复旦大学：《数学分析》课程教学研究_数学分析课程中的否定命题（陈纪修）

数学分析课程中的否定命题 陈纪修 复旦大学数学科学学院 数学分析课程中证明定理或解答问题时,随时会遇到一个命题的否定命题的 概念。在课程中典型地使用否定命题进行证明的定理就有:关于闭区间上的连续 函数一致连续的 Cantor定理;函数序列与函数项级数一致收敛的Din定理;含 参变量反常积分一致收敛的Dini定理,等。如何正确地写出一个命题的否定命 题的数学表述,如何证明一个否定命题,或如何利用否定命题的数学表述来证明 其他命题,是数学分析课程中很重要的一个内容,也是教学中的一个难点。学生 在这方面的能力培养单靠以上几个定理的学习是远远不够的,在教学中我们有意 识地在不同章节通过具体实例来讲授如何证明否定命题,如何在证明中应用否定 命题的方法,对提高学生的逻辑思维与论证推理能力起到了很好的效果 1.数列的收敛与发散 例1若有界数列{xn}不收敛,则必存在两个子列{x}与{x}收敛于 不同的极限,即 lim x=a,imx=b,a≠b 证因为{x.}是有界数列,由 bolzano- Weierstrass定理,可知存在{x} 的一个收敛子列{xa},设limx=a 由于{xn}不收敛,当然{xn}不收敛于a。{xn}收敛于a的数学表述为: vE>0,丑N∈N,W>N:xn-a<E 于是可知{xn}不收敛于a的数学表述为: 彐E>0,N∈N+,丑n>N a≥E 取M=1,3m>N1:Fm-叫 取N 彐m,>N 取N 于是得到{x}的又一子列{xn),它也是有界数列,再由 bolzano- Weierstrass 定理,可知存在{x}的一个收敛子列{x},设imx=b。显然a≠b

数学分析课程中的否定命题 陈 纪 修 复旦大学数学科学学院 数学分析课程中证明定理或解答问题时，随时会遇到一个命题的否定命题的 概念。在课程中典型地使用否定命题进行证明的定理就有：关于闭区间上的连续 函数一致连续的 Cantor 定理；函数序列与函数项级数一致收敛的 Dini 定理；含 参变量反常积分一致收敛的 Dini 定理，等。如何正确地写出一个命题的否定命 题的数学表述，如何证明一个否定命题，或如何利用否定命题的数学表述来证明 其他命题，是数学分析课程中很重要的一个内容，也是教学中的一个难点。学生 在这方面的能力培养单靠以上几个定理的学习是远远不够的，在教学中我们有意 识地在不同章节通过具体实例来讲授如何证明否定命题，如何在证明中应用否定 命题的方法，对提高学生的逻辑思维与论证推理能力起到了很好的效果。 1．数列的收敛与发散 例 1 若有界数列｛ ｝不收敛，则必存在两个子列{ }与{ }收敛于 不同的极限，即 =a ， =b， xn )1( k n x )2( k n x lim k→∞ )1( k n x lim k→∞ )2( k n x a b ≠ 。 证 因为｛ ｝是有界数列，由 Bolzano-Weierstrass 定理，可知存在｛ ｝ 的一个收敛子列｛ xn xn (1) k n x ｝，设 lim =a 。 k→∞ )1( k n x 由于｛ ｝不收敛，当然｛ ｝不收敛于 。｛ ｝收敛于 的数学表述为： xn n n x a x a ∀ε > 0 ， N N+ ∃ ∈ ，∀n N> ： n x a − < ε 。 于是可知｛ ｝不收敛于 xn a 的数学表述为： 0 ∃ε > 0， N N+ ∀ ∈ ，∃n N> ： n 0 x a − ≥ ε 。 取 ， ： 1 N1 = ∃ > m N 1 1 1 m 0 x a − ≥ ε ， 取 ， ： = mN 12 ∃ > m N 2 2 2 m 0 x a − ≥ ε ， "" , 取 ， = mN kk −1 ∃m N k k > ： 0 mk x a − ≥ ε ， "" , 于是得到｛ ｝的又一子列｛ ｝，它也是有界数列，再由 Bolzano-Weierstrass 定理，可知存在｛ ｝的一个收敛子列｛ xn mk x mk x (2) k n x ｝，设 lim k→∞ (2) k n x =b 。显然a ≠ b。 1

例2若数列{xn}无界,但非无穷大量,则必存在两个子列{x}与{x 其中{xn}是无穷大量,{x3}是收敛子列。 证数列{xn}是无穷大量的数学表述为: VG>0,彐N,Vn>N G 所以{xn}不是无穷大量的数学表述为 彐G0>0,VN,丑n>N:xn|≤G0 由此可知数列{xn}中有无穷多项满足xn|≤G,于是从中可以取出数列{xn}的 个收敛子列{xm}。 数列{xn}有界的定义为 3Gn>0,Vn:xn|≤G 所以数列{xn}无界可表述为 VG>0,彐: 由此可知VG>0,数列{xn}中必有无穷多项满足|xn|>G。 取G1=1,则3,使得m|>G, 取G2=2,则3n2>n,使得x2|>G2 取Gk=k,则3n>n1,使得xn|>Gk, 记}2=9},m}=2),则得到(x,)的两个子列{x}与{x}, 其中{xa}是无穷大量,{x3}是收敛子列 2.函数的一致连续性 函数的一致连续是数学分析课程中的一个重要概念,也是教学中的一个难 点。当要求学生判断函数在某一个区间上是否一致连续,或者要求学生证明函数 在某一个区间上非一致连续时,学生往往感到束手无策。下面我们证明了函数在 某一个区间上一致连续的一个充分必要条件,它对判断函数在某一个区间上是否

例 2 若数列{ }无界，但非无穷大量，则必存在两个子列{ }与{ }， 其中｛ ｝是无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 xn )1( k n x )2( k n x )1( k n x )2( k n x 证 数列{ } xn 是无穷大量的数学表述为： G >∀ 0 ， ， ： ∃N >∀ Nn Gxn > 。 所以{ } xn 不是无穷大量的数学表述为： G0 >∃ 0 ， ， ∀N ∃ > Nn ： n ≤ Gx 0 。 由此可知数列{ } xn 中有无穷多项满足 n 0 x ≤ G ，于是从中可以取出数列{ }的一 个收敛子列{ }。 xn mk x 数列{ } xn 有界的定义为： 0 ∃G > 0， ： ∀n n 0 x ≤ G 。 所以数列{ } xn 无界可表述为： ∀G > 0 ， ： ∃n n x > G。 由此可知 ，数列 G >∀ 0 { } xn 中必有无穷多项满足 Gxn > 。 取 ，则 1 G1 = 1 ∃n ，使得 1 1 Gxn > ， 取 ，则 2 G2 = 12 ∃ > nn ，使得 2 2 Gxn > ， "" , 取 ，则 k = kG ∃ > nn kk −1，使得 k > Gx kn ， "" . 记{ } { })1( k k = nn ，{ } { })2( k k = nm ，则得到｛ ｝的两个子列 xn { })1( 与{ }， k n x )2( k n x 其中｛ ｝是无穷大量，｛ ｝是收敛子列。 )1( k n x )2( k n x 2．函数的一致连续性 函数的一致连续是数学分析课程中的一个重要概念，也是教学中的一个难 点。当要求学生判断函数在某一个区间上是否一致连续，或者要求学生证明函数 在某一个区间上非一致连续时，学生往往感到束手无策。下面我们证明了函数在 某一个区间上一致连续的一个充分必要条件，它对判断函数在某一个区间上是否 2

致连续,或者证明函数在某一个区间上非一致连续有重要的应用。 定理1函数f(x)在区间X上定义,则f(x)在X上一致连续的充分必要条 件是:对任意{xH(x∈X)和{x"H(x"∈X),只要满足lm(x-x")=0,就成立 limn(f(x)-f(x”))=0。 证必要性:略 充分性:采用反证法。 函数f(x)在X上一致连续的数学表述为 VE>0,36>0,x,x"∈X(x-x"|<d):|f(x')-f(x")<E。 函数f(x)在X上的不一致连续的数学表述为 彐E0>0,V6>0,彐x',x"∈X(x'-x"<d):|f(xn)-f(x)≥5 取δn=(n=12,3…),于是存在xn,x"∈X,满足 Ixn-xnI<-, If(n)-f(x")I2 Eo 显然,lim(xn-x")=0,但{f(x)-∫(x”)}不可能收敛于0,这就产生矛盾。 例3证明∫(x)=sin在x∈(01)不一致连续 证取 则有 lim(f(x)-f(x”)=lim(1-0)=1, 由定理1可知f(x)=sin-在(0,1)不一致连续。 例4证明f(x)=x2在[,+∞)上不一致连续 证取x (n=1,2,3,…),于是 但是lm(f(x)-f(x)=1,由定理1可知f(x)在[+∞)上不一致连续 函数序列(函数项级数)与含参变量积分的一致收敛性是数学分析课程中非 常重要的内容,因为一致收敛性关系到两个极限运算(求导与积分本质上也是极

一致连续，或者证明函数在某一个区间上非一致连续有重要的应用。 定理 1 函数 在区间 f x( ) X 上定义，则 在 f x( ) X 上一致连续的充分必要条 件是：对任意{ x ′ n }( ) x X ′ ∈ 和{ n x′′n }( x X n ′′ ∈ )，只要满足lim ( n→∞ x ′ n - ) ，就成立 ( x′′n = 0 lim n→∞ ( ) n f x′ − ( ) n f x′′ ) = 0。 证 必要性：略。 充分性：采用反证法。 函数 在 f x( ) X 上一致连续的数学表述为： ∀ > ε 0 ，∃ > δ 0，∀ x ′ , x′′∈ X ( | x ′ - x′′ | < δ )：| f ( ) x′ − f ( ) x′′ |< ε 。 函数 在 f x( ) X 上的不一致连续的数学表述为： ∃ 0 ε > 0 ，∀ > δ 0，∃ x ′ , x′′∈ X (| x ′ - x′′ |< δ )：| ( ) n f x′ − ( ) n f x′′ | 0 ≥ ε 。 取δ n = 1 n （n = 123 ,,,"），于是存在 x ′ n , n x′′∈ X ，满足 | - | x ′ n x′′n 1 n < ， | ( ) n f x′ − ( ) n f x′′ | 0 ≥ ε 。 显然，lim ( - n→∞ x ′ n x′′n ) = 0，但{ ( ) n f x′ − ( )n f x′′ }不可能收敛于0 ，这就产生矛盾。 例 3 证明 1 f x( ) sin x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠在 x∈(0,1)不一致连续。 证 取 xn ′ = 1 1 2 2 nπ + π ， x′′n = 1 2nπ ，则有lim ( n→∞ x ′ n - x′′n ) = 0，但 lim n→∞ ( ( ) n f x′ − ( ) n f x′′ )= lim(1 0) 1 n→∞ − = ， 由定理 1 可知 1 f x( ) sin x ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠在(0,1) 不一致连续。 例 4 证明 2 f ( ) x x = 在[0,+∞) 上不一致连续。 证 取 n x′ = n + 1 ， n x′′ = n （n = 123 ,,,"），于是 lim n→∞ ( - x ′ n x′′n ) limn→∞ = ( n + 1 - n ) = 0， 但是lim ( n→∞ ( ) n f x′ − ( ) n f x′′ ) = 1，由定理 1 可知 f ( ) x 在[0,+∞) 上不一致连续。 函数序列（函数项级数）与含参变量积分的一致收敛性是数学分析课程中非 常重要的内容，因为一致收敛性关系到两个极限运算（求导与积分本质上也是极 3

限运算)能否交换次序的问题,是数学系学生必须牢固掌握的基础知识。证明函 数序列(函数项级数)与含参变量积分的一致收敛性可以利用定义或定理,但是 证明函数序列(函数项级数)与含参变量积分的非一致收敛性却是教学中又一个 难点(也是学生学习中的一个难点)。下面介绍我们如何在教学中利用否定命题 来讲授关于非一致收敛性的证明。 3.函数序列的一致收敛性 关于函数序列的一致收敛性,我们首先有下述充分必要条件: 定理2设函数序列{S(x)在集合D上点态收敛于S(x),则{S(x)在D上 致收敛于S(x)的充分必要条件是:对任意数列{x},x∈D,成立 im(Sn(xn)-S(xn)=0。 证必要性:略。 充分性:采用反证法,也就是证明:若{Sx)在D上不一致收敛于S(x), 则一定能找到数列{x},xn∈D,使得 S(x,)-s(x,) 命题“函数序列{S2(x)在D上一致收敛于S(x)”可以表述为 VE>0, 3N,Wn>N, WxED: S,(x)-S(x)<E 因此它的否定命题“{S2(x)在D上不一致收敛于S(x)”可以表述为 彐E。>0,VN ∈D:|S(x)-S(x)≥6 于是,下述步骤可以依次进行: 取N1=1 D:S,( )-S(,)26o 取N2=n1,丑n 彐x.∈D (xm)-Sx)≥ 取 彐n 引x∈D:|S4(x)-S(x)≥6 对于m∈N\{n,n2…以,…},可以任取xm∈D,这样就得到数列{x x∈D,由于它的子列{xm}使得 (x2)-S(x2)≥56 显然不可能成立 (S,(xn)-S(rn))=0 定理2常用于判断函数序列的不一致收敛 例5设S(x)=nx(-x2)”,证明{Sn(x)在[O,1上不一致收敛。 证函数序列{S(x)}在D上点态收敛于S(x)=0。取x=∈[O],则 S,(x)-s(x

限运算）能否交换次序的问题，是数学系学生必须牢固掌握的基础知识。证明函 数序列（函数项级数）与含参变量积分的一致收敛性可以利用定义或定理，但是 证明函数序列（函数项级数）与含参变量积分的非一致收敛性却是教学中又一个 难点（也是学生学习中的一个难点）。下面介绍我们如何在教学中利用否定命题 来讲授关于非一致收敛性的证明。 3．函数序列的一致收敛性 关于函数序列的一致收敛性，我们首先有下述充分必要条件： 定理 2 设函数序列{S x n ( )}在集合 D上点态收敛于 ，则 S x( ) {S x n ( )}在 D上 一致收敛于 的充分必要条件是：对任意数列 S x( ) {xn}， n x ∈ D，成立 lim ( ) ( ) 0 ( nn n ) n S x Sx →∞ − = 。 证 必要性：略。 充分性： 采用反证法，也就是证明：若{S x n ( )}在 D上不一致收敛于 ， 则一定能找到数列{ S x( ) xn}， n x ∈ D，使得 () () nn n S x Sx − ─/→ 0（n → ∞）。 命题“函数序列{S x n ( )}在 D上一致收敛于 ”可以表述为 S x( ) ∀ > ε 0 ，∃N ， ， ∀ > n N ∀x∈D： () () n S x Sx − < ε 。 因此它的否定命题“{S x n ( )}在 D上不一致收敛于 ”可以表述为： S x( ) 0 ∃ > ε 0，∀N ， ， ∃ > n N ∃x∈D ： 0 () () n S x Sx − ≥ ε 。 于是，下述步骤可以依次进行： 取 ， ， N1 =1 ∃ > n1 1 ∃ 1n x ∈ D： 11 1 0 () () nn n S x Sx − ≥ ε ， 取 ， N n 2 1 = 2 n n ∃ > 1，∃ 2 n x ∈ D ： 22 2 0 () () nn n S x Sx − ≥ ε ，， …… 取 ， N n k k = −1 ∃ nk > nk−1，∃ k n x ∈ D ： 0 () () kk k nn n S x Sx − ≥ ε ， ……。 对于 m N nn n \ ,,,, { 1 2 k } + ∈ " " ，可以任取 mx ∈D ，这样就得到数列{xn} ， n x ∈ D，由于它的子列{xnk }使得 0 () () kk k nn n S x Sx − ≥ ε ， 显然不可能成立 lim ( ) ( ) 0 ( nn n ) n S x Sx →∞ − = 。 定理 2 常用于判断函数序列的不一致收敛。 例 5 设S x n ( ) = − xnx 2 )1( n ，证明{S x n ( )}在[0,1] 上不一致收敛。 证 函数序列{S x n ( )}在 上点态收敛于 ]1,0[ S x() 0 = 。取 n x = ]1,0[ 1 ∈ n ，则 () () nn n S x Sx − = 1 1 1 2 ⎟ →⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − n n （n → ∞）， 4

由定理2可知{S2(x)}在[O上不一致收敛。 例6设S(x)=(sinx),证明{S(x)}在(0,x)上不一致收敛 证函数序列{S(x}在(0,)上点态收敛于S(x)=1,取xn∈(0,x),使得 Inx.= 则 S,(xn)-S(xn) 1 /→0(n→)∞), 2 由定理2可知{S(x)在(0,x)上不一致收敛 例7设S(x)=川1x+-√x,证明{(x)在0+∞)上不一致收敛 证函数序列{S(x)}在(0,+∞)上点态收敛于S(x)=,F,取x=1 则 Sn()-S()= 由定理2可知{S,(x)在(O,+∞)上不一致收敛 例8设S(x)=1+,证明(x)在D0+∞)上不一致收敛 证函数序列{Sn(x)在[0,+∞)上点态收敛于S(x)=e2。取x=n,则 Sn(xn)-S(xn)=2"-e"→-∞(n>∞) 由定理2可知{Sn(x)}在[0+∞)上不一致收敛。 4.函数项级数的一致收敛性 我们先来看一个例题: 例9证明:当a>1,函数项级数∑xe-关于x∈[O,+∞)一致收敛;当 0<a≤1,函数项级数∑x“e关于x∈[D.,+∞)不一致收敛。 证关于第一个命题,我们先求级数通项的最大值。由 (xem)'=(a-nrxa-le-m=0 得到最大值点x,于是对一切x∈[0,+∞)有

由定理 2 可知{S x n ( )}在 上不一致收敛。 ]1,0[ 例 6 设 ( ) 1 ( ) sin n n Sx x = ，证明{S x n ( )}在(0, ) π 上不一致收敛。 证 函数序列{S x n ( )} 在 (0, ) π 上点态收敛于 S x() 1 = ，取 ∈ π ),0( n x ，使得 n n x 2 1 sin = ，则 nn xSxS n )()( =− 1 1 2 − ─/→ 0（n → ∞）， 由定理 2 可知{S x n ( )}在(0, ) π 上不一致收敛。 例 7 设 ( ) n S x = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ x n xn 1 , 证明{S x n ( )}在 +∞),0( 上不一致收敛。 证 函数序列{S x n ( )}在 +∞),0( 上点态收敛于 x xS 2 1 )( = ，取 1 n x n = ，则 ) =− 1 () 1 ( n S n Sn ⎟ n ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 3 2 ─/→ 0（n → ∞）， 由定理 2 可知{S x n ( )}在(0, ) +∞ 上不一致收敛。 例 8 设 n n n x xS ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1)( += ，证明{S x n ( )}在[0, ) +∞ 上不一致收敛。 证 函数序列{ } n xS )( 在 +∞),0[ 上点态收敛于 。取 ，则 x )( = exS nxn = () () nn n S x Sx − 2 e nn −∞→−= （n → ∞）， 由定理 2 可知{ } n xS )( 在 上不一致收敛。 +∞),0[ 4．函数项级数的一致收敛性 我们先来看一个例题： 例 9 证明：当α >1，函数项级数 关于 ∑ ∞ = − n 1 nx exα x ∈[0, ) +∞ 一致收敛；当 0 < ≤ α 1，函数项级数∑ 关于 ∞ = − n 1 nx exα x ∈[0, ) +∞ 不一致收敛。 证 关于第一个命题，我们先求级数通项的最大值。由 ( ) ( ) 1 ' 0 nx nx x e nx x e α α α − − − = − = ， 得到最大值点 x n α = ，于是对一切 x ∈[0, ) +∞ 有 nx x e e n α α − − ⎛ ⎞ α α ≤ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 5