习题13.1 1.设一平面薄板(不计其厚度),它在xy平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区 域D。如果该薄板分布有面密度为μ(x,y)的电荷,且μ(x,y)在D上连续,试用二重 积分表示该薄板上的全部电荷 2.设函数∫(x,y)在矩形D=[0,丌]×[0,1上有界,而且除了曲线段y=sinx,0≤x≤丌 外,∫(x,y)在D上其它点连续。证明∫在D上可积 3.按定义计算二重积分xdb,其中D=0] (提示:计算时可将D=[O,1]×[0用直线均匀划分。) 4.设一元函数f(x)在[a,b]上可积,D=[a,b×[c,d]。定义二元函数 F(x,y)=f(x),(x,y)∈D。 证明F(x,y)在D上可积 H(x, y)=max(/(x,y),g(x,y)&(x, y) 5.设D是R2上的零边界闭区域,二元函数f(x,y)和g(x,y)在D上可积。证明 h(x, y)=minf(x,y),g(x,y)) 也在D上可积 原132 证明重积分的性质8。 2.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小 ()Jj(x+y)atoh与j(x+y)ad,其中D为x轴,y轴与直线x+y=1所 围的区域 ()x+y)do与pn(x+yddy,其中D为闭矩形35× 3.利用重积分的性质估计下列重积分的值: ()j(x+ydb,其中D为闭矩形[l2l dxd 其中D为区域{(x,y)x+|y≤10} 100+coS x+ cos y dxdxdz 其中Ω为单位球{(x,y,=川x2+y2+2≤1} 4.计算下列重积分 ()∫j(x3+3xy+y)ddp,其中D为闭矩形0x. () yet! dxd,其中D为闭矩形ab×e4 dyde a(x+y+-)3,其中9为长方体12]×[12]×[1.2 5.在下列积分中改变累次积分的次序 (af(x, y)dy (a<b)
习 题 13.1 1. 设一平面薄板（不计其厚度），它在 xy 平面上的表示是由光滑的简单闭曲线围成的闭区 域 D。如果该薄板分布有面密度为 µ( , x y) 的电荷，且 µ( , x y) 在 D 上连续，试用二重 积分表示该薄板上的全部电荷。 2. 设函数 f x( , y) 在矩形 D = [0,π ]×[0,1]上有界，而且除了曲线段 y x = ≤ sin , 0 x ≤ π 外， f x( , y) 在 D 上其它点连续。证明 f 在 D 上可积。 3. 按定义计算二重积分 xydxdy ，其中 D D ∫∫ = [0,1]×[0,1]。 （提示：计算时可将 D = [0,1]×[0,1] 用直线均匀划分。） 4. 设一元函数 f (x) 在[a,b]上可积， D = [a,b]×[c, d] 。定义二元函数 F(x, y) = f (x)，(x, y) ∈ D 。 证明 F(x, y) 在 D上可积。 5．设D是 2 R 上的零边界闭区域，二元函数 f (x, y) 和 g(x, y) 在D上可积。证明 H (x, y) = max{ f (x, y), g(x, y)} 和 h(x, y) = min{ f (x, y), g(x, y)} 也在D上可积。 习 题 13.2 1. 证明重积分的性质 8。 2. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) ∫∫ + 与 ，其中 为 D x y dxdy 2 ( ) ∫∫ + D x y dxdy 3 ( ) D x 轴， y 轴与直线 x + y = 1所 围的区域； (2) ∫∫ + 与 D ln(x y)dxdy [ ] ∫∫ + D x y dxdy 2 ln( ) ，其中 D为闭矩形[ , 3 5] ×[0 1, ]。 3. 利用重积分的性质估计下列重积分的值： (1) ，其中 为闭矩形[ , ∫∫ + D xy(x y)dxdy D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ∫∫ + + D x y dxdy 2 2 100 cos cos ，其中 D为区域{(x y, )| | x|+| y|≤ 10} ； (3) dxdxdz 1 x y z 2 2 + + + ∫∫∫ Ω 2 ，其中 Ω 为单位球{(x y, ,z)|x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 。 4． 计算下列重积分： (1) ，其中 为闭矩形[ , ∫∫ + + D (x 3x y y )dxdy 3 2 3 D 0 1] ×[0 1, ]； (2) ，其中 为闭矩形[,] ∫∫ + D xy dxdy x y 2 2 e D a b × [c,d]； (3) dxdydz ( ) x y + + z ∫∫∫ 3 Ω ，其中 Ω 为长方体[ , 1 2] × [1 2, ] × [ , 1 2]。 5．在下列积分中改变累次积分的次序： (1) dx f x y dy a b ； a b a x ∫ ∫ ( , ) ( < ) 1
(2)J01af(x,y)dy(a>0) (3)dxf(x,y)dy (445f(x,y)+d(x: 3”(xyk(改成先y方向,再x方向和=方向的次序积分 6J4小…,(x,31(改成先x方向,再y方向和:方向的次序积 分)。 6.计算下列重积分 ()Jjyd,其中D为抛物线y2=2px和直线x=2(p>0)所围的区域 dxd小y (a>0),其中D为圆心在(a,a),半径为a并且和坐标轴相切 的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域; (3)Jlo,其中D为区域(x,y)x+s (4)(x2y2)ad,其中D为直线y=x,y=x+a,y=a和y=3a(a>0) 所围的区域 5)Jy,其中D为摆线的一拱x=a(-sn)y=a(-cos)(0st≤2) 与x轴所围的区域 (6)‖y1+xe axdy,其中D为直线y=x,y=-1和x=1所围的区域 (7)∫x2 yday,其中D={x,y)x2+y2≥2x,0≤x≤1,0≤y≤x ∫ xy2z3 dxdvd-,其中9为曲面z=xy,平面y=x,x=1和z=0所围的 区域 dddc ,其中Ω为平面x=0,y=0,二=0和x+y+z=1所围 +x+y+ 成的四面体 (10) zdxdydz,其中9为抛物面=x2+y2与平面z=h(h>0)所围的区域 (1)j1:2dd,其中9为球体x2+y2+2sR2和x2+y2+2≤2Rz (R>0)的公共部分 (12)Jjx2 ddda,其中为椭球体+2+s1 7.设平面薄片所占的区域是由直线x+y=2,y=x和x轴所围成,它的面密度为 p(x,y)=x2+y2,求这个薄片的质量。 8.求抛物线y2=2px+p2与y2=-2qx+q2(p,q>0)所围图形的面积
(2) dx f x y dy a a ax x ax 0 2 2 2 2 0 ∫ ∫ − ( , ) ( > ) ； (3) dx f x y dy ； x 0 2 0 π ∫ ∫ ( , ) sin (4) dy f x y dx dy f x y dx ； y y 0 1 0 2 1 3 0 3 ∫ ∫ + ∫ ∫ − ( , ) ( , ) (5) dx dy f x y z dz （改成先 方向，再 方向和 方向的次序积分）； x x y 0 1 0 1 0 ∫∫∫ − + ( , , ) y x z (6) dx dy f x y z dz x x − − − x y − + ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , ) （改成先 方向，再 方向和 方向的次序积 分）。 x y z 6． 计算下列重积分： (1) ∫∫ ，其中 为抛物线 和直线 D xy dxdy 2 D y p 2 = 2 x x p = p > 2 ( 0) 所围的区域； (2) ( 0) 2 > − ∫∫ a a x dxdy D ，其中 为圆心在 ( , ，半径为 并且和坐标轴相切 的圆周上较短的一段弧和坐标轴所围的区域； D a a) a (3) ，其中 为区域{( ∫∫ + D dxdy x y e D x y, )| | x|+| y|≤ 1}； (4) ∫∫ + ，其中 为直线 D (x y )dxdy 2 2 D y x = , , y x = + a y = a 和 所围的区域； y = 3a (a > 0) (5) ∫∫ ，其中 为摆线的一拱 D ydxdy D x = a(t − sin t),y = a(1− cost) (0 ≤ t ≤ 2π ) 与 x 轴所围的区域； (6) ∫∫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + D y x dxdy ( x y ) 2 1 2 2 1 e ，其中 D为直线 y = x, y = −1和 x = 1所围的区域； (7) ∫∫ ，其中 ； D x ydxdy 2 {( , ) | 2 , 0 1, 0 } 2 2 D = x y x + y ≥ x ≤ x ≤ ≤ y ≤ x (8) xy 2 3 z dxdydz ，其中 Ω 为曲面 Ω ∫∫∫ z = xy ，平面 y = x, 1 x = 和 所围的 区域； z = 0 (9) dxdydz ( ) 1 x y z 3 + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为平面 x = 0 0 , , y = z = 0 2 和 所围 成的四面体； x + y + z = 1 (10) zdxdydz ，其中 Ω 为抛物面 与平面 z h Ω ∫∫∫ z x = + y 2 = (h > 0) 所围的区域； (11) ∫∫∫ ，其中 Ω 为球体 和 Ω z dxdydz 2 2 2 2 2 x + y + z ≤ R x y z 2Rz 2 2 2 + + ≤ (R > 0) 的公共部分； （12） ∫∫∫ ，其中 Ω 为椭球体 Ω x dxdydz 2 1 2 2 2 2 2 2 + + ≤ c z b y a x 。 7． 设平面薄片所占的区域是由直线 x + y = 2,y = x 和 轴所围成，它的面密度为 ，求这个薄片的质量。 x ρ( , x y) = x + y 2 2 8． 求抛物线 y px p 与 0 所围图形的面积。 2 2 = 2 + y qx q p q 2 2 = −2 + ( , > ) 2
9.求四张平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面=0和 2x+3y+=6截的的立体的体积 0.求柱面y2+2=1与三张平面x=0,y=x,z=0所围的在第一卦限的立体的体 11.求旋转抛物面z=x2+y2,三个坐标平面及平面x+y=1所围有界区域的体积 12.设∫(x)在R上连续,a,b为常数。证明 (1)dx f()dy=f()(b-y)dy (2)a he)f(x dx=()ela-x)f(x)dx(a>0) 13.设f(x)在[O上连续,证明 dyle'f(x)dx=L(e )f(x)d 14.设D=[0,11×[0,1],证明 1≤mx2)+oy)]ds2 15.设D=[0,1×[0,1,利用不等式1-≤cost≤1(|tx/2)证明 16.设D是由x平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域,D在x轴和y轴上的投 影长度分别为l2和l,,(a,B是D内任意一点。证明 (1)U(x-a)(-B)dxrdysl,I, ml (2)(x-a)(y-B)dx≤ 17.利用重积分的性质和计算方法证明:设f(x)在[a,b上连续,则 f(x)x≤(b-a)(x)2d 18.设∫(x)在[a,b上连续,证明 (b-a)2 19.设Ω={(x12x2,…,xn)≤x1≤1,=12…n},计算下列n重积分: (1)(x dx1dx2…dx x,+x+ )2dx1dx2…dx 习题13.3 1.利用极坐标计算下列二重积分: (1) Jetxtydrdy,其中D是由圆周x2+y2=R2(R>0)所围区域
9． 求四张平 面 x = 0 0 , , y = x = 1, y = 1 6 所围成 的柱体被 平 面 z = 0 和 2 3 x + y z + = 截的的立体的体积。 10． 求柱面 1与三张平面 2 2 y + z = x = 0, y = x, z = 0 所围的在第一卦限的立体的体 积。 11． 求旋转抛物面 z x = + y ，三个坐标平面及平面 2 2 x + y = 1所围有界区域的体积。 12． 设 f x( ) 在 R 上连续， a,b 为常数。证明 (1) dx f y dy f y b y dy ； a b a x a b ∫ ∫ = − ∫ ( ) ( )( ) (2) dy e f x dx a x e f x dx （ ）。 a a x y a x a 0 0 0 ∫ ∫ ∫ − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a > 0 13．设 f (x) 在[0,1]上连续，证明 ∫ ∫ ∫ = − 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 2 dy e f x dx e e f x dx x x y y y 。 14. 设D = [0,1]×[0,1]，证明 1 [ ] sin( ) cos( ) 2 2 2 ≤ + ≤ ∫∫ D x y dxdy 。 15．设D = [0,1]×[0,1]，利用不等式 cos 1 2 1 2 − ≤ t ≤ t （| t |≤ π / 2 ）证明 cos( ) 1 50 49 2 ≤ ≤ ∫∫ xy dxdy D 。 16．设 D是由 xy 平面上的分段光滑简单闭曲线所围成的区域， 在 轴和 轴上的投 影长度分别为 和 ， D x y lx l y ( , α β) 是 D内任意一点。证明 (1) D D x − y − dxdy ≤ l xl ym ∫∫( α)( β) ； (2) 4 ( )( ) 2 2 x y l l x − y − dxdy ≤ ∫∫ D α β 。 17．利用重积分的性质和计算方法证明：设 f (x) 在[a,b]上连续，则 ∫ ∫ ≤ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 18．设 f (x) 在[a b, ]上连续，证明 2 [ , ] [ , ] ( ) ( ) e d xd y (b a) a b a b f x f y ≥ − ∫∫ × − 。 19．设 Ω {( , , , ) |0 1, 1,2, , } = x1 x2 " xn ≤ xi ≤ i = " n ，计算下列n 重积分： (1) ∫ ； Ω + + + n dx dx dxn x x " x 1 2 " 2 2 2 2 1 ( ) (2) ∫ 。 Ω + + + n dx dx dxn (x1 x2 " x ) 2 1 2 " 习 题 13.3 1. 利用极坐标计算下列二重积分： （1） ∫∫ ，其中 是由圆周 所围区域； − + D e dxdy ( x y ) 2 2 D x y R R 2 2 2 + = ( > 0) 3
(2)yd,其中D是由圆周x2+y2=x所围区域 (3)J(x+y)dd,其中D是由圆周x2+y2=x+y所围区域 (4) dxdy,其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第 象限上的区域 2.求下列图形的面积 (1)(a1x+b1y+c1)2+(a2x+b2y+c2)2=1(=a1b2-a2b1≠0)所围的区域: (1)由抛物线y2=mx,y2=nx(0<m<n),直线y=ax,y=Bx(0<a<B) 所围的区域 (3)三叶玫瑰线(x2+y2)2=a(x3-3xy2)(a>0)所围的图形 (4)曲(x、a2b3(hk>0ab>0)所围图形在x>0,y>0的部分 h k 求极限 lima J/(x,y)drdy 其中∫(x,y)在原点附近连续 4.选取适当的坐标变换计算下列二重积分: (1)j/+√kady,其中D是由坐标轴及抛物线√x+√y=1所围的区域: (2) ∫x+d,其中D是由1)椭圆+2=1所围区域:i)圆 b x2+y2=R2所围的区域 (3)∫jyd,其中D是由直线x=-2,y=0,y=2以及曲线x=-√2y-y2所 围的区域 (4) e+dxdy,其中D是由直线x+y=2,x=0及y=0所围的区域 (5) dxdy,其中闭区域D={(x,y)‖|x|+|yk≤1}; 1+(x-y) tdy,其中闭区域D是由曲线y=√a2-x2-a(a>0) 和直线y=-x所围成 5选取适当的坐标变换计算下列三重积分: (1)∫(x2+y2+=2) dxdydz,其中9为球{(x,y,2x2+y2+2≤l} (2) a2b2c2 adnD,其中!为椭球{(x)/x++=≤1} (3)=yx2+y2dodh,其中9为柱面y=2x-x2及平面=0=a(a>0)
（2） ∫∫ D xdxdy ，其中 D是由圆周 x + y = x 所围区域； 2 2 （3） ∫∫ + ，其中 是由圆周 所围区域； D (x y)dxdy D x y x 2 2 + = + y （4） ∫∫ + + − − D dxdy x y x y 2 2 2 2 1 1 ，其中 D是由圆周 x y 及坐标轴所围成的在第 2 2 + = 1 一象限上的区域。 2. 求下列图形的面积： （1）( ) a x1 1 b y c1 (a x b y c （ 2 2 2 2 2 + + + + + ) = 1 δ = a b1 2 − a2b1 ≠ 0 ）所围的区域； （1） 由抛物线 y mx y nx m n ，直线 2 2 = = , (0 < < ) y x = α , ( y = βx 0 < < α β) 0) 所围的区域； （3）三叶玫瑰线( ) x y a(x xy ) (a 所围的图形； 2 2 2 3 2 + = − 3 > （4）曲线 x h y k x a y b + h k a b ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = + > > 4 2 2 2 2 ( , 0; , 0) 所围图形在 x > 0, y > 0的部分。 3. 求极限 lim ( , ) ρ ρ → π ρ + ≤ ∫∫ 0 2 1 2 2 2 f x y dxdy x y ， 其中 f x( , y) 在原点附近连续。 4. 选取适当的坐标变换计算下列二重积分： （1） ( ) ∫∫ + D x y dxdy ，其中 D是由坐标轴及抛物线 x + y = 1所围的区域； （2） ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + D dxdy b y a x 2 2 2 2 ，其中 D 是由 i）椭圆 x a y b 2 2 2 + 2 = 1 所围区域；ii）圆 所围的区域； 2 2 2 x + y = R （3） ∫∫ ，其中 是由直线 D ydxdy D x = −2, y = 0 ， y = 2 以及曲线 2 x = − 2y − y 所 围的区域； （4） ∫∫ + − D e dxdy x y x y ，其中 D是由直线 x + y = 2 0 , x = 及 y = 0所围的区域； （5） ∫∫ + − + D dxdy x y x y 2 2 1 ( ) ( ) ，其中闭区域 D = {(x, y) | | x | + | y |≤ 1}； （6） ∫∫ − − + D dxdy a x y x y 2 2 2 2 2 4 ，其中闭区域 D 是由曲线 y = a − x − a 2 2 （ ） 和直线 a > 0 y = −x 所围成。 5. 选取适当的坐标变换计算下列三重积分： （1） ∫∫∫( x 2 2 + + y z 2 )dxdydz ，其中 Ω 为球 ； Ω {(x y, ,z)| x y z } 2 2 2 + + ≤ 1 （2） 1 2 2 2 2 2 ∫∫∫ − − − 2 x a y b z c dxdydz Ω ，其中 Ω 为椭球 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ( , , ) + + ≤ 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z ； （3） z x y dxdydz 2 2 ∫∫∫ + Ω ，其中 Ω 为柱面 y x = 2 − x 2 及平面 z z = 0 0 , ( = > a a ) 4
和y=0所围的区域 zIn(1+x'+y+3 1+x2+y2+2d,其中g为半球 (x,y,z)kx2+y2+2≤1,x≥0}; (5)(x+y+x)2 dadda,其中s为抛物面x2+y2=2a与球面 x2+y2+2=3a2(a>0)所围的区域。 j(+y)koh,其中9为平面曲线{y2绕:轴旋转一周形成的曲面 与平面z=8所围的区域 ddyd,其中闭区域!={(x,y,x)x2+y2+(xz-1)2 二≥0,y≥0}; (8)j(x+y-(x-y+Xy+-x)dh,其中闭区域9=(x,y,) 0≤x+y-≤1,0≤x-y+2≤1,0≤y+z-x≤1} 6.求球面x2+y2+z2=R2和圆柱面x2+y2=Rx(R>0)所围立体的体积。 7.求抛物面二=6-x2-y2与锥面=√x2+y2所围立体的体积。 8.求下列曲面所围空间区域的体积 (1) ax(a, b, c>0) (2) l(a,b,c>0)与三张平面x=0,y=0,z=0所围的在 第一卦限的立体。 9.设一物体在空间的表示为由曲面42=25(x2+y2)与平面z=5所围成的一立体。其密 度为p(x,y,z)=x2+y2,求此物体的质量。 10.在一个形状为旋转抛物面二=x2+y2的容器内,已经盛有8丌立方厘米的水,现又倒入 120立方厘米的水,问水面比原来升高多少厘米 1l.求质量为M的均匀薄片x2+y≤a对轴上(00,c)(c>0)点处的单位质量的质 点的引力。 12.已知球体x2+y2+2≤2R,在其上任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平 方,求球体的质量与重心。 13.证明不等式 2(√17-4)≤ 6+sin- x+sin-J 14.设一元函数∫(an)在[-1,]上连续,证明 f(x+y f(u)du 15.设一元函数f(u)在[-1,1上连续。证明
和 y = 0所围的区域； （4） z x ( ) y z x y z dxdydz ln 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ∫∫∫ Ω ，其中 Ω 为半球 {( , , ) | 1, 0} 2 2 2 x y z x + y + z ≤ z ≥ ； （ 5 ） ，其中 Ω 为 抛 物 面 与 球 面 所围的区域。 ( ) x + + y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω x y a 2 2 + = 2 z x y + + z = 3a (a > 0) 2 2 2 2 （6） ，其中 Ω 为平面曲线 绕 轴旋转一周形成的曲面 与平面 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 , 2 x y z z z = 8 所围的区域； （7）∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ，其中闭区域 Ω= ， ； {(x, y,z) | ( 1) 1 2 2 2 x + y + z − ≤ z ≥ 0, y ≥ 0} （ 8 ） ，其中闭区域 Ω = ∫∫∫ Ω (x + y − z)(x − y + z)(y + z − x)dxdydz {(x, y,z) | 0 ≤ x + y − z ≤ 1, 0 ≤ x − y + z ≤ 1, 0 ≤ y + z − x ≤ 1}。 6．求球面 x y z R 和圆柱面 所围立体的体积。 2 2 2 + + = 2 ) y 2 x y Rx R 2 2 + = ( > 0 7．求抛物面 z x = −6 − 与锥面 2 z x = + y 2 2 所围立体的体积。 8．求下列曲面所围空间区域的体积： （1） x a y b z c ax abc 2 2 2 2 2 2 2 + + 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = > ( , , ) ； （2） 1 ( , , 0) 2 2 ⎟ = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a b c c z b y a x 与三张平面 x = 0, y = 0,z = 0 所围的在 第一卦限的立体。 9．设一物体在空间的表示为由曲面 4 25( )与平面 2 2 2 z = x + y z = 5 所围成的一立体。其密 度为 ，求此物体的质量。 2 2 ρ(x, y,z) = x + y 10. 在一个形状为旋转抛物面 z x = + y 的容器内，已经盛有 2 2 8π 立方厘米的水，现又倒入 120π 立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘米。 11．求质量为 M 的均匀薄片 对 轴上 点处的单位质量的质 点的引力。 ⎩ ⎨ ⎧ = + ≤ 0 2 2 2 z x y a z ( , 0 0,c c ) ( > 0) 12．已知球体 ，在其上任一点的密度在数量上等于该点到原点距离的平 方，求球体的质量与重心。 x y z R 2 2 2 + + ≤ 2 z 13．证明不等式 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 14．设一元函数 f (u) 在[−1,1]上连续，证明 ∫∫ ∫− + ≤ + = 1 1 | | | | 1 f (x y)dxdy f (u)du x y 。 15．设一元函数 f (u) 在[−1,1]上连续。证明 5