习 题11.1 证明定理11.1.1:.距离满足正定性、对称性和三角不等式 证明:若R”中的点列{x4}收敛,则其极限是唯一的。 3.设R”中的点列{x}和{yk}收敛,证明:对于任何实数a,B,成立等式 lim(aa By)=a limxk+ B lim yk 4.求下列R中子集的内部、边界与闭包: (1)S={(x,y)|x>0,y≠0}; (2)S={(x,y)10<x2+y2≤l} (3)S={x,y)10<x≤1,y=sin-}。 5.求下列点集的全部聚点 (1s={(-yk|k=12-1 k+1 2kx.2k丌 (2)S= cos sIn k=12. (3)S={(x,y)(x2+y2) 1)≤0} 6.证明定理1113:x是点集S(cR”)的聚点的充分必要条件是:存在S中的点列{xk},满 足x≠x(k=1,2,…),且limx=x。 7.设U是R2上的开集,是否U的每个点都是它的聚点。对于R2中的闭集又如何呢? 8.证明ScR”的所有内点组成的点集S°必是开集。 9.证明ScR"的闭包S=SUS’必是闭集。 10.设E,FcR"。若E为开集,F为闭集,证明:E\F为开集,F\E为闭集。 1.证明 Cantor闭区域套定理。 12.举例说明:满足limx+-x|=0的点列x}不一定收敛。 13.设E,FCR"为紧集,证明E∩F和EUF为紧集。 14.用定义证明点集0U{2k=2,…}是R中的紧集。 15.应用 Heine- Borel定理直接证明:R"上有界无限点集必有聚点 习题11.2 1.确定下列函数的自然定义域: (1)a=ln(y-x)+ (2)t √-x2-y2 (3)u=√R2-x2 (R>r); (4)u= arcsin
习 题 11.1 1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 2. 证明：若 n R 中的点列{xk }收敛，则其极限是唯一的。 3. 设 n R 中的点列{xk }和{yk }收敛，证明：对于任何实数α, β ，成立等式 lim( ) k k k αx + βy →∞ = α k k x →∞ lim + β k k y →∞ lim 。 4. 求下列 2 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {(x, y)| x > 0, y ≠ 0}； （2）S = ≤ ； 2 2 {(x, y) | 0 < x + y 1} （3）S = {(x, y) | 0 < x ≤ } 1 1, sin x y = 。 5. 求下列点集的全部聚点： （1）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + − 1,2," 1 ( 1) k k k k ； （2）S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1,2," 5 2 , sin 5 2 cos k kπ kπ ； （3）S = {( , ) | ( )( 1) ≤ 。 2 2 2 2 x y x + y y − x + 0} 6. 证明定理 11.1.3：x是点集S（ n ⊂ R ）的聚点的充分必要条件是：存在S中的点列{xk}, 满 足xk ≠ x（ k =1,2,"），且 x k→∞ lim k = x 。 7. 设 U 是 2 R 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 2 R 中的闭集又如何呢？ 8. 证明S ⊂ Rn 的所有内点组成的点集SD 必是开集。 9. 证明S ⊂ Rn 的闭包 S = S ∪S′必是闭集。 10. 设 。若E 为开集，F 为闭集，证明： 为开集， 为闭集。 n E, F ⊂ R E \ F F \ E 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 12. 举例说明：满足 lim 0 +1 − = →∞ k k k x x 的点列{xk}不一定收敛。 13. 设 为紧集，证明 和 为紧集。 n E, F ⊂ R E ∩ F E ∪ F 14. 用定义证明点集 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∪ = 1,2," 1 {0} k k 是 R 中的紧集。 15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明： n R 上有界无限点集必有聚点。 习 题 11.2 1．确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 1
2.设 x)(x2+y212(x>0),求f(x) 3.若函数 (x,y)=yy+f(x-1) 且当y=4时z=x+1,求∫(x)和z(x,y)。 4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在 (1)f(x,y) (2)f(x,y)= (3)f(x,y)= j1,0<y<x (4)f(x,y)= 0其它点 5.对多元函数证明极限唯一性,局部有界性,局部保序性和局部夹逼性。 6.对多元函数证明极限的四则运算法则:假设当x趋于x。时函数f(x)和g(x)的极限存在, 则 (1)Iim((x)±g(x)=limf(x)±limg(x); (2) lim((). g())=lim f(x); lim g(x); (3) lim ((x)/g(x))=lim f()/ lim g(x)( lim g(x)*0)o 7.求下列各极限 (1) lim (2) lim 1+xy-1 (3) lim y (5) lim (6) lim (xy)+(00)x-+y (x,y)>0)x2 cos(x (7) lim (8)lim(x2+y2)e-(x+y)。 (x,y)→+(0.0(x-+y2)xy 8.讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限: (1)f(x,y)=2 y+( (2)f(x,y)= x2(1+x2)-y2(1+y2) (3) f(, y)=xsin -+ysin- 9.验证函数 y 0且x2<y≤ )={(2x2-y,x>0且x2<y< 其它点
2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0) ，求 f (x) 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1) ， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x) 和 z(x, y)。 4． 讨论下列函数当(x, y) 趋于(0,0) 时的极限是否存在： （1） x y x y f x y + − ( , ) = ； （2） 2 2 ( , ) x y xy f x y + = ； （3） （4） ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0 ; 1, 0 , ( , ) 2 其它点 y x f x y 4 8 3 3 ( , ) x y x y f x y + = 。 5． 对多元函数证明极限唯一性，局部有界性，局部保序性和局部夹逼性。 6． 对多元函数证明极限的四则运算法则：假设当 x 趋于 x 0时函数 f (x)和 g (x)的极限存在， 则 （1） (f (x)±g (x)) = f (x)± g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （2） (f (x) ·g (x)) = f (x)· g (x)； 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x （3） (f (x)／g (x)) = f (x)／ g (x) （ g (x) ≠ 0）。 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 0 lim x→x 7． 求下列各极限： （1） 2 2 ( , ) (0,1) 1 lim x y xy x y + − → ； （2） 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim x y x y x y + + + → ； （3） xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0,0) + − → ； （4） 1 1 lim 2 2 2 2 ( , ) (0,0) + + − + → x y x y x y ； （5） 2 2 2 ( , ) (0,0) ln( ) lim 2 x y x e y x y + + → ； （6） 2 2 3 3 ( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y + + → ； （7） 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( ) 1 cos( ) lim x y x y x y x y + − + → ； （8） 。 2 2 ( ) lim ( ) x y y x x y e − + →+∞ →+∞ + 8． 讨论下列函数在原点的二重极限和二次极限： （1） 2 2 2 2 2 ( ) ( , ) x y x y x y f x y + − = ； （2） 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) ( , ) x y x x y y f x y + + − + = ； （3） x y y f x y x 1 sin 1 ( , ) = sin + 。 9. 验证函数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − > < < ⎟ > < ≤ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 其它点 且 且 0, (2 ), 0 2 , 1 , 2 1 , 0 2 2 1 ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x x y x x y x x x y x x f x y 2
在原点不连续,而在其它点连续 f(xy)=x2+p2,x2+y2≠0 x2+y2=0 的连续范围 1.设f(1)在区间(a,b)上具有连续导数,D=(a,b)×(a,b)。定义D上的函数 f(x)-fly) F(x,y)= x-y f(x), 证明:对于任何c∈(an,b)成立 lim F(x,y)=f(c) (x,y)→(c,c) 12.设二元函数f(x,y)在开集DcR2内对于变量x是连续的,对于变量y满足 Lipschitz 条件 f(x,y)-f(x,y”)≤Ly 其中(x,y3),(x,y")∈D,L为常数(通常称为 Lipschitz常数)。证明∫(x,y)在D内连 续 3.证明:若∫和g是D上的连续映射,则映射∫+g与函数<∫,g>在D上都是连续的 14.证明复合映射的连续性定理(定理11.2.2)。 习题113 1.设DcR”,∫:D→>Rm为连续映射。如果D中的点列{xk}满足 lim x=a,且 D,证明 limf(xk)=∫(a) 2.设∫是R”上的连续函数,c为实数。设 {x∈R"|f(x)<c},B。={x∈R"|f(x)≤c} 证明A为R”上的开集,B为R"上的闭集 3.设二元函数 (x,y)∈D=[O,1)×[O,1) 证明:∫在D上连续,但不一致连续 设A为R”上的非空子集,定义R”上的函数∫为 f(x)=inf{x-yly∈A 它称为x到A的距离。证明: (1)当且仅当x∈A时,f(x)=0 (2)对于任意xx"∈R”,不等式 f(x)-f(x)≤|x 成立,从而∫在R”上一致连续 (3)若A是紧集,则对于任意c>0,点集{x∈R"|∫(x)≤c}是紧集。 5.设二元函数∫在R2上连续。证明
在原点不连续，而在其它点连续。 10. 讨论函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + ≠ = + 0, 0 , 0, ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y f x y 的连续范围。 11．设 f (t) 在区间(a,b)上具有连续导数， D = (a,b) × (a,b) 。定义 D上的函数 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ( ), . , , ( ) ( ) ( , ) f x x y x y x y f x f y F x y 证明：对于任何c ∈ (a,b) 成立 lim ( , ) ( ) ( , ) ( , ) F x y f c x y c c = ′ → 。 12．设二元函数 f (x, y) 在开集 2 D ⊂ R 内对于变量 x 是连续的，对于变量 y 满足 Lipschitz 条件： | f (x, y′) − f (x, y′′) | ≤ L | y'− y′′ | ， 其中(x, y′), (x, y′′)∈D ， L 为常数（通常称为 Lipschitz 常数）。证明 在 内连 续。 f (x, y) D 13．证明：若 f 和 g 是 D 上的连续映射，则映射 f + g 与函数＜f , g＞在 D 上都是连续的。 14. 证明复合映射的连续性定理（定理 11.2.2）。 习 题 11.3 1． 设D⊂ n R ， 为连续映射。如果D中的点列{x m f : D → R k}满足 x = a ，且 →∞ k k lim a∈D，证明 lim f (x ) = f (a) →∞ k k 。 2． 设 f 是 n R 上的连续函数，c 为实数。设 { | f ( ) c} n Ac = x ∈ R x < ，Bc = {x ∈ Rn | f (x) ≤c}。 证明Ac为 n R 上的开集，Bc为 n R 上的闭集。 3． 设二元函数 xy f x y − = 1 1 ( , ) ， (x, y) ∈ D = [0,1) ×[0,1) ， 证明： f 在 D上连续，但不一致连续。 4． 设 A 为 n R 上的非空子集，定义 n R 上的函数 f 为 f (x) = inf {| x − y || y ∈ A}。 它称为 x 到 A 的距离。证明： (1) 当且仅当 x ∈ A 时， f (x) = 0 ； (2) 对于任意 x′, x′′∈ n R ，不等式 f (x′) − f (x′′) ≤| x′ − x′′ | 成立，从而 f 在 n R 上一致连续； （3）若 A 是紧集，则对于任意c > 0 ，点集{x | f (x) ≤ 是紧集。 n ∈ R c} 5． 设二元函数 f 在 2 R 上连续。证明： 3
(1)若,imf(x,y)=+∞,则∫在R2上的最小值必定存在 (2)若,imf(x,y)=0,则∫在R上的最大值与最小值至少存在一个。 6.设∫是R”上的连续函数,满足 (1)当x≠0时成立f(x)>0 2)对于任意x与c>0,成立f(cx)=cf(x)。 证明:存在a>0,b>0,使得 x|≤∫(x)≤b|x|。 7.设∫:R”→Rm为连续映射。证明对于R中的任意子集A,成立 f(4)c∫(4)。 举例说明∫(A)能够是∫(4)的真子集。 8.设∫是有界开区域DcR2上的一致连续函数。证明: (1)可以将∫连续延拓到D的边界上,即存在定义在D上的连续函数∫,使 得A=f (2)∫在D上有界
（1） 若 = +∞ ，则 在 + →+∞ lim ( , ) 2 2 f x y x y f 2 R 上的最小值必定存在； （2） 若 2 lim2 ( , ) = 0，则 在 + →+∞ f x y x y f 2 R 上的最大值与最小值至少存在一个。 6．设 f 是 n R 上的连续函数，满足 (1) 当 x ≠ 0时成立 f (x) > 0 ； (2) 对于任意 x 与c > 0，成立 f (cx) = cf (x)。 证明：存在a > 0, b > 0 ，使得 a | x |≤ f (x)≤b | x | 。 7．设 f : Rn → Rm 为连续映射。证明对于 n R 中的任意子集 A，成立 f (A) ⊂ f (A) 。 举例说明 f (A)能够是 f (A)的真子集。 8．设 f 是有界开区域 2 D ⊂ R 上的一致连续函数。证明： （1）可以将 f 连续延拓到D的边界上，即存在定义在D上的连续函数 ，使 得 f ~ f = f D ~ ； （2） f 在D上有界。 4
第十一章 第1节 4(1)S=(x,y)x>0,y≠0};Os={x,y)=0或x>0,y=0};S=4xy)x20 ()s={xy0<x2+y21;S={xy)x2+y2=0成x2+y2=小 (x,y)x +y (3)S=;aS={(xy)0<xsy=sm或x=0-1sy≤1 S={(x,y)0<x≤1,y=sin-或x=0,-1≤y≤1 5(1)S={1} (2)S”=1(1.0)、cos-,sin-)(cos S,Sin),(cos-2, sin-2),(cos-o8Z 3)s'=kx,pl 第2节 1(1)D (2)D=x,y,z)x>0,y>0,> (3)D={x,y,2)r +<R ()D=(xy:8x2+y2x+y2≠0 2.f(x)= f(x)=x2+2x,=(x,y)=x+vy- 4(1)不存在;(2)不存在;(3)不存在 (4)极限存在为零.提示:利用平均值不等式 x t-x+y
第十一章 第 1 节 4. (1) = { } (x, y) x > 0, y ≠ 0 D S ; ∂ S = {(x, y) x = 0或x > 0, y = 0}; S = { } (x, y) x ≥ 0 . (2) {( , ) 0 1} 2 2 = x y < x + y < D S ; ∂ S {( , ) 0 1} 2 2 2 2 = x y x + y = 或x + y = ; {( , ) 1} 2 2 S = x y x + y ≤ . (3) = ; D S ∅ ∂ S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 ; S = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ = = 0,−1 ≤ ≤ 1 1 ( , ) 0 1, sin x y x x y x y 或 . 5. (1) S' { }; = ±1 (2) S' ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ) 5 8 ,sin 5 8 ),(cos 5 6 ,sin 5 6 ),(cos 5 4 ,sin 5 4 ),(cos 5 2 ,sin 5 2 (1,0),(cos π π π π π π π π ; (3) S' {( , ) 1 0} 2 2 = x y y − x + ≤ . 第 2 节 1.(1) D = {(x, y) x + y < 1, y > x} 2 2 ; (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 ; (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R ; (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ . 2. 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = . 3. f (x) x 2x , 2 = + z(x, y) = x + y −1. 4. (1) 不存在；（2）不存在；（3）不存在； （4）极限存在为零. 提示: 利用平均值不等式 = + 3 4 8 x y 3 8 8 4 4 8 4 1 3 2 1 2 1 x y x x y ≥ + + . 1