p,(x)=∑/(x(x)+f(x)(x] 这里,{qAO(x),q(x)是满足条件 q0(x1)=6,A,q(x)=0,1,k=0,1,2,…,母 =0,q(x,)=δ k=0.1.2. 的基函数。试仿照 Lagrange插值多项式的情况构造{q(x),q(x)}x=。 习题5.4 1.求下列函数在x=0处的 Taylor公式(展开到指定的n次) (1)f(x)= 1-x 2)f(x)=cos(x+α),n=4 (3)f(x)=√2+sinx,n=3; (4)f(x)=sinr, n=4 (5)f(x)=tan x, n=5 (6)f(x)=In(cos x), n=6 sInx 0 x≠0 (7)f(x)=ex-1 n (8)f(x)= 0 )= 2.求下列函数在指定点处的 Taylor公式: (1)f(x)=-2x3+3x2-2,x0=1;(2)f(x)=lnx,xo=e (3)f(x)=lnx;x0= (4)f(x)=sinx,xn=丌 3.通过对展开式及其余项的分析,说明用 In 2=In ≈2x+—+—+… 比用 n2=m(1+x) 234
∑[ ] − = = + ′ 2 1 0 (0) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k n k k k k p x f x q x f x q x , 这里，{ ( ), ( )} ( ) (1) q x q x k k n 0 0 1 2 = − k 是满足条件 q x q x k i i k k i ( ) ( ) ( ) , [ ( )] , 0 0 = δ ′ = 0 i k n , , = , , , − 0 1 2 1 " 2 和 q x q x k i k i i k (1) (1) ( ) = 0, [ ( )]′ = δ , i k n , , = , , , − 0 1 2 1 " 2 的基函数。试仿照 Lagrange 插值多项式的情况构造{ ( ), ( )} ( ) (1) q x q x k k n 0 0 1 2 = − k 。 习 题 5.4 ⒈ 求下列函数在 x = 0 处的 Taylor 公式（展开到指定的 n 次）： ⑴ f x x ( ) = − 1 13 , n = 4 ; ⑵ f x( ) = cos(x + α) , n = 4 ; ⑶ f x( ) = + 2 sin x , n = 3; ⑷ f x x ( ) esin = , n = 4 ; ⑸ f (x) = tan x , n = 5; ⑹ f x( ) = ln(cos x), n = 6 ; ⑺ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − 1, 0 , 0 ( ) e 1 x x x f x x , n = 4 ; ⑻ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0, 0 , 0 sin ln ( ) x x x x f x , n = 4 ⑼ f x( ) = −1 2x + x − 1 − 3x + x 3 2 3 , n = 3. ⒉ 求下列函数在指定点处的 Taylor 公式： ⑴ f x( ) = −2 3 x + − x 2 3 2 x , 0 = 1; ⑵ f x( ) = ln x , x ; 0 = e ⑶ f x( ) = ln x ; x0 = 1 ⑷ f x( ) = sin x , x0 6 = π ; ⑸ f x( ) = x , x . 0 = 2 ⒊ 通过对展开式及其余项的分析，说明用 3 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 1 2 1 1 ln 2 ln = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≈ + + + + − + = x n x n x x x x x x " 比用 1 1 2 3 4 1 ( 1) 2 3 4 ln 2 ln(1 ) = − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + ≈ − + − + + − x n n x n x x x x x x " 6
效果好得多的两个原因。 4.利用上题的讨论结果,不加计算,判别用哪个公式计算π的近似值效果更好,为什么? (1)z = arc tanl≈x--+ 兀=4 arc tan arc tan- ( Machin公式) 239 2n+1 4 2n+1 +(-1) 5.利用 Taylor公式求近似值(精确到10-): (1)Igl 3)sin31°; cOS /250 (6)(11) 6.利用函数的 Taylor公式求极限: (1)lim e- sin x -x(1+x) (a>0) x→0 (3)lim --cScx (4) lim(x5+x++) (5 x tan 7.利用 Taylor公式证明不等式 ≤ln(+x)≤x 0 23 1+ax+ (a-1) 1<a<2 8.判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线,若存在的话求出渐近线方程: 6x2-8x+3 In
效果好得多的两个原因。 ⒋ 利用上题的讨论结果，不加计算，判别用哪个公式计算 π 的近似值效果更好，为什么？ ⑴ 1 3 5 2 1 2 1 ( 1) 3 5 arc tan1 4 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = ≈ − + − + − x n n n x x x x " π ⑵ 239 1 arc tan 5 1 4arc tan 4 = − π （Machin 公式） 239 1 3 2 1 5 1 3 2 1 2 1 ( 1) 2 1 3 ( 1) 3 4 = + = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ − − + + − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ≈ − + + − x n n x n n n x x x n x x x " " ⒌ 利用 Taylor 公式求近似值（精确到 ）：4 10− ⑴ lg11; ⑵ e 3 ; ⑶ sin o 31 ; ⑷ cos o 89 ; ⑸ 250 5 ; ⑹ ( . ) . 11 1 2 . ⒍ 利用函数的 Taylor 公式求极限： ⑴ lim e sin ( ) x x x x x → x − + 0 3 1 ; ⑵ ( 0) 2 lim 2 0 > + − − → + a x a a x x x ; ⑶ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x x x csc 1 lim 0 ; ⑷ lim ( ) x x x x x →+∞ + − − 5 5 4 5 5 4 ; ⑸ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →∞ x x x x 1 lim ln 1 2 ; ⑹ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x→ x x tan x 1 1 1 lim 0 ; ⑺ lim ( ) x x x x x →+∞ + + − − 3 2 1 1 2 ; ⑻ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ − − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + →+∞ e 1 2 lim 6 1 3 2 x x x x x x . 7． 利用 Taylor 公式证明不等式： （1） 2 3 ln(1 ) 2 2 2 3 x x x x x x − ≤ + ≤ − + ， x > 0； （2） 2 2 ( 1) (1 x) 1 x x − + < + + α α α α ， 1 < α < 2 , x > 0 。 8． 判断下列函数所表示的曲线是否存在渐近线，若存在的话求出渐近线方程： ⑴ y x x = + 2 1 ; ⑵ y x x = + 2 1 2 ; ⑶ 6 8 3 2 y = x − x + ; ⑷ y x = + ( ) 2 e x 1 ; ⑸ y x x = + − e e 2 ; ⑹ y x x = + − ln 1 1 ; 7