习题4. 半径为1厘米的铁球表面要镀一层厚度为001厘米的铜,试用求微分的方法 算出每只球需要用铜多少克?(铜的密度为89克/立方厘米。) 用定义证明,函数y=√x2在它的整个定义域中,除了x=0这一点之外都 是可微的。 习题4.2 1.设∫'(x)存在,求下列各式的值: f(x0-△x)-f(x) (2)lim f(x)-f(x0) (3)li f(x0+h)-f(x0-h) h 2.(1)用定义求抛物线y=2x2+3x-1的导函数 (2)求该抛物线上过点(-1,-2)处的切线方程 (3)求该抛物线上过点(-2,1)处的法线方程 (4)问该抛物线上是否有点(a,b),过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行? 3.设∫(x)为(-∞,+∞)上的可导函数,且在x=0的某个邻域上成立 f(+sin x)-3f(1-sin x)=&x+a(x) 其中a(x)是当x→>0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程。 4.证明:从椭圆的一个焦点发出的任一束光线,经椭圆反射后,反射光必定经过它的另一 个焦点(图425) 5.证明:双曲线x=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2。 6.求函数在不可导点处的左导数和右导数。 (1)y=sin x: √1 - cOS x (4)y=|n(x+1) 7.讨论下列函数在x=0处的可导性: 0 (1)y= x|sin(a>0)x≠0, x=0. ax+b,x≤0
习 题 4.1 ⒈ 半径为 1 厘米的铁球表面要镀一层厚度为 0.01 厘米的铜，试用求微分的方法 算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9 克/立方厘米。） ⒉ 用定义证明，函数 y = x 3 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0 这一点之外都 是可微的。 习 题 4.2 1． 设 f x ′( 0 ) 存在，求下列各式的值： ⑴ lim ( ) ( ∆ ∆ x ∆ f x x f x ) → x − − 0 0 0 ； ⑵ lim ( ) ( ) x x f x f x → x x − 0 − 0 0 ； ⑶ lim ( ) ( ) h f x h f x h → h + − − 0 0 0 。 2． ⑴ 用定义求抛物线 y x = + 2 3x − 2 1的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点( , − −1 2) 处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(−2 1, ) 处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有点( , a b) ，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？ 3．设 f (x) 为(−∞,+∞) 上的可导函数，且在 x = 0的某个邻域上成立 f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x) = 8x +α(x) ， 其中α(x) 是当 x → 0时比 x 高阶的无穷小。求曲线 y = f (x)在(1, f (1))处的切线方程。 4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一 个焦点（图 4.2.5）。 5． 证明：双曲线 xy = a2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2 。 6． 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 ⑴ y = |sin x |； ⑵ y x = −1 cos ； ⑶ y x = − e | | ； ⑷ y = |ln(x + 1)| . 7．讨论下列函数在 x = 0 处的可导性： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = > ≠ = + 0, 0; | | sin ,( 0) 0, 1 1 x x a x y x a ⑵ y x x ax b x = > + ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 0 , , , ; 1
0 0 0. 0,x=0 8.设∫(x)在x=0处可导,在什么情况下,|f(x)在x=0处也可导? 9.设∫(x)在[a,b]上连续,f(a)=f(b)=0,且f(a)·∫(b)>0,证明f(x)在(a,b) 至少存在一个零点。 10.设f(x)在有限区间(a,b)内可导, (1)若Iimf(x)=∞,那么能否断定也有limf'(x)=∞? (2)若limf(x)=∞,那么能否断定也有limf(x)=∞? 1l.设函数∫(x)满足f(0)=0。证明∫(x)在x=0处可导的充分必要条件是:存在在x=0 处连续的函数g(x),使得f(x)=xg(x),且此时成立∫(O)=g(0)。 用定义证明(cosx)=-sinx。 2.证明 (1)(csc x)=-cot x cscx (2)(cot x)=-cSc x: (3)(arccos x) (4)(arc cot x)= (5)(ch-1xyJx2-I, (6)(thx)=(cthx)’= 3.求下列函数的导函数: ()f(x)=3sin x+ Inx (2) f(x)=xcos x+x+3 (3)f(x)=(x2+7x-5)sinx: (4)f(x)=x(3 tan x+2sec x) sinx+x-2 (5)f(x)=e sin x-4 cos x+ 2 In (7)f(x)= (8)f(x)= x+ cOs x
⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 8． 设 f x( )在 x = 0 处可导，在什么情况下，| ( f x)| 在 x = 0 处也可导？ 9．设 f x( )在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f (x) a b) 10．设 f x( )在有限区间( , a b) 内可导， ⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ 0 ？ ⑵ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + ′ = ∞ 0 lim ( ) x a f x → + = ∞ 0 ？ 11．设函数 f (x) 满足 f (0) = 0 。证明 f (x) 在 x = 0处可导的充分必要条件是：存在在 处连续的函数 ，使得 x = 0 g(x) f (x) = xg(x) ，且此时成立 f ′(0) = g(0) 。 习 题 4.3 ⒈ 用定义证明(cos x x )′ = − sin 。 2. 证明： ⑴ (csc x)′ = −cot x csc x ； ⑵ x x 2 (cot )′ = −csc ； ⑶ (arccos x) x ′ = − − 1 1 2 ； ⑷ 2 1 1 (arc cot ) x x + ′ = − ； ⑸ (ch ) − ′ = − 1 2 1 1 x x ； ⑹ (th ) (cth ) − − ′ = ′ = − 1 1 2 1 1 x x x 3. 求下列函数的导函数： ⑴ f x( ) = + 3sin x ln x − x ； ⑵ f x( ) = x cos x + x +2 3 ； ⑶ f x( ) = + (x x − )sin x 2 7 5 ； ⑷ ( ) (3tan 2sec ) 2 f x = x x + x ； ⑸ f x x x x x ( ) = − e sin 4 cos + 3 ； ⑹ f x x x x x ( ) sin = 2 2 + − 3 2 ； ⑺ f x x x ( ) cos = + 1 ； ⑻ f x x x x ( ) sin ln = − x + 2 1 ； 2
x+cot x 0f(x) x sin x+ cos x In x sin x aD f(x)=(e+log, x)arcsinx; ( f(x)=(csc x-3ln x)x2shx: a3)f(x)=x-cscx 04f(x)= arc tan x 4.求曲线y=nx在(e,1)处的切线方程和法线方程。 5.当a取何值时,直线y=x能与曲线y=log。x相切,切点在哪里? 6.求曲线y=xn(n∈N+)上过点(1,1)的切线与x轴的交点的横坐标xn,并求出极限 lim y(x) 7.对于抛物线y=ax2+bx+c,设集合 S1={(x,y)过(x,y)可以作该抛物线的两条切线} S2={(x,y)过(x,y)只可以作该抛物线的一条切线}: S3={(x,y)过(x,y)不能作该抛物线的切线 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 8.(1)设∫(x)在x=x处可导,g(x)在x=x0处不可导证明c1f(x)+c2g(x)在x=x0处 也不可导 (2)设f(x)与g(x)在x=x0处都不可导,能否断定c1f(x)+c28(x)在x=x0处一定 可导或一定不可导? 9.在上题的条件下,讨论∫(x)g(x)在x=x0处的可导情况。 设f2(x)(j=12…,n)为同一区间上的可导函数,证明 fm(x f1(x)f2(x)…fn(x) fn(x)fi(x df2(x)f2(x)…fn(x) ∑|/(x)f2(x)…f(x) fn(x)fn2(x fran(x) fn(x)fn2(x) 习题4.4 1.求下列函数的导数:
⑼ x x x f x ln cot ( ) 3 + = ； ⑽ f x x x x x x x ( ) sin cos sin cos = + − ； ⑾ f x x x x ( ) = + (e log3 ) arcsin ； ⑿ f x( ) = (csc x − 3ln x)x sh x 2 ； ⒀ f x x x x x ( ) sec csc = + − ； ⒁ x x x f x arc tan sin ( ) + = ； 4. 求曲线 y x = ln 在(e,1)处的切线方程和法线方程。 5. 当a 取何值时，直线 y = x 能与曲线 y a = log x 相切，切点在哪里？ 6. 求曲线 y = x n （ n ∈ N+ ）上过点( , 1 1)的切线与 x 轴的交点的横坐标 x ，并求出极限 n lim ( ) 。 n n y x →∞ 7. 对于抛物线 y a = + x 2 bx + c ，设集合 S1 = {( , x y)|过( , x y)可以作该抛物线的两条切线}； S { 2 = (x y, )|过(x y, )只可以作该抛物线的一条切线}； S3 = {( , x y)|过( , x y)不能作该抛物线的切线}， 请分别求出这三个集合中的元素所满足的条件。 8. ⑴ 设 f x( )在 x = x0 处可导，g x( ) 在 x = x0 处不可导,证明c f x c g x 1 2 ( ) + ( ) 在 处 也不可导。 x = x0 ⑵ 设 f x( ) 与 g x( ) 在 x = x0 处都不可导, 能否断定 c f x c g x 1 2 ( ) + ( ) 在 处一定 可导或一定不可导？ x = x0 9. 在上题的条件下，讨论 f x( )g(x) 在 x = x0 处的可导情况。 10．设 fij (x) （i, j = 1,2,", n ）为同一区间上的可导函数，证明 ∑= = ′ ′ ′ n k n n nn k k kn n n n nn n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx d 1 1 2 1 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " # # # " # # # " " # # # " " 。 习 题 4.4 ⒈ 求下列函数的导数： 3
nx (3)y= (5)y=sin x3 y=cos vx: +1-ln(x+√x+1) rcsin(e-x) 0y= x-t sin x )2 1+In 1+csc x2 √3x3 y=x 2.求下列函数的导数 (1)y=Inin x: 2)y=In(csc x-cot x): (3)y=l xva'-x+a arcsin (4)y=ln(x+√x2+a2); 3.设f(x)可导,求下列函数的导数: (1)f(x2) Inx (4) f(x) arc tan f(x) (5) f(f(e); in(f(sin x)) f(x) f((x)
⑴ y x = − ( ) 2 1 x + 2 2 ； ⑵ y x x = e sin 2 3 ； ⑶ y x = + 1 1 3 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x = sin 3； ⑹ y x = cos ； ⑺ y x = +1 − ln(x + x +1) ； ⑻ y x = − arcsin (e ) 2 ； ⑼ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 1 ln x y x ； ⑽ y x x = + 1 2 2 2 ( sin ) ； ⑾ y x x x = + − 1 1 2 2 ln ； ⑿ y x x = 1+ 2 csc ； ⒀ y x x = − + + 2 2 1 3 3 1 3 2 4 3 ； ⒁ y x = − e sin2 ； ⒂ y x a x x a x = − + − 2 2 2 2 . ⒉ 求下列函数的导数： ⑴ y x = ln sin ； ⑵ y = ln(csc x − cot x)； ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − + a x y x a x a arcsin 2 1 2 2 2 ； ⑷ y x = + ln( x + a ) 2 2 ； ⑸ y = − x x a − a x + x − a 1 2 2 2 2 2 2 ( ln( ) . ⒊ 设 f x( )可导，求下列函数的导数： ⑴ f ( ) x 3 2 ； ⑵ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ x f ln 1 ； ⑶ f x( ) ； ⑷ arc tan f (x) ； ⑸ f f ex ( ( )) 2 ； ⑹ sin ( f (sin x))； ⑺ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ( ) 1 f x f ； ⑻ 1 f f ( (x)) . 4
4.用对数求导法求下列函数的导数: (1)y=x 3) y=cosx: (4)y=in2(2x+1) (5)y=x (6)y=∏(x-x) 5.对下列隐函数求: (1)y=x+ arc tan y y+xe =l x-coSy=siny-x: ry-In(y+1= er+y-xy2=0 sin x+x In y=0: 6.设所给的函数可导,证明 (1)奇函数的导函数是偶函数;偶函数的导函数是奇函数 (2)周期函数的导函数仍是周期函数 7.求曲线xy+ny=1在M(1,1)点的切线和法线方程 8.对下列参数形式的函数求: y=br3 y=I (3)x=t sInt x=ae y=I cOSI y= be′ x=acos 1, X= y=asin I By=ch br t+1 (7)
⒋ 用对数求导法求下列函数的导数： ⑴ y x x = ； ⑵ y ( ) x x x 1 3 = + sin ； ⑶ y x x = cos ； ⑷ y x x = ln (2 + 1) ； ⑸ y x x x = − + 1 1 2 3 ； ⑹ y x i i n = − = ∏( ) 1 x ； ⑺ y x x = sin . ⒌ 对下列隐函数求 dy dx ： ⑴ y = x + arc tan y ； ⑵ y x y + e 1 = ； ⑶ x y − = cos sin y − x ； ⑷ xy − ln( y + 1) = 0； ⑸ e xy x y 2 2 0 + − = ； ⑹ tan(x + y) − xy = 0 ； ⑺ 2 0 y x sin + x ln y = ； ⑻ x y axy 3 3 + − 3 0 = . 6． 设所给的函数可导，证明： ⑴ 奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数； ⑵ 周期函数的导函数仍是周期函数。 7．求曲线 xy + ln y = 1在 M (1,1) 点的切线和法线方程。 8． 对下列参数形式的函数求 dy dx ： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = = ; , 3 2 y bt x at ⑵ ⎩ ⎨ ⎧ = − = − ; 1 , 3 2 y t t x t ⑶ ⎩ ⎨ ⎧ = = cos ; sin , 2 2 y t t x t t ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ = = − e ; e , t t y b x a ⑸ ⎩ ⎨ ⎧ = = sin ; cos , 3 3 y a t x a t ⑹ ⎩ ⎨ ⎧ = = ch ; sh , y bt x at ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ; 1 , 1 t t y t t x ⑻ ⎩ ⎨ ⎧ = − = + 1 ; 1 , y t x t 5