ + dx x x x sin cos sin 。 8．求下列不定积分的递推表达式（ n 为正整数）： ⑴ I n = ∫ xdx n sin ; ⑵ I n = ∫ xdx n tan ; ⑶ I n = dx x n cos ∫ ; ⑷ I n = x x d n ∫ sin x ; ⑸ I n = e sin x n ∫ x dx ; ⑹ I n = ∫ x xdx n ln α ; ⑺ I n = x x dx n 1 2 − ∫ ; ⑻ I n = dx x x n 1+ ∫ . 3
9.导出求∫(ax+b)dx (ax b)dx x2+22x+n2 和∫(ax+b)√x2+2x+n2d型不定积 分的公式。 10.求下列不定积分: )」(5x+3x2+x+2 (2)j(x-l) 1.设n次多项式p(x)=∑ax,系数满足关系∑,=0,证明不定积分 ∫p是初等面数 习题6.3 1.求下列不定积分 ax-1)x+1 (x2-1)(x2+1) dx (x+1)(x+2)2(x+3)3 (x2+4x+4)(x2+4x+5)2 (7)∫x+5x+4 2+5x+4ax x3+5x-6 0 dx dx (x2+x+1)2 x(1+x7) ax2 +bx+c 2.在什么条件下,f(x) x(x+1的原函数仍是有理函数?
9．导出求 ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η ， ( ) ax b dx x x + + + ∫ 2 2 2ξ η 和 ∫ ( ) ax + + b x x + dx 2 2ξ η2 型不定积 分的公式。 10．求下列不定积分: ⑴ ( ) 5 3 2 2 ∫ x x + + x + dx ; ⑵ ∫ ( ) x x − + 1 2x − 5 2 dx ; ⑶ ( ) x dx x x − + + ∫ 1 1 2 ; ⑷ ( ) x dx x x + + − ∫ 2 5 2 . 11． 设 n 次多项式 p x ai x ,系数满足关系 i n i ( ) = = ∑ 0 ∑= = − n i i i a 1 0 ( 1)! ，证明不定积分 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e dx x p 1 x 是初等函数。 习 题 6.3 ⒈ 求下列不定积分： ⑴ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 1 1 2 ； ⑵ 2 3 1 1 2 2 x x x dx + − + ∫ ( )( ) ； ⑶ x dx ( ) x x + + ( ) (x + ) ∫ 1 2 3 2 3 ； ⑷ dx ( ) x x (x x 2 2 + + 4 4 + + 4 5 ∫ )2 ； ⑸ 3 1 3 x dx + ∫ ； ⑹ dx x x 4 2 + +1 ∫ ； ⑺ x x x x dx 4 2 5 4 5 4 + + + + ∫ ； ⑻ x x x dx 3 3 1 5 6 + + − ∫ ； ⑼ x x dx 2 4 1− ∫ ； ⑽ dx x 4 +1 ∫ ； ⑾ dx ( ) x x( x 2 2 + + 1 1 + ∫ ) ； ⑿ x x x dx 2 3 1 1 + − ∫ ( ) ； ⒀ x x x dx 2 2 2 2 1 + + + ∫ ( ) ； ⒁ 1 1 7 7 − + ∫ x x x dx ( ) ； ⒂ x x x dx 9 10 5 2 ( ) + + 2 2 ∫ ； ⒃ x x dx n n 3 1 2 2 1 − + ∫ ( ) 。 ⒉ 在什么条件下， f x ax bx c x x ( ) ( ) = + + + 2 2 1 的原函数仍是有理函数？ 4
设p(x)是一个n次多项式,求 (x-a)m4 4.求下列不定积分 d (1) dx (x-a)(b-x) x dx d dx +1+ dx dx (7) x(1+x) 1+ 0) (x+1) dx (x-2)(x+1)2 5.设R(u,v,)是u,v,w的有理函数,给出 R(x √b+x)d 的求 6.求下列不定积分: 4+5 2+sin x 3+sin2x 1+sin x +cosx d x sin(x +a)cos(x +b) (9) tan tan(x+ a)dx
⒊ 设 p x 是一个 次多项式，求 n ( ) n p x x a dx n n ( ) ( ) − + ∫ 1 。 ⒋ 求下列不定积分： ⑴ x x dx 2 4 + ∫ ； ⑵ dx ( ) x a − − (b x ∫ ) ； ⑶ x x x dx 2 2 1+ − ∫ ； ⑷ x x x dx 2 4 1 1 + + ∫ ； ⑸ x x x x dx + − − + + − ∫ 1 1 1 1 ； ⑹ x x dx + − ∫ 1 1 ； ⑺ dx x x ( ) 1+ ∫ ； ⑻ dx x x 4 2 1+ ∫ ； ⑼ dx x x + ∫ 4 ； ⑽ ∫ + − dx x x 3 8 2 ( 1) ( 4) 。 ⑾ dx ( ) x x − + ( ) ∫ 2 1 3 2 ； ⑿ dx x x 14 4 + ∫ ； ⒌ 设 R u( , v, w) 是u v, ,w 的有理函数，给出 ∫ R x( , a + + x , b x ) dx 的求法。 ⒍ 求下列不定积分： ⑴ dx 4 5 + x ∫ cos ； ⑵ dx 2 + x ∫ sin ； ⑶ dx 3 x 2 + ∫ sin ； ⑷ dx 1+ + x x ∫ sin cos ； ⑸ dx 2 5 sin x − + cos x ∫ ； ⑹ dx ( c 2 + os x x )sin ∫ ； ⑺ ∫ x + x dx tan sin ； ⑻ dx sin(x a + + ) cos(x b) ∫ ； ⑼ ∫ tan x tan(x + a)dx ； ⑽ sin cos sin cos x x x x dx + ∫ ； 5