习题7.1 1.用定义计算下列定积分 (1)L(ax+b)dx (2)a*dx(a>0) 2.证明,若对[a,b]的任意划分和任意5∈【x,x,极限m∑f()x都存在,则 f(x)必是[a,b]上的有界函数。 3.证明 Darboux定理的后半部分:对任意有界函数f(x),恒有 lim S(P)=l 4.证明定理713 5.讨论下列函数在[0,1]的可积性 1,x为有理数, (1)f(x)= ∫￥-H,x≠0, (2)f(x)= 0 1,x为无理数; 「0,x为有理数, (3)f(x)= x,x为无理数 (4)f( J sgn(sin),x≠0 x=0 6.设f(x)在[a,b]上可积,且在[a,b上满足|f(x)m>0(m为常数),证明一一在 [a,b上也可积。 7.设有界函数f(x)在[a,b]上的不连续点为{xn}m1,且 lim x存在,证明∫(x)在[a,b 上可积 8.设∫(x)是区间[a,b]上的有界函数。证明f(x)在[a,b]上可积的充分必要条件是对任 意给定的E>0与0>0,存在划分P,使得振幅O,≥E的那些小区间[x1,x]的长 度之和∑Ax<a(即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小) 42E 9.设f(x)在[a,b]上可积,A≤f(x)≤B,g(u)在[A,B上连续,证明复合函数g(f(x) 在[a,b上可积 习题7.2 设f(x)在[a,b上可积,g(x)在{a,b上定义,且在[a,b]中除了有限个点之外,都有 f(x)=g(x),证明g(x)在[a,b上也可积,并且有 ∫f(x)lx=」,g(x)dk。 2.设∫(x)和g(x)在[a,b]上都可积,请举例说明一般有 f(x)g(x)d≠f(x)d 8(x)a 证明:对任意实数a.c,只要f(x),fx和f(x)k女都存在,就成立 f()dx=f(r)dx+lf(x)dx 4.判断下列积分的大小 )xd和xdx (2)xdx和」x2dx (3)J,G)dx和2d (4)2 sin xdx和|2xdx
习 题 7.1 ⒈ 用定义计算下列定积分： ⑴ ∫ ( ) ax + b dx 0 1 ; ⑵ a dx x 0 1 ∫ ( a > 0 ). ⒉ 证明，若对[ , a b]的任意划分和任意ξ i ∈ [ , x x i−1 i] ，极限 都存在，则 必是[ , 上的有界函数。 ∑= → ∆ n i i i f x 1 0 lim (ξ ) λ f (x) a b] ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数 f x( )，恒有 lim ( ) λ→ = 0 S P l 。 ⒋ 证明定理 7.1.3。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性： ⑴ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = − ≠ = 0, 0; [ ], 0, 1 1 x x x x ⑵ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧− = 1, ; 1, , 为无理数 为有理数 x x ⑶ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = , ; 0, , 为无理数 为有理数 x x x ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0. sgn(sin ), 0, x x x π 6. 设 f (x)在[ , a b]上可积，且在[ , a b]上满足| f (x) |≥ m > 0（ m 为常数），证明 ( ) 1 f x 在 [ , a b]上也可积。 7． 设有界函数 在[ , 上的不连续点为{ } ，且lim 存在，证明 在[ , 上可积。 f (x) a b] xn n= ∞ 1 n n x →∞ f x( ) a b] 8． 设 是区间 上的有界函数。证明 在 上可积的充分必要条件是对任 意给定的 f (x) [a,b] f (x) [a,b] ε > 0与σ > 0 ，存在划分 P ，使得振幅ω ≥ ε i 的那些小区间 的长 度之和 （即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。 [ , ] i 1 i x x − ∑≥ ∆ < ω ε σ i i x 9. 设 f (x)在[ , a b]上可积，A f ≤ ( ) x ≤ B , 在[ , 上连续，证明复合函数 在[ , 上可积。 g(u) A B] g f ( (x)) a b] 习 题 7.2 1． 设 在[ , 上可积， 在[ , 上定义，且在[ , 中除了有限个点之外，都有 ，证明 在[ , 上也可积，并且有 f x( ) a b] g x( ) a b] a b] f x( ) = g(x) g x( ) a b] f x dx g x dx a b a b ( ) ( ) ∫ = ∫ 。 2．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，请举例说明一般有 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ∫ ∫ ∫ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。 3． 证明：对任意实数 a,b, c ，只要 a f x dx ， 和 都存在，就成立 b ( ) ∫ f x dx a c ( ) ∫ f x dx c b ( ) ∫ f x dx f x dx f x dx a b a c c b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 。 4．判断下列积分的大小： ⑴ 0 xdx 和 ； 1 ∫ x dx 2 0 1 ∫ ⑵ 1 xdx 和 ； 2 ∫ x dx 2 1 2 ∫ ⑶ ( ) 1 2 2 1 x dx − − ∫ 和 0 2 ； 1 x ∫ dx ⑷ sin xdx 0 2 π ∫ 和 xdx 0 2 π ∫ 。 1
5.设∫(x)在[a,b上连续,f(x)≥0但不恒为0,证明 f(x )dx>0 6.设f(x)在[a,b上连续,且∫f2(x)x=0,证明f(x)在[a,b]上恒为0 7.设函数∫(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且满足 b 证明:存在ξ∈(an,b),使得∫(5)=0 8.设q(1)在[0,a]上连续,f(x)在(-∞,+∞)上二阶可导,且∫"(x)≥0。证明 o Jo p( iro f(o()dr 9.设∫(x)在[0,1上连续,且单调减少,证明对任意a∈[0,1,成立 0.( Young不等式)设y=f(x)是[0,∞)上严格单调增加的连续函数,且f(0)=0,记 它的反函数为x=f-(y)。证明 f(x)dx+f-(y)dy2ab (a>0, b>0). 1l.证明定积分的连续性:设函数f(x)和f(x)=f(x+h)在a,b]上可积,则有 lim, (x)-f(x)ldx=0 12.设∫(x)和g(x)在[a,b]上都可积,证明不等式 (1)( Schwarz不等式)f(x)g(x)xsf(x)d:g2(x)x; 2)0mk+(0+8r+g(M 13.设f(x)和g(x)在[a,b]上连续,且f(x)≥0,g(x)>0,证明 limT()]g(x)dx =maxf(x) 习题7.3 1.设函数∫(x)连续,求下列函数F(x)的导数: (1)F(x)=Jf(1)d )F(x)=f()d; 2.求下列极限: cos t 2 dt (1)l1m x (2)lim 1 (arc tan)dv (3)1im (4)lm
5．设 f x( )在[ , a b]上连续， f x( ) ≥ 0 但不恒为 0，证明 f x dx a b ( ) ∫ > 0 。 6．设 f x( )在[ , a b]上连续，且 a f x dx ，证明 在[ , 上恒为 0。 b 2 ∫ ( ) = 0 f x( ) a b] 7．设函数 f (x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且满足 ( ) ( ) 2 2 f x dx f b b a a b a = − ∫ + 。 证明：存在ξ ∈ (a,b) ，使得 f ′(ξ ) = 0 。 8．设ϕ(t) 在[0, a]上连续， f (x) 在(−∞,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) ≥ 0 。证明 ⎟ ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ a t dt a f 0 ( ) 1 ϕ ∫ a f t dt a 0 ( ( )) 1 ϕ 。 9．设 f x( )在[0,1]上连续，且单调减少，证明对任意α ∈[0,1]，成立 ∫ ∫ ≥ 1 0 0 f (x)dx α f (x)dx α 。 10．（Young 不等式）设 y f = (x) 是[ , 0 ∞) 上严格单调增加的连续函数，且 ，记 它的反函数为 f (0) = 0 x f = y −1( ) 。证明 + ∫ a f x dx 0 ( ) f y dy ab b − ∫ ≥ 1 0 ( ) （a > 0 0 , b > ）。 11． 证明定积分的连续性：设函数 f x( )和 f x h ( ) = f x( ) + h 在[ , a b]上可积，则有 lim | ( ) ( )| h h a b f x f x dx → ∫ − = 0 0 。 12．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上都可积，证明不等式 (1) （Schwarz 不等式） ； ∫ ∫ ∫ ≤ ⋅ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx 2 2 2 (2) （Minkowski 不等式）{ } { } { }2 1 2 2 1 2 2 1 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ + ≤ + b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 。 13．设 f x( )和 g x( )在[ , a b]上连续，且 f (x) ≥ 0 ， g(x) > 0，证明 lim{ [ ( )] ( ) } max ( ) 1 f x g x dx f x a x b n b a n n→∞ ≤ ≤ = ∫ 。 习 题 7.3 ⒈ 设函数 f x( )连续，求下列函数 F x( ) 的导数： ⑴ F x( ) = f t dt x b ( ) ∫ ; ⑵ F x( ) = f t dt a x ( ) ln ∫ ; ⑶ F x( ) = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫ + x tdt a dt t 0 2 sin 2 1 1 . ⒉ 求下列极限： ⑴ lim cos x x t dt → x ∫ 0 2 0 ; ⑵ lim e cos x w x x dw → − ∫ 0 2 1 2 ; ⑶ 2 0 2 1 (arc tan ) lim x v dv x x + ∫ →+∞ ; ⑷ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ →+∞ x u x u x e du e du 0 2 2 0 2 2 lim 。 2
f(rdn 3.设∫(x)是D0,+∞)上的连续函数且恒有f(x)>0,证明g(x)= 是定义在 ∫nf(n)dt [0,+∞)上的单调增加函数 4.求函数f(x)=(t-1)(-2)2d的极值。 5利用中值定理求下列极限 n+p sin x (1)lim dt dt(p∈N 6.求下列定积分 )x2(2-x2)dx (2x+3x)2ax; x(1-4x2)dx (x+D)dx (x2+2x+5)2 rcsin x CoS- x ex sinx dx (10)」sin(lnx)dx; (11)x2arc tanxdx (2)「x2lm(x-1)d (14)le d x (15) d x x (19) dx 7.求下列极限: (p>0) 丌 li (n-1) 8求下列定积分: (1) (a2-x2)" dx x2(1-4x2)0dx 6)1 9.设f(x)在[0,1上连续,证明: (1) Jf(cos x)dx=f(sin x)dx
⒊ 设 f x( )是[ , 0 + ∞) 上的连续函数且恒有 f x( ) > 0 ，证明 g x t f t dt f t dt x x ( ) ( ) ( ) = ∫ ∫ 0 0 是定义在 [ , 0 + ∞) 上的单调增加函数。 4. 求函数 的极值。 ∫ = − − x f x t t dt 0 2 ( ) ( 1)( 2) 5 利用中值定理求下列极限： ⑴ lim n n x x dt →∞ + ∫ 1 0 1 ; ⑵ lim sin n n n p x x dt →∞ + ∫ ( p ∈ N ) 。 6. 求下列定积分： ⑴ x x 2 2 2 0 1 ∫ ( ) 2 − dx ; ⑵ ( ) x x( x ) x dx − − + ∫ 1 1 2 2 1 2 2 ; ⑶ ( ) 2 3 2 0 2 x x ∫ + dx ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 10 x(1 4x ) dx ; (5) ( ) ( ) x dx x x + + + −∫ 1 2 5 1 2 2 1 ; (6) arcsin x dx 0 1 ∫ ; (7) x x dx cos2 4 4 −∫ π π ; (8) ∫ 4 0 2 tan π x xdx ; (9) e sin x x dx 2 0 2 π ∫ ; (10) sin(ln ) e x dx 1 ∫ ; (11) ∫ 1 0 2 x arc tan xdx ; (12) x x d 2 1 1 ln( 1) e − + ∫ x 。 (13) x d 3 x 0 2 2 e ln − ∫ x ; (14) ∫ + 1 0 2 1 e dx x ; (15) dx x 1 0 2 1 + ∫ e ; (16) dx ( ) 1 x 2 3 1 2 1 2 − −∫ ; (17) ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 − 0 4 1 1 dx x x ; (18) x x dx 2 0 4 1 1 1 + + ∫ ; (19) dx x x 1 1 2 2 + ∫ ; (20) x x x dx 2 0 1 − ∫ ; 7. 求下列极限： ⑴ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + + →∞ 2 2 2 2 1 2 3 1 lim n n n n n n " ; ⑵ lim n p p p p n →∞ n + 1 2 + + 3 + + 1 " p ( p > 0 ); ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + →∞ n n n n n n π π ( 1)π sin 2 sin sin 1 lim " 。 8. 求下列定积分： ⑴ cosn xdx 0 π ∫ ; ⑵ sinn x dx −∫ π π ; ⑶ ( ) a x dn a 2 2 0∫ − x ; ⑷ ∫ − 2 1 0 2 2 10 x (1 4x ) dx ; (5) ∫ 1 0 x ln xdx n m ; (6) ∫ e n x xdx 1 ln . 9. 设 f (x)在[ , 0 1]上连续，证明： ⑴ f x (cos ) dx 0 2 π ∫ = ∫ f (sin x) d 0 2 π x ; 3
rx(sin x)x=f(sin 10.利用上题结果计算 x sin x (1)sinx dx 1+cos2 1+sin 2x 11.求下列定积分 (1) x2[x]dx (2)Jsgn(x-x3)dx (3)xIr-aldr 12.设f(x)在[a,b]上可积且关于x=T对称,这里a<T<b。则 f()dx=j f(x)dx +2 -f(x)dx 并给出它的几何解释。 xe ≥0, 13.设f(x) 计算/=f(x-2)dt。 14设函数几(x)=1〔(x-0)2(0,其中函数8()在(+)上连续,且8()=5 g(=2,证明f(x)=x0)-g(0Mm,并计算f(和f() 1.设(0+∞)上的连续函数f(x)满足f(x)=x-丁(x)x,求∫(x) 16.设函数f(x)连续,且[扩(2x-0d= arctan(x2),f(1)=1。求[f(x)d。 17.求x|sinx|d,其中n为正整数 18.设函数S(x)=[ cost dt,求hnS(x) 19.设f(x)在(0,+∞)上连续,且对于任何a>0有 g(x)=(=常数,x∈0+∞) 证明:/()C,x=+∞),其中c为常数。 20.设∫(x)在(0,+∞)上连续,证明 dx 21.设∫(x)在[a,b上连续。证明 max 1/(x)kI f(x)dx+I'(x)ldx 22.设∫(x)在(-∞,+∞)上连续,证明 23.设f(x)在[0,a]上二阶可导(a>0),且∫"(x)≥0,证明:
⑵ xf (sin x) dx 0 π ∫ = π π 2 0∫ f (sin x) dx x 。 10. 利用上题结果计算： ⑴ x sin x d 4 0 π ∫ ; ⑵ x x x dx sin 1 cos 0 2 + ∫ π ; ⑶ x x dx 10 2 + ∫ sin π 。 11. 求下列定积分： ⑴ x x dx 2 0 6 [ ] ∫ ; ⑵ ∫ sgn(x x − ) dx 3 0 2 ; ⑶ ∫ x x| | − a dx 0 1 ; (4) ∫ 2 0 [e ]dx x . 12．设 f x( )在[a b, ]上可积且关于 x = T 对称，这里a < T < b 。则 f x dx f x dx f x dx a b a T b T b ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ = + ∫ 2 − 2 。 并给出它的几何解释。 13．设 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + ≥ = − , 0. 1 1 , 0, ( ) 2 x e xe x f x x x 计算 。 ∫ = − 4 1 I f (x 2)dx 14．设函数 ∫ = − x f x x t g t dt 0 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) ，其中函数 g(x) 在(−∞,+∞) 上连续，且 g(1) = 5 ， ( ) 2 1 0 = ∫ g t dt ，证明 ′ = ∫ − ∫ ，并计算 x x f x x g t dt tg t dt 0 0 ( ) ( ) ( ) f ′′(1) 和 f ′′′(1) 。 15．设(0,+∞) 上的连续函数 f (x) 满足 ，求 。 ∫ = − e f x x f x dx 1 ( ) ln ( ) ∫ e f x dx 1 ( ) 16. 设函数 f (x) 连续，且 arctan( ) 2 1 (2 ) 2 1 0 tf x − t dt = x ∫ ， f (1) = 1。求 。 ∫ 2 1 f (x)dx 17. 求 ，其中 n 为正整数。 ∫ nπ x x dx 0 |sin | 18. 设函数 = ∫ , 求 x S x t dt 0 ( ) | cos | x S x x ( ) lim →+∞ 。 19. 设 f (x) 在(0,+∞) 上连续，且对于任何 a > 0 有 = ≡ ∫ ax x g(x) f (t)dt 常数， x ∈ (0,+∞) 。 证明： x c f (x) = ， x ∈ (0,+∞) ，其中c 为常数。 20. 设 f x( )在(0,+∞) 上连续，证明 ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 4 1 4 1 2 1 2 (ln 2) 2 ln 2 dx x x x dx f x x x x f 。 21．设 f ′(x) 在[a,b]上连续。证明 ∫ ∫ + ′ − ≤ ≤ ≤ b a b a x b a f x dx f x dx b a f x ( ) | ( ) | 1 max | ( ) | 。 22．设 f x( )在(−∞,+∞) 上连续，证明 f u x u du x ( )( − ) ∫0 = ∫ ∫{ } x u f x dx du 0 0 ( ) 。 23. 设 f (x)在[0, a]上二阶可导（ a > 0 ），且 f ′′(x) ≥ 0 ，证明： 4
(x)2d(5 24.设函数f(x)在[O,上二阶可导,且f"(x)≤0,x∈[0.1证明: f(x2)dx≤ (提示:考虑∫(x)在x=处的 Taylor公式,再将x换成x2。) 25.设f(x)为[0,2x]上的单调减少函数,证明:对任何正整数n成立 f(x) sin ndx≥0 26.设函数f(x)在[0,x]上连续,且f(x)dx=0,f(x) cos xdx=0.证明:在(0.,x) 内至少存在两个不同的点51,2,使得f(51)=f(2)=0。(提示:利用反证法。) 习题7.4 1.求下列曲线所围的图形面积: (1)y=-,y=x,x=2 (2)y2=4(x+1),y2=4(1-x); (3) y=x, y=x+sin x, x=0,x=T 4) x=1 (5)y=llnx,y=0,x=0,x=10; (6)叶形线 0<t≤2 = acos t (7)星形线 0≤t≤2 y=asin, (8)阿基米德螺线r=aθ,θ=0,θ=2π 9)对数螺线r=ae,0=0,0=2π (10)蚌线r= a cos e+b(b≥a>0) (11)r=3cos0,r=1+cos6(-≤b≤") (12)双纽线r2=a2cos20; (13)四叶玫瑰线r=acos20。 (14) Descartes叶形线x3+y3=3axy; (15) 2.求由抛物线y2=4ax与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值 3.求下列曲线的弧长: (1)y=x32,0≤x≤4 y2 In (3)y= In cos x,0sx≤a<n
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≥ ∫ 2 ( ) 0 a f x dx af a 。 24. 设函数 f (x) 在[0,1]上二阶可导，且 f ′′(x) ≤ 0 ， x ∈[0,1], 证明： ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ∫ 3 1 ( ) 1 0 2 f x dx f 。 (提示： 考虑 f (x) 在 3 1 x = 处的 Taylor 公式，再将 x 换成 。) 2 x 25．设 f x( )为[0,2π ]上的单调减少函数, 证明：对任何正整数n 成立 ( )sin 0 2 0 ≥ ∫ f x nxdx π 。 26. 设函数 f (x) 在[0,π ]上连续，且 ( ) 0 ， 。证明：在 0 = ∫ π f x dx ( ) cos 0 0 = ∫ π f x xdx (0,π ) 内至少存在两个不同的点ξ 1，ξ 2 ，使得 ( ) ( ) 0 f ξ 1 = f ξ 2 = 。（提示：利用反证法。） 习 题 7.4 ⒈ 求下列曲线所围的图形面积： ⑴ y x = 1 ， y = x ， x = 2 ； ⑵ y x 2 = 4 1 ( ) + ， y x 2 = 4 1( ) − ； ⑶ y = x ， y x = + sin2 x ， x = 0 ， x = π ； ⑷ y = ex ， y = e− x ， x = 1； ⑸ y x =|ln |， y = 0 ， x = 01. ， x = 10 ； ⑹ 叶形线 ； x t t y t t t = − = − ≤ ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 2 0 2 2 2 3 , , ⑺ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π (8) 阿基米德螺线r a = θ, θ = 0, θ = 2π ； (9) 对数螺线r a = e , θ θ = 0, θ = 2π ； (10) 蚌线r a = + cosθ b （b a ≥ > 0 ）； (11) r = 3cosθ ，r = +1 cosθ ( 3 3 π θ π − ≤ ≤ )； (12) 双纽线r 2 = a 2 cos 2θ ； (13) 四叶玫瑰线r a = cos 2θ 。 (14) Descartes 叶形线 x y ax 3 3 + = 3 y ； (15) x y a x y 4 4 2 2 2 + = ( ) + . ⒉ 求由抛物线 y a 2 = 4 x 与过其焦点的弦所围的图形面积的最小值。 ⒊ 求下列曲线的弧长： ⑴ y x = 3 2/ ，0 4 ≤ x ≤ ； ⑵ x y y = − 2 4 2 ln ，1 ≤ y ≤ e； ⑶ y x = ln cos ，0 2 ≤ ≤ x a < π ； 5